高一數(shù)學(xué)蘇教版必修四講義第3章31311兩角和與差的余弦

eq\a\vs4\al(兩角和與差的三角函數(shù))3．1.1兩角和與差的余弦預(yù)習(xí)課本P103～106，思索并完成以下問(wèn)題1．如何通過(guò)向量法來(lái)推導(dǎo)兩角差的余弦公式？2．如何由兩角差的余弦公式來(lái)推導(dǎo)兩角和的余弦公式？3．兩角和(差)的余弦公式是什么？eq\a\vs4\al([新知初探])兩角和與差的余弦公式(1)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.[點(diǎn)睛](1)公式中的角α，β是任意角，特點(diǎn)是用單角的三角函數(shù)表示復(fù)角的三角函數(shù)，cos(α－β)，cos(α＋β)是一個(gè)整體．(2)公式特點(diǎn)：公式右端的兩局部為同名三角函數(shù)積，連接符號(hào)與左邊角的連接符號(hào)相反，可用口訣“余余、正正號(hào)相反〞記憶公式．eq\a\vs4\al([小試身手])1．cos110°cos20°＋sin110°sin20°＝________.答案：02．求值：cos15°＋sin15°＝________.答案：eq\f(\r(6),2)3．滿意sineq\f(π,5)sinα＋coseq\f(4π,5)cosα＝eq\f(1,2)的銳角α＝________.答案：eq\f(7π,15)4．cos(α＋β)＝eq\f(1,2)，cos(α－β)＝eq\f(1,3)，那么tanαtanβ＝________.答案：－eq\f(1,5)給角求值問(wèn)題[典例1]求以下各式的值：(1)cos40°cos70°＋cos20°cos50°；(2)eq\f(cos7°－sin15°sin8°,cos8°)；(3)eq\f(1,2)cos15°＋eq\f(\r(3),2)sin15°.[解](1)原式＝cos40°cos70°＋sin70°sin40°＝cos(70°－40°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).(2)原式＝eq\f(cos15°－8°－sin15°sin8°,cos8°)＝eq\f(cos15°cos8°,cos8°)＝cos15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4).(3)∵eq\f(1,2)＝cos60°，eq\f(\r(3),2)＝sin60°，∴eq\f(1,2)cos15°＋eq\f(\r(3),2)sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝eq\f(\r(2),2).對(duì)非特別角的三角函數(shù)式求值問(wèn)題，肯定要本著先整體后局部的根本原那么，假如整體符合三角公式的形式，那么整體變形，否那么進(jìn)行各局部的變形．一般途徑有將非特別角化為特別角的和或差的形式，化為正負(fù)相消的項(xiàng)并消項(xiàng)求值，化分子、分母形式進(jìn)行約分求值；要擅長(zhǎng)逆用或變用公式．[活學(xué)活用]求值：eq\f(2sin50°＋sin80°1＋\r(3)tan10°,\r(2)cos5°).解：原式＝eq\f(2sin50°＋\f(2sin80°,cos10°)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°＋\f(\r(3),2)sin10°)),\r(2)cos5°)＝eq\f(2sin50°＋2cos60°－10°,\r(2)cos5°)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sin50°＋\f(\r(2),2)cos50°)),cos5°)＝eq\f(2cos50°－45°,cos5°)＝2.三角函數(shù)值求值[典例2]eq\f(π,2)＜β＜α＜eq\f(3π,4)，且cos(α－β)＝eq\f(12,13)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，求cos2α的值．[解]由于eq\f(π,2)＜β＜α＜eq\f(3π,4)，所以π＜α＋β＜eq\f(3π,2)，0＜α－β＜eq\f(π,4)，又由于cos(α－β)＝eq\f(12,13)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，所以sin(α－β)＝eq\f(5,13)，cos(α＋β)＝－eq\f(4,5)，所以cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝eq\f(12,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))－eq\f(5,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq\f(33,65).(1)在用兩角和與差的余弦公式求值時(shí)，常將所求角進(jìn)行拆分或組合，把所要求的函數(shù)值中的角表示成函數(shù)值的角．(2)在將所求角分解成某兩角的差時(shí)，應(yīng)留意如下變換：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝eq\f(1,2)[(α＋β)＋(α－β)]，α＝eq\f(1,2)[(β＋α)－(β－α)]等．[活學(xué)活用]設(shè)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(1,9)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(2,3)且eq\f(π,2)＜α＜π，0＜β＜eq\f(π,2)，求coseq\f(α＋β,2)的值．解：由于eq\f(π,2)＜α＜π，0＜β＜eq\f(π,2)，所以eq\f(π,4)＜α－eq\f(β,2)＜π，－eq\f(π,4)＜eq\f(α,2)－β＜eq\f(π,2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)))2)＝eq\f(4\r(5),9)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2)＝eq\f(\r(5),3)，所以coseq\f(α＋β,2)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝－eq\f(1,9)×eq\f(\r(5),3)＋eq\f(4\r(5),9)×eq\f(2,3)＝eq\f(7\r(5),27).三角函數(shù)值求角[典例]銳角α，β滿意sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，求α＋β的值．[解]由于α，β為銳角且sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(2\r(5),5)，sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\f(\r(10),10)，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).由0＜α＜eq\f(π,2)，0＜β＜eq\f(π,2)，得0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＞0，所以α＋β為銳角，所以α＋β＝eq\f(π,4).[一題多變]1．[變條件]本例中條件cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，變?yōu)閟inβ＝eq\f(\r(10),10)，α，β均為銳角變?yōu)棣梁挺戮鶠殁g角，其他條件不變，求α＋β的值．解：由于α和β均為鈍角，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5)，cosβ＝－eq\r(1－sin2β)＝－eq\f(3\r(10),10).所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－eq\f(2\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).由α和β均為鈍角，得π<α＋β<2π，所以α＋β＝eq\f(7π,4).2．[變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)]假設(shè)本例中cosβ＝eq\f(3\r(10),10)改為cosβ＝eq\f(\r(10),10)，其他條件不變，求α－β的值．解：由于α，β為銳角，所以由sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，得到cosα＝eq\f(2\r(5),5)，sinβ＝eq\f(3\r(10),10)，且α＜β，即－eq\f(π,2)＜α－β＜0.于是cos(α－β)＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＋eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)，故α－β＝－eq\f(π,4).三角函數(shù)值求角的解題步驟(1)界定角的范圍，依據(jù)條件確定所求角的范圍．(2)求所求角的某種三角函數(shù)值．為防止增解最好選取在上述范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)．(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角．層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．計(jì)算sin7°cos23°＋sin83°cos67°的值為_(kāi)_______．解析：sin7°cos23°＋sin83°cos67°＝cos83°cos23°＋sin83°sin23°＝cos(83°－23°)＝cos60°＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)2．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))cosθ＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))sinθ＝________.解析：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))cosθ＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))sinθ＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))－θ))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)3．假設(shè)a為銳角且cosα＝eq\f(2\r(5),5)，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝________.解析：由α為銳角且cosα＝eq\f(2\r(5),5)，可得sinα＝eq\f(\r(5),5).于是coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝coseq\f(π,4)cosα＋sineq\f(π,4)sinα＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(2\r(5),5)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(3\r(10),10).答案：eq\f(3\r(10),10)4．cos105°＝________.解析：cos105°＝cos(60°＋45°)＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2)－\r(6),4).答案：eq\f(\r(2)－\r(6),4)5．sinα＋sinβ＝eq\f(3,5)，cosα＋cosβ＝eq\f(4,5)，那么cos(α－β)＝________.解析：由于(sinα＋sinβ)2＝eq\f(9,25)，(cosα＋cosβ)2＝eq\f(16,25)，以上兩式綻開(kāi)兩邊分別相加得2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)6．假設(shè)cos(α－β)＝eq\f(\r(5),5)，cos2α＝eq\f(\r(10),10)，并且α，β均為銳角且α<β，那么α＋β的值為_(kāi)_______．解析：∵α<β，cos(α－β)＝eq\f(\r(5),5)，且α，β均為銳角，∴sin(α－β)＝－eq\f(2\r(5),5).又∵cos2α＝eq\f(\r(10),10)，∴sin2α＝eq\f(3\r(10),10).∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)×eq\f(\r(5),5)＋eq\f(3\r(10),10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq\f(\r(2),2).∵0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，∴0<α＋β<π.∴α＋β＝eq\f(3π,4).答案：eq\f(3π,4)7．cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，那么β＝________.解析：∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴α＋β∈(0，π)．∵cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，∴sinα＝eq\f(4\r(3),7)，sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14)，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝eq\f(1,2).∵0<β<eq\f(π,2)，∴β＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)8．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,4)，那么cosα＋eq\r(3)sinα＝________.解析：cosα＋eq\r(3)sinα＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosα＋\f(\r(3),2)sinα))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9．求值：(1)sin285°；(2)sin460°·sin(－160°)＋cos560°·cos(－280°)．解：(1)sin285°＝sin(270°＋15°)＝－cos15°＝－cos(60°－45°)＝－(cos60°·cos45°＋sin60°·sin45°)＝－eq\f(\r(6)＋\r(2),4).(2)原式＝－sin100°·sin160°＋cos200°·cos280°＝－sin100°·sin20°－cos20°·cos80°＝－(cos80°·cos20°＋sin80°·sin20°)＝－cos60°＝－eq\f(1,2).10．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(4,5)，且eq\f(5π,4)<α<eq\f(7π,4)，求cosα的值．解：由于eq\f(5π,4)<α<eq\f(7π,4)，所以eq\f(3π,2)<α＋eq\f(π,4)<2π，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))>0，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝eq\f(3,5)，所以cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))coseq\f(π,4)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sineq\f(π,4)＝eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(\r(2),10).層級(jí)二應(yīng)試力量達(dá)標(biāo)1．α為銳角，β為第三象限角，且cosα＝eq\f(12,13)，sinβ＝－eq\f(3,5)，那么cos(α－β)＝________.解析：由于α為銳角，且cosα＝eq\f(12,13)，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(5,13).又由于β為第三象限角，且sinβ＝－eq\f(3,5)，所以cosβ＝－eq\r(1－sin2β)＝－eq\f(4,5)，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(12,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＋eq\f(5,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq\f(63,65).答案：－eq\f(63,65)2．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________.解析：原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)3．銳角α，β滿意cosα＝eq\f(4,5)，tan(α－β)＝－eq\f(1,3)，那么cosβ＝______.解析：由于α為銳角，且cosα＝eq\f(4,5)，得sinα＝eq\f(3,5).又由于0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2).又由于tan(α－β)＝－eq\f(1,3)<0，所以cos(α－β)＝eq\f(3,\r(10)).從而sin(α－β)＝tan(α－β)cos(α－β)＝－eq\f(1,\r(10)).所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,\r(10))＋eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(10))))＝eq\f(9\r(10),50).答案：eq\f(9\r(10),50)4.eq\f(2cos10°－sin20°,sin70°)＝________.解析：原式＝eq\f(2cos30°－20°－sin20°,sin70°)＝eq\f(2cos30°cos20°＋2sin30°sin20°－sin20°,sin70°)＝eq\f(\r(3)cos20°,cos20°)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)5．sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,4)＋α))＝________.解析：由題意可知cosα＝eq\f(4,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,4)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,4)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝cosαcoseq\f(π,4)＋sinα·sineq\f(π,4)＝eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7\r(2),10).答案：eq\f(7\r(2),10)6．sinα＋sinβ＋sinγ＝0和cosα＋cosβ＋cosγ＝0，那么cos(α－β)的值是________．解析：由得，－sinγ＝sinα＋sinβ，①－cosγ＝cosα＋cosβ，②①2＋②2得，1＝1＋1＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ，化簡(jiǎn)得cosαcosβ＋sinαsinβ＝－eq\f(1,2)，即cos(α－β)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)7．x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－x))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋x))的值域．解：y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－x))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋x))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－x))－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－x))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－x))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－x))＝eq\r(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－x))－\f(\r(2),2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－x))))＝eq\r(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－x))－sin\f(π,4)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－x))))＝eq\r(2)coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－x))))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x)).由于x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以－eq\f(π,6)≤eq\f(π,3)－x≤eq\f(π,3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a