選修21講義精練第1章1.11命題的概念和例子

1．1命題及其關(guān)系1．1.1命題的概念和例子[讀教材·填要點]1．命題的概念可以推斷成立或不成立的語句叫作命題．2．命題的分類(1)真命題：成立的命題叫作真命題．(2)假命題：不成立的命題叫作假命題．(3)猜測：臨時不知道真假的命題可以叫作猜測．[小問題·大思維]1．假如一個語句是命題，它必需具備什么條件？提示：假如一個語句是命題，那么該語句所陳述的事情必需能夠推斷其成立或不成立．2．?dāng)?shù)學(xué)中的定義、公理、定理、公式等是否是命題？是真命題還是假命題？提示：數(shù)學(xué)中的定義、定理、公理、公式等都是命題，且都是真命題．命題的概念推斷以下語句是否是命題，并說明理由．(1)求證π是無理數(shù)；(2)假設(shè)x∈R，那么x2＋4x＋5≥0；(3)一個數(shù)的算術(shù)平方根肯定是負(fù)數(shù)；(4)梯形是不是平面圖形呢？[自主解答](1)是祈使句，不是命題；(2)可以推斷其是否成立，故為命題；(3)是命題，并且是假命題，由于一個數(shù)的算術(shù)平方根為非負(fù)數(shù)；(4)“梯形是不是平面圖形呢？〞是疑問句，所以它不是命題．推斷一個語句是否是命題，關(guān)鍵是看語句的格式，也就是要看它是否符合“可以推斷成立或不成立〞這個條件，假如滿意這個條件，該語句就是命題，否那么就不是．1．推斷以下語句是否為命題，并說明理由．(1)假設(shè)平行四邊形的邊都相等，那么它是菱形；(2)空集是任何非空集合的真子集；(3)對頂角相等嗎？(4)x>3.解：(1)能推斷其是否成立，是命題；(2)能推斷其是否成立，是命題；(3)是疑問句，不是命題；(4)不能推斷其是否成立，不是命題．真假命題的推斷推斷以下命題的真假，并說明理由．(1)假如學(xué)好了數(shù)學(xué)，那么就會使用電腦；(2)假設(shè)x＝3或x＝7，那么(x－3)(x－7)＝0；(3)正方形既是矩形又是菱形；(4)假設(shè)a，b都是奇數(shù)，那么ab必是奇數(shù)．[自主解答](1)是假命題，學(xué)好數(shù)學(xué)與會使用電腦不具有因果關(guān)系，因而無法推出結(jié)論，故為假命題．(2)是真命題，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(3)是真命題，由正方形的定義知正方形既是矩形又是菱形．(4)是真命題，令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)，那么ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1，明顯2k1k2＋k1＋k2是一個整數(shù)，故ab是奇數(shù)．假設(shè)將本例(4)中的“奇數(shù)〞改為“無理數(shù)〞，推斷該命題的真假．解：當(dāng)a＝eq\r(5)，b＝－eq\r(5)時，a，b都是無理數(shù)，但eq\r(5)×(－eq\r(5))＝－5是有理數(shù)，故該命題為假命題．推斷命題真假的策略(1)要推斷一個命題是真命題，一般要有嚴(yán)格的證明或有事實依據(jù)，比方依據(jù)已學(xué)過的定義、公理、定理證明或依據(jù)的正確結(jié)論推證．(2)要推斷一個命題是假命題，只要舉一個反例即可．2．推斷以下命題的真假，并說明理由．(1)形如a＋eq\r(6)b的數(shù)是無理數(shù)；(2)一個等比數(shù)列的公比大于1時，該數(shù)列為遞增數(shù)列；(3)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；(4)能被2整除的數(shù)肯定能被4整除．解：(1)假命題，反例：a是有理數(shù)且b＝0，那么a＋eq\r(6)b是有理數(shù)．(2)假命題．假設(shè)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1＝－1，q＝2，那么該數(shù)列為遞減數(shù)列．(3)真命題．依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知奇函數(shù)的圖象肯定關(guān)于原點對稱．(4)假命題．反例：如2,6能被2整除，但不能被4整除．命題的綜合問題摸索究命題“方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解〞為真命題時，a，b滿意的條件．[自主解答]方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解，要考慮方程為一元一次方程和一元二次方程兩種狀況：當(dāng)a＝0時，方程ax2＋bx＋1＝0為bx＋1＝0，只有當(dāng)b≠0時，方程有實數(shù)解x＝－eq\f(1,b)；當(dāng)a≠0時，方程ax2＋bx＋1＝0為一元二次方程，方程有實數(shù)解的條件為Δ＝b2－4a≥0.綜上知，當(dāng)a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0時，方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解．(1)并不是任何語句都是命題．要推斷一個句子是否為命題，關(guān)鍵在于能否推斷其成立或不成立．一般地，疑問句、祈使句、感慨句都不是命題．(2)一個命題要么是真的，要么是假的，二者必居其一．3．下面的命題中是真命題的是()A．y＝sin2x的最小正周期為2πB．假設(shè)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根同號，那么eq\f(c,a)>0C．假如M?N，那么M∪N＝MD．在△ABC中，假設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))>0，那么B為銳角解析：選By＝sin2x＝eq\f(1－cos2x,2)，T＝eq\f(2π,2)＝π，故A為假命題；當(dāng)M?N時，M∪N＝N，故C為假命題；在三角形ABC中，當(dāng)eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))>0時，向量eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(BC,\s\up7(→))的夾角為銳角，B應(yīng)為鈍角，故D為假命題．應(yīng)選B.解題高手妙解題什么是才智，才智就是簡潔、高效、不走彎路假設(shè)命題“假如5x－1>a，那么x>1〞是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．[巧思]“假如5x－1>a，那么x>1〞是真命題，那么不等式5x－1>a的解集是x>1的子集．[妙解]由5x－1>a，得x>eq\f(1,5)(1＋a)．∵命題“假如5x－1>a那么x>1〞是真命題，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋a,5)，＋∞))?(1，＋∞)．∴eq\f(1＋a,5)≥1，即a≥4.即a的取值范圍是[4，＋∞)．1．“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝？愿君多采擷，此物最相思．〞這是唐代詩人王維的?相思?，這首詩中，在當(dāng)時條件下，可以作為命題的是()A．紅豆生南國 B．春來發(fā)幾枝C．愿君多采擷 D．此物最相思解析：“紅豆生南國〞是陳述句，所述大事在唐代是事實，所以本句是命題，且是真命題；“春來發(fā)幾枝〞是疑問句，“愿君多采擷〞是祈使句，“此物最相思〞是感慨句，都不是命題，應(yīng)選A.答案：A2．以下命題中的真命題是()A．互余的兩個角不相等B．相等的兩個角是同位角C．假設(shè)a2＝b2，那么|a|＝|b|D．三角形的一個外角等于和它不相鄰的一個內(nèi)角解析：由平面幾何學(xué)問可知A、B、D三項都是錯誤的．答案：C3．給出命題“方程x2＋ax＋1＝0沒有實數(shù)根〞，那么使該命題為真命題的a的一個值可以是()A．4 B．2C．0 D．－3解析：方程無實根時，應(yīng)滿意Δ＝a2a＝0時適合條件．答案：C4．設(shè)a，b，c是任意的非零平面對量，且相互不共線，那么：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不與c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命題的有________(只填序號)．解析：由于a，b，c相互不共線，所以(a·b)c與(c·a)b不肯定相等．又由于[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以①③為假命題，易證②④為真命題．答案：②④5．以下命題：①y＝x2＋3為偶函數(shù)；②0不是自然數(shù)；③{x∈N|0＜x＜12}是無限集；④假如a·b＝0，那么a＝0或b＝0.其中是真命題的是________(寫出全部真命題的序號)．解析：①為真命題，②③④為假命題．答案：①6．假設(shè)命題p(x)：x2＋2>3x為真命題，求x的取值范圍．解：∵x2＋2>3x，∴x2－3x＋2>0.解得x>2或x<1，∴x的取值范圍是(2，＋∞)∪(－∞，1)．一、選擇題1．以下語句中是命題的是()A．周期函數(shù)的和是周期函數(shù)嗎？B．sin0°＝0C．求x2－2x＋1>0的解集D．作△ABC∽△EFG解析：A選項是疑問句，不是命題，C、D選項中的語句明顯不是．答案：B2．命題“非空集合M中的元素都是集合P中的元素〞是假命題，那么以下命題中真命題的個數(shù)為()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不屬于P的元素；③M中有屬于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．4解析：①③錯誤；②④正確．答案：B3．以下命題中，為真命題的是()A．對角線相等的四邊形是矩形B．假設(shè)一個球的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，那么其體積變?yōu)樵瓉淼?倍C．假設(shè)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，那么它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等D．直線x＋y＋1＝0與圓x2＋y2＝1相切解析：等腰梯形對角形相等，不是矩形，故A中命題是假命題；由球的體積公式可知B中命題為真命題；C中命題為假命題，如“3,3,3〞和“2,3,4〞的平均數(shù)相等，但標(biāo)準(zhǔn)差明顯不相等；圓x2＋y2＝1的圓心(0,0)到直線x＋y＋1＝0的距離d＝eq\f(\r(2),2)<1，故直線與圓相交，所以D中命題為假命題．答案：B4．給出以下命題：①假設(shè)直線l⊥平面α，直線m⊥平面α，那么l⊥m；②假設(shè)a，b都是正實數(shù)，那么a＋b≥2eq\r(ab)；③假設(shè)x2>x，那么x>1；④函數(shù)y＝x3是指數(shù)函數(shù)．其中假命題的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：①中，明顯l∥m或l與m重合，所以①是假命題；由根本不等式，知②是真命題；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命題；④中，函數(shù)y＝x3是冪函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)，所以④是假命題．應(yīng)選C.答案：C二、填空題5．以下語句：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程嗎？②拋物線y＝ax2＋2x－1與x軸至少有一個交點；③相互包含的兩個集合相等；④假設(shè)m＞0，a＞b＞0，那么eq\f(b＋m,a＋m)＞eq\f(b,a).其中真命題的序號為________．解析：①不是命題；②錯，可能沒交點；③正確，假設(shè)A?B，B?A，那么A＝B；④明顯正確，可以證明．答案：③④6．給出以下命題：①方程x2－x＋1＝0有兩個實根；②對于實數(shù)x，假設(shè)x－2＝0，那么x－2≤0；③假設(shè)p＞0，那么p2＞p；④正方形不是菱形．其中真命題是________，假命題是________．解析：①假，因Δ＜0；②真；③假，p＝eq\f(1,2)時，p2＜p；④假，正方形是菱形，也是矩形．答案：②①③④7．函數(shù)f(x)的定義域為A，假設(shè)當(dāng)x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)時，總有x1＝x2，那么稱f(x)為單函數(shù)．例如，函數(shù)f(x)＝2x＋1(x∈R)是單函數(shù)．以下命題：①函數(shù)f(x)＝x2(x∈R)是單函數(shù)；②指數(shù)函數(shù)f(x)＝2x(x∈R)是單函數(shù)；③在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)肯定是單函數(shù)．其中的真命題是________．(填序號)解析：由xeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)，未必有x1＝x2，故①為假命題；對于f(x)＝2x，當(dāng)f(x1)＝f(x2)時肯定有x1＝x2，故②為真命題；當(dāng)函數(shù)在其定義域上單調(diào)時，肯定有“假設(shè)f(x1)＝f(x2)，那么x1＝x2〞，故③為真命題．故真命題是②③.答案：②③8．假設(shè)命題“ax2－2ax－3>0不成立〞是真命題，那么實數(shù)a的取值范圍是________．解析：∵ax2－2ax－3>0不成立，∴ax2－2ax－3≤0恒成立．當(dāng)a＝0時，－3≤0恒成立；當(dāng)a≠0時，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝4a2＋12a≤0，))解得－3≤a<0.綜上，－3≤a≤0.答案：[－3,0]三、解答題9．推斷以下語句是否是命題，假設(shè)是，推斷其真假，并說明理由．(1)一個數(shù)不是合數(shù)就是質(zhì)數(shù)．(2)大角所對的邊大于小角所對的邊．(3)x＋y是有理數(shù)，那么x，y也都是有理數(shù)．