長(zhǎng)沙市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（答案解析）

長(zhǎng)沙市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年度高一第二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）題號(hào)12345678答案DDBDBBCA1．D【解析】，，，故選：．2．D【解析】設(shè)直線的傾斜角為，可得，所以的取值范圍為，所以D正確．3．B【解析】，是兩個(gè)相互獨(dú)立事件，，是兩個(gè)相互獨(dú)立事件，，故選：．4．D【解析】若，，則，或m與n相交或異面，故A不正確．若，，則，故B不正確．若，，且，則有可能，不一定，故C不正確．若，，且，可以判斷，故D正確．5．B【解析】由已知可得，即，所以，因?yàn)?，則，所以，所以，所以，△ABC外接圓的半徑為，因此，△ABC外接圓的面積為．6．B【解析】由題意可得，一個(gè)半徑為的圓面內(nèi)的降雨充滿一個(gè)底面半徑為，高為的圓錐，故積水厚度，屬于中雨．故選：．7．C【解析】甲的記憶能力指標(biāo)值為5，乙的記憶能力指標(biāo)值為4，所以甲的記憶能力優(yōu)于乙，故①不正確：乙的觀察能力指標(biāo)值為4，創(chuàng)造能力指標(biāo)值為3，所以乙的觀察能力優(yōu)于創(chuàng)造能力，故②正確；甲的六大能力指標(biāo)值的平均值為，乙的六大能力指標(biāo)值的平均值為，所以甲的六大能力整體水平優(yōu)于乙，故③正確；甲的六大能力指標(biāo)值的方差為，乙的六大能力指標(biāo)值的方差為，因?yàn)?，所以甲的六大能力比乙較均衡，故④正確。所以敘述正確的有②③④．故選C．8．A【解析】①當(dāng)x=1時(shí)，因?yàn)椋?為一個(gè)零點(diǎn)，，因?yàn)?，所以，所以，所?為的一個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，，，所以在上無零點(diǎn)．③當(dāng)時(shí)，，g（x）在（0，1）上無零點(diǎn)，所以．在（0，1）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是在（0，1）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，因?yàn)椋瘮?shù)在（0，1）上有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)在（0，1）上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，，即時(shí)，在（0，1）上有兩個(gè)零點(diǎn)．二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9101112ABBCABDABD9．AB【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，，，則，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，則，即，即A，B，C三點(diǎn)共線，B正確；對(duì)于C，，若為純角：則，且a與b不共線，由得，當(dāng)時(shí)，，即，由a與b不共線得，于是得當(dāng)且時(shí)，為鈍角，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，是c的共線向量，而是a的共線向量，D錯(cuò)誤，故選AB10．BC【解析】對(duì)于A，對(duì)于直線，令x=0得，所以直線在y軸上的截距為：故A不正確；對(duì)于B，直線，過定點(diǎn)（3，2），故B正確；對(duì)于C，因?yàn)樗笾本€與直線平行，因此，可設(shè)所求直線為，又所求直線過點(diǎn)M（，2），所以，解得，故所求直線方程為，故C正確；對(duì)于D，過點(diǎn)（，2）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為或，故D不正確；故選BC．11．ABD【解析】對(duì)于，由題意知，取出兩個(gè)球要么顏色相同，要么顏色不同，即與互為對(duì)立事件，故正確；對(duì)于，“第1次取出的是紅球”，“第2次取出的是紅球”，與可能同時(shí)發(fā)生，故錯(cuò)誤；對(duì)于，（A），（C），（B），，，所以（A）（C），（B）（C），所以與相互獨(dú)立，與相互獨(dú)立，故，正確．故選ABD．12．ABD【解析】設(shè)，因?yàn)?，，點(diǎn)滿足，所以，整理化簡(jiǎn)得：．即曲線的方程為：．對(duì)于：曲線為半徑為2的圓，故周長(zhǎng)為．對(duì)于：因?yàn)椋?，所以，所以．延長(zhǎng)到，使，連結(jié)．因?yàn)椋裕?，所以，．因?yàn)?，所以．所以，即平分．?duì)于的面積．要使的面積最大，只需最大．由點(diǎn)的軌跡為可得：，所以面積的最大值為3．故錯(cuò)誤；對(duì)于：當(dāng)時(shí)，或．不妨取，則直線，即．因?yàn)閳A心到直線的距離為：，所以，即直線與圓相切．故正確．故選：．三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置） 13． 14． 15． 16．13．【解析】，，而，為第二象限角，，，則．故答案為：14．【解析】由，可得，可令，則（為銳角，且）由，可得．或者：的幾何意義表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z與點(diǎn)（，0）的距離，由圓的幾何意義得到范圍是．15．【解析】方法一：如圖，設(shè)函數(shù)的部分圖象與x軸的交點(diǎn)為B，C，D，由圖象可知，，所以，所以點(diǎn)（，a）與點(diǎn)（，）關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，設(shè)B（，0），則，解得，因?yàn)閷⒑瘮?shù)函數(shù)的圖象向左平移t（）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以平移后的函數(shù)為奇函數(shù)，即相當(dāng)于把的用象與x軸最近的交點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)即可，由圖可知此點(diǎn)為B（，0），所以．方法二：由圖象可得時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值為0，即，，，將此函數(shù)向左平移個(gè)單位得，，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，，，．16．【解析】因?yàn)辄c(diǎn)滿足，其中、、，且，所以點(diǎn)，，三點(diǎn)共面，又因?yàn)楹头謩e是矩形和的中心，所以，，連接，，則，所以△即為經(jīng)過，，三點(diǎn)的平面與正方體的截面，故點(diǎn)可以是正方體表面上線段，，上的點(diǎn)．所以所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為．故答案為：．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17．【解析】（1）因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1，所以DA，DC，DD1兩兩垂直．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B1（1，2，1），E（0，1，0），A（1，0，0），D1（0，0，1）．于是（?1，?1，?1），（?1，1，0），（?1，0，1）． （1分）由，可得AE⊥B1E，AD1⊥B1E， （3分）又AEAD1=A，所以B1E⊥平面AED1． （5分）（2）由（1）可知，平面AED1的一個(gè)法向量為（?1，?1，?1）． （6分）設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)是（t，2，0），，平面GD1E的一個(gè)法向量為n．（0，?1，1），（t，1，0），由 （8分）因?yàn)槎娼荊?D1E?A為直二面角，所以與n垂直，即，解得，所以G是BC的中點(diǎn)． （10分）另解：（1）由題意可得：，，，，，則，．于是有，．因?yàn)椋矫鍭ED1，平面AED1，所以B1E⊥平面AED1．（2）由（1）知，B1E⊥平面AED1，要使二面角G?D1E?A為直二面角，只需要找過B1E的平面與線段BC的交點(diǎn)．平面D1B1E與線段BC交于BC的中點(diǎn)，則存在點(diǎn)G使得二面角G?D1E?A為直二面角，G為線段BC的中點(diǎn)．18．【解析】（1）若選①：設(shè)圓O的方程為， （1分）由題意可得，解得 （5分）所以圓O的方程為，即； （6分）若選②：設(shè)圓O的方程為， （1分）由題意可得，解得 （5分）所以圓O的方程為； （6分）（2）由（1）可知圓心O的坐標(biāo)為，因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為， （7分）所以弦的斜率， （10分）故弦所在的直線方程為． （12分）19．【解析】（1）設(shè)這人的平均年齡為，則（歲．設(shè)第80百分位數(shù)為，方法一：由，解得． （2分）方法二：由，解得． （2分）（2）由題意得，第四組應(yīng)抽取4人，記為，，，甲，第五組抽取2人，記為，乙．對(duì)應(yīng)的樣本空間為：，，，甲），，乙），，，，甲），，乙），，，甲），，乙），，（甲，乙），（甲，，（乙，，共15個(gè)樣本點(diǎn)． （5分）設(shè)事件“甲、乙兩人至少一人被選上”，則，甲），，乙），，甲），，乙），，甲），，乙），（甲，乙），（甲，，（乙，，共有9個(gè)樣本點(diǎn)．所以，． （7分）設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，則，，，，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為．則，．因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10．據(jù)此，可估計(jì)這人中年齡在歲的所有人的年齡方差約為10． （12分）20．【解析】證明：（1），，，，；（2）由（1）可知，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，，即的最大值為． （12分）21．【解析】證明：分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，在中，因?yàn)榇怪逼椒郑?，又因?yàn)?，，所以，從而可得；易得PC=PD（2）解：由（1）知，是二面角的平面角，設(shè)，，在中，，過點(diǎn)作于，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫妫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，即為，設(shè)直線與平面所成角為，所以，令，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值2，此時(shí)直線與平面所成角為的正弦值最大，