第07講拋物線精練（解析版）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）

第07講拋物線(精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C由題意，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C2．若拋物線上的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，則點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離是（

）．A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，由P的橫坐標(biāo)為3，所以P到準(zhǔn)線的距離為5，故點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離是5．故選：C.3．直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，則（

）A．6 B．8 C．2 D．4【答案】B因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，所以，拋物線的方程為，由，得，所以，所以．故選：B4．已知拋物線的焦點(diǎn)F、M是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的外接圓D與拋物線的準(zhǔn)線相切，則圓D與直線相交得到的弦長(zhǎng)為（

）A． B．4 C． D．【答案】D因?yàn)榈耐饨訄A與拋物線的準(zhǔn)線相切，所以的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑，又因?yàn)閳A心在的垂直平分線上，，所以圓的半徑為，圓心的橫坐標(biāo)為，所以圓心的縱坐標(biāo)為，所以圓心到直線的距離，所以圓與直線相交得到的弦長(zhǎng)為.故選：D.5．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為拋物線上的任意一點(diǎn)，為平面上定點(diǎn)，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B由題意得，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，根據(jù)拋物線的定義可知，要求取得最小值，即求取得最小，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，即為.所以的最小值為.故選：B.6．已知拋物線：焦點(diǎn)為，是拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)到直線：的最小距離是（

）A． B． C．1 D．【答案】D拋物線的準(zhǔn)線為，由到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3，知，所以拋物線的方程.設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)到直線：的距離為，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線：的距離有最小值.故選：D.7．已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，是圓的圓心，則的最小值為（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B解：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線方程為，為圓的圓心，所以的坐標(biāo)為，過(guò)作的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義可知，所以問(wèn)題求的最小值，就轉(zhuǎn)化為求的最小值，由平面幾何的知識(shí)可知，當(dāng)，，在一條直線上時(shí)，此時(shí)，有最小值，最小值為，故選：B．8．已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交于兩點(diǎn)（在的右邊），為上一點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．5【答案】A由題意，拋物線，可得焦點(diǎn)，又因?yàn)橹本€的傾斜角為，可得斜率，故直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，解得，，因?yàn)椋钥傻?，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義，得，當(dāng)三點(diǎn)共線且與軸平行時(shí)，有最小值，最小值，所以的最小值為3.故選：A.二、多選題9．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線上一點(diǎn)，，為垂足.若直線的斜率，則下列結(jié)論正確的是（

）A．準(zhǔn)線方程為 B．焦點(diǎn)坐標(biāo)C．點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．的長(zhǎng)為3【答案】BC由拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，A錯(cuò)B對(duì)；直線的斜率為，直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，，，為垂足，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，C對(duì)；根據(jù)拋物線的定義可知，D錯(cuò).故選:BC.10．拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)都在拋物線上，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．拋物線方程為B．是的重心C．D．【答案】ABD對(duì)于A，由在拋物線上可得，即拋物線方程為，正確；對(duì)于B，分別取的中點(diǎn)，則，，即在中線上，同理可得也在中線上，所以是的重心，正確；對(duì)于C，由拋物線的定義可得，所以.由是的重心，所以，即，所以，不正確；對(duì)于D，，；同理,，所以，正確.故選：ABD.三、填空題11．位于德國(guó)東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱，它的橋形可近似地看成拋物線的一部分．該橋的高度為米，跨徑為米，則橋形對(duì)應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為________米．（結(jié)果用，表示）【答案】如圖所示，以橋頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，橋形的對(duì)稱軸為軸建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合題意可知，該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解得，故橋形對(duì)應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．故答案為：．12．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為______．【答案】拋物線的焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，軸，所以，將代入拋物線的方程可得，不妨設(shè)，因?yàn)闉檩S上一點(diǎn)，且，所以在的右側(cè)．又，得，即點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以，，，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．故答案為：．四、解答題13．若，為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上任意一點(diǎn)，求的最小值及取得最小值時(shí)的的坐標(biāo)．【答案】最小值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．解：將代入拋物線方程，得，因?yàn)?，所以點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，設(shè)拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，由拋物線的定義可得，由圖可知，當(dāng)時(shí)，最小，最小值為，此時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，代入，得，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為．14．圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬4m．水面下降1m后，水面寬多少？（精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)）．【答案】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，根據(jù)題意知點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式為，將點(diǎn)代入，得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，有，解得：，水面的寬度為．B能力提升1．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，直線交軸于點(diǎn)，若，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B解：如圖，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，由題知，即因?yàn)?，所以所以，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.故選：B2．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】D拋物線的準(zhǔn)線l：，顯然點(diǎn)A在拋物線C內(nèi)，過(guò)A作AM⊥l于M，交拋物線C于P，如圖，在拋物線C上任取不同于點(diǎn)P的點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)N，連PF，AN，，由拋物線定義知，，于是得，即點(diǎn)P是過(guò)A作準(zhǔn)線l的垂線與拋物線C的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，所以的最小值為3.故選：D3．已知點(diǎn)M（0，4），點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是（

）A． B． C．4 D．6【答案】C拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，該點(diǎn)就是的圓心，設(shè)，要使最小，則取得最大，的最小值即的最小值，令即，當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí).故選：CC綜合素養(yǎng)1．已知拋物線，是拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)（），求||的最小值，并指出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】見解析.設(shè)，因?yàn)?所以又,所以，當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，最小值為，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，最小值為，此時(shí).2．已知橢圓C1：(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其中F2也是拋物線C2：y2＝4x的焦點(diǎn)，M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF2|＝.(1)求橢圓C1的方程；(2)點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，且，求的面積.【答案】(1)(2)(1)設(shè)，，.由拋物線定義，，，，，，∵M(jìn)在C1上，∴又，，或（舍去）．，∴