2023屆成都市中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)鞏固專題復(fù)習(xí)（八）三角形含真題分類匯編解析

走進(jìn)2018年中考初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)鞏固復(fù)習(xí)專題(八)三角形【知識(shí)要點(diǎn)】知識(shí)點(diǎn)1三角形的邊、角關(guān)系①三角形任何兩邊之和大于第三邊；②三角形任何兩邊之差小于第三邊；③三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°；④三角形三個(gè)外角的和等于360°；⑤三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；⑥三角形一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。知識(shí)點(diǎn)2三角形的主要線段和外心、內(nèi)心①三角形的角平分線、中線、高；②三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的外心，三角形的外心到各頂點(diǎn)的距離相等；③三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等；④連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。知識(shí)點(diǎn)3等腰三角形等腰三角形的識(shí)別：①有兩邊相等的三角形是等腰三角形；②有兩角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）；③三邊相等的三角形是等邊三角形；④三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；⑤有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。等腰三角形的性質(zhì)：①等邊對等角；②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；③等腰三角形是軸對稱圖形，底邊的中垂線是它的對稱軸；④等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60°。知識(shí)點(diǎn)4直角三角形直角三角形的識(shí)別：①有一個(gè)角等于90°的三角形是直角三角形；②有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理：如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。直角三角形的性質(zhì)：①直角三角形的兩個(gè)銳角互余；②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；③勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。知識(shí)點(diǎn)5全等三角形定義、判定、性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)6相似三角形知識(shí)點(diǎn)7銳角三角函數(shù)與解直角三角形【復(fù)習(xí)點(diǎn)撥】（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有關(guān)概念。（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算、解答有關(guān)綜合題。（3）培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、及分類討論的數(shù)學(xué)思想的能力【典例解析】例題1：（2017重慶B）已知△ABC∽△DEF，且相似比為1：2，則△ABC與△DEF的面積比為（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【分析】利用相似三角形面積之比等于相似比的平方計(jì)算即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比為1：2，∴△ABC與△DEF的面積比為1：4，故選A【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．例題2：（2017山東棗莊）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD=4，AB=15，則△ABD的面積是（）A．15 B．30 C．45 D．60【考點(diǎn)】KF：角平分線的性質(zhì)．【分析】判斷出AP是∠BAC的平分線，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=CD，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【解答】解：由題意得AP是∠BAC的平分線，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，又∵∠C=90°，∴DE=CD，∴△ABD的面積=AB?DE=×15×4=30．故選B．例題3：（2017山東棗莊）如圖，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】S8：相似三角形的判定．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可．【解答】解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、兩三角形的對應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項(xiàng)正確．D、兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C．例題4：（2017甘肅張掖）如圖，已知△ABC，請用圓規(guī)和直尺作出△ABC的一條中位線EF（不寫作法，保留作圖痕跡）．【考點(diǎn)】N3：作圖—復(fù)雜作圖；KX：三角形中位線定理．【分析】作線段AB的垂直平分線得到AB的中點(diǎn)E，作AC的垂直平分線得到線段AC的中點(diǎn)F．線段EF即為所求．【解答】解：如圖，△ABC的一條中位線EF如圖所示，方法：作線段AB的垂直平分線得到AB的中點(diǎn)E，作AC的垂直平分線得到線段AC的中點(diǎn)F．線段EF即為所求．例題5：（2017張家界）位于張家界核心景區(qū)的賀龍銅像，是我國近百年來最大的銅像．銅像由像體AD和底座CD兩部分組成．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像體AD的高度（最后結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）【考點(diǎn)】T8：解直角三角形的應(yīng)用．【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出BC的長，再利用tan70.5°=求出答案．【解答】解：∵在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，∴BC=2.3m，∵在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，∴tan70.5°==≈2.824，解得：AD≈4.2，答：像體AD的高度約為4.2m．例題6：（2017?新疆）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論中：①∠ABC=∠ADC；②AC與BD相互平分；③AC，BD分別平分四邊形ABCD的兩組對角；④四邊形ABCD的面積S=AC?BD．正確的是①④（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KG：線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】①證明△ABC≌△ADC，可作判斷；②③由于AB與BC不一定相等，則可知此兩個(gè)選項(xiàng)不一定正確；④根據(jù)面積和求四邊形的面積即可．【解答】解：①在△ABC和△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠ABC=∠ADC，故①結(jié)論正確；②∵△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴OB=OD，AC⊥BD，而AB與BC不一定相等，所以AO與OC不一定相等，故②結(jié)論不正確；③由②可知：AC平分四邊形ABCD的∠BAD、∠BCD，而AB與BC不一定相等，所以BD不一定平分四邊形ABCD的對角；故③結(jié)論不正確；④∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD的面積S=S△ABD+S△BCD=BD?AO+BD?CO=BD?（AO+CO）=AC?BD．故④結(jié)論正確；所以正確的有：①④；故答案為：①④．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，第1問可以利用等邊對等角，由等量加等量和相等來解決．例題7：（2017重慶B）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，連接BE．（1）如圖1，若AB=4，BE=5，求AE的長；（2）如圖2，點(diǎn)D是線段BE延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，連接CD、CF，當(dāng)AF=DF時(shí)，求證：DC=BC．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AC=BC=AB=4，根據(jù)勾股定理得到CE==3，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAB=45°，由于∠AFB=∠ACB=90°，推出A，F(xiàn)，C，B四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠CFB=∠CAB=45°，求得∠DFC=∠AFC=135°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴AC=BC=AB=4，∵BE=5，∴CE==3，∴AE=4﹣3=1；（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∵AF⊥BD，∴∠AFB=∠ACB=90°，∴A，F(xiàn)，C，B四點(diǎn)共圓，∴∠CFB=∠CAB=45°，∴∠DFC=∠AFC=135°，在△ACF與△DCF中，，∴△ACF≌△DCF，∴CD=AC，∵AC=BC，∴AC=BC．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例題8：（2017湖南岳陽）問題背景：已知∠EDF的頂點(diǎn)D在△ABC的邊AB所在直線上（不與A，B重合），DE交AC所在直線于點(diǎn)M，DF交BC所在直線于點(diǎn)N，記△ADM的面積為S1，△BND的面積為S2．（1）初步嘗試：如圖①，當(dāng)△ABC是等邊三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2時(shí)，則S1S2=12；（2）類比探究：在（1）的條件下，先將點(diǎn)D沿AB平移，使AD=4，再將∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至如圖②所示位置，求S1S2的值；（3）延伸拓展：當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，設(shè)∠B=∠A=∠EDF=α．（Ⅰ）如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AD=a，BD=b，求S1S2的表達(dá)式（結(jié)果用a，b和α的三角函數(shù)表示）．（Ⅱ）如圖④，當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AD=a，BD=b，直接寫出S1S2的表達(dá)式，不必寫出解答過程．【分析】（1）首先證明△ADM，△BDN都是等邊三角形，可得S1=22=，S2=（4）2=4，由此即可解決問題；（2）如圖2中，設(shè)AM=x，BN=y．首先證明△AMD∽△BDN，可得=，推出=，推出xy=8，由S1=ADAMsin60°=x，S2=DBsin60°=y，可得S1S2=xy=xy=12；（3）Ⅰ如圖3中，設(shè)AM=x，BN=y，同法可證△AMD∽△BDN，可得xy=ab，由S1=ADAMsinα=axsinα，S2=DBBNsinα=bysinα，可得S1S2=（ab）2sin2α．（Ⅱ）結(jié)論不變，證明方法類似；【解答】解：（1）如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°，∵DE∥BC，∠EDF=60°，∴∠BND=∠EDF=60°，∴∠BDN=∠ADM=60°，∴△ADM，△BDN都是等邊三角形，∴S1=22=，S2=（4）2=4，∴S1S2=12，故答案為12．（2）如圖2中，設(shè)AM=x，BN=y．∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，∴△AMD∽△BDN，∴=，∴=，∴xy=8，∵S1=ADAMsin60°=x，S2=DBsin60°=y，∴S1S2=xy=xy=12．（3）Ⅰ如圖3中，設(shè)AM=x，BN=y，同法可證△AMD∽△BDN，可得xy=ab，∵S1=ADAMsinα=axsinα，S2=DBBNsinα=bysinα，∴S1S2=（ab）2sin2α．Ⅱ如圖4中，設(shè)AM=x，BN=y，同法可證△AMD∽△BDN，可得xy=ab，∵S1=ADAMsinα=axsinα，S2=DBBNsinα=bysinα，∴S1S2=（ab）2sin2α．【點(diǎn)評】本題考查幾何變換綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積公式．銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考壓軸題．【達(dá)標(biāo)檢測】一、選擇題1.（2017甘肅張掖）已知a，b，c是△ABC的三條邊長，化簡|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的結(jié)果為（）A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0【考點(diǎn)】K6：三角形三邊關(guān)系．【分析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出a﹣b﹣c與c﹣b+a的符號(hào)，再去絕對值符號(hào)，合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：∵a、b、c為△ABC的三條邊長，∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，∴原式=a+b﹣c+（c﹣a﹣b）=0．故選D．2.3.（2017張家界）如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的中點(diǎn)，如果△ADE的周長是6，則△ABC的周長是（）A．6 B．12 C．18 D．24【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；KX：三角形中位線定理．【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)求出AD=AB、AE=AC的長，根據(jù)三角形中位線定理求出DE=AB，根據(jù)三角形周長公式計(jì)算即可．【解答】解：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴AD=AB，AE=AC，DE=BC，∴△ABC的周長=AB+AC+BC=2AD+2AE+2DE=2（AD+AE+DE）=2×6=12．故選B．4.如圖，在中，，，，，的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則的長為（）A．B．C．D．【考點(diǎn)】角平分線，相似，直角三角形內(nèi)切圓半徑【分析】先求出直角三角形內(nèi)切圓半徑=2，再利用相似求【解答】解：延長FE交AB于點(diǎn)D，作ED⊥BC，EH⊥AC則ED=EG=EH===2設(shè)EF=FC=x∵△ADF∽△ABC∴∴即x=故選C5.(2017湖北襄陽)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以點(diǎn)C為圓心，CB長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D；再分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，作射線CE交AB于點(diǎn)F，則AF的長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【考點(diǎn)】N2：作圖—基本作圖；KO：含30度角的直角三角形．【分析】連接CD，根據(jù)在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4可知AB=2BC=8，再由作法可知BC=CD=4，CE是線段BD的垂直平分線，故CD是斜邊AB的中線，據(jù)此可得出BD的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：連接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8．∵作法可知BC=CD=4，CE是線段BD的垂直平分線，∴CD是斜邊AB的中線，∴BD=AD=4，∴BF=DF=2，∴AF=AD+DF=4+2=6．故選B．二、填空題：6.（2017湖南株洲）如圖示在△ABC中∠B=25°．【考點(diǎn)】KN：直角三角形的性質(zhì)．【分析】由直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可得出答案．【解答】解：∵∠C=90°，∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣65°=25°；故答案為：25°．7.（2017甘肅張掖）如圖，一張三角形紙片ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．現(xiàn)將紙片折疊：使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，那么折痕長等于cm．【考點(diǎn)】PB：翻折變換（折疊問題）．【分析】根據(jù)折疊得：GH是線段AB的垂直平分線，得出AG的長，再利用兩角對應(yīng)相等證△ACB∽△AGH，利用比例式可求GH的長，即折痕的長．【解答】解：如圖，折痕為GH，由勾股定理得：AB==10cm，由折疊得：AG=BG=AB=×10=5cm，GH⊥AB，∴∠AGH=90°，∵∠A=∠A，∠AGH=∠C=90°，∴△ACB∽△AGH，∴=，∴=，∴GH=cm．故答案為：．8.在邊長為4的等邊三角形中，為邊上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作，，垂足分別為，則．【考點(diǎn)】等邊三角形,三角函數(shù)【分析】根據(jù)，，利用整體代入法求出【解答】解：在三角形BDE中，在三角形DCF中，∴9.（2017湖南株洲）如圖示，若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足∠PAC=∠PBA=∠PCB，則點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn)．三角形的布洛卡點(diǎn)（Brocardpoint）是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾（A．L．Crelle1780﹣1855）于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意，1875年，布洛卡點(diǎn)被一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者法國軍官布洛卡（Brocard1845﹣1922）重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．問題：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若點(diǎn)Q為△DEF的布洛卡點(diǎn)，DQ=1，則EQ+FQ=（）A．5 B．4 C． D．【考點(diǎn)】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；JB：平行線的判定與性質(zhì)；KW：等腰直角三角形．【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解決問題．【解答】解：如圖，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，∴△DQF∽△FQE，∴===，∵DQ=1，∴FQ=，EQ=2，∴EQ+FQ=2+，故選D10.（2017浙江義烏）如圖，∠AOB=45°，點(diǎn)M，N在邊OA上，OM=x，ON=x+4，點(diǎn)P是邊OB上的點(diǎn)，若使點(diǎn)P，M，N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有三個(gè)，則x的值是x=0或x=4﹣4或4＜x＜4．【考點(diǎn)】KI：等腰三角形的判定．【分析】分三種情況討論：先確定特殊位置時(shí)成立的x值，①如圖1，當(dāng)M與O重合時(shí)，即x=0時(shí)，點(diǎn)P恰好有三個(gè)；②如圖2，構(gòu)建腰長為4的等腰直角△OMC，和半徑為4的⊙M，發(fā)現(xiàn)M在點(diǎn)D的位置時(shí)，滿足條件；③如圖3，根據(jù)等腰三角形三種情況的畫法：分別以M、N為圓心，以MN為半徑畫弧，與OB的交點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)P，再以MN為底邊的等腰三角形，通過畫圖發(fā)現(xiàn)，無論x取何值，以MN為底邊的等腰三角形都存在一個(gè)，所以只要滿足以MN為腰的三角形有兩個(gè)即可．【解答】解：分三種情況：①如圖1，當(dāng)M與O重合時(shí)，即x=0時(shí)，點(diǎn)P恰好有三個(gè)；②如圖2，以M為圓心，以4為半徑畫圓，當(dāng)⊙M與OB相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為C，⊙M與OA交于D，∴MC⊥OB，∵∠AOB=45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC=OC=4，∴OM=4，當(dāng)M與D重合時(shí)，即x=OM﹣DM=4﹣4時(shí)，同理可知：點(diǎn)P恰好有三個(gè)；③如圖3，取OM=4，以M為圓心，以O(shè)M為半徑畫圓，則⊙M與OB除了O外只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)x=4，即以∠PMN為頂角，MN為腰，符合條件的點(diǎn)P有一個(gè)，以N圓心，以MN為半徑畫圓，與直線OB相離，說明此時(shí)以∠PNM為頂角，以MN為腰，符合條件的點(diǎn)P不存在，還有一個(gè)是以NM為底邊的符合條件的點(diǎn)P；點(diǎn)M沿OA運(yùn)動(dòng)，到M1時(shí)，發(fā)現(xiàn)⊙M1與直線OB有一個(gè)交點(diǎn)；∴當(dāng)4＜x＜4時(shí)，圓M在移動(dòng)過程中，則會(huì)與OB除了O外有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足點(diǎn)P恰好有三個(gè)；綜上所述，若使點(diǎn)P，M，N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有三個(gè)，則x的值是：x=0或x=4﹣4或4．故答案為：x=0或x=4﹣4或4．三、解答題11.（2017江西）我們定義：如圖1，在△ABC看，把AB點(diǎn)繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到AC'，連接B'C'．當(dāng)α+β=180°時(shí)，我們稱△A'B'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．特例感知：（1）在圖2，圖3中，△AB'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”．①如圖2，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD=BC；②如圖3，當(dāng)∠BAC=90°，BC=8時(shí)，則AD長為4．猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí)，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．拓展應(yīng)用（3）如圖4，在四邊形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，DA=6．在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)P，使△PDC是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”？若存在，給予證明，并求△PAB的“旋補(bǔ)中線”長；若不存在，說明理由．【考點(diǎn)】LO：四邊形綜合題．【分析】（1）①首先證明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=AB′即可解決問題；②首先證明△BAC≌△B′AC′，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題；（2）結(jié)論：AD=BC．如圖1中，延長AD到M，使得AD=DM，連接E′M，C′M，首先證明四邊形AC′MB′是平行四邊形，再證明△BAC≌△AB′M，即可解決問題；（3）存在．如圖4中，延長AD交BC的延長線于M，作BE⊥AD于E，作線段BC的垂直平分線交BE于P，交BC于F，連接PA、PD、PC，作△PCD的中線PN．連接DF交PC于O．想辦法證明PA=PD，PB=PC，再證明∠APD+∠BPC=180°，即可；【解答】解：（1）①如圖2中，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AB=AB′=AC′，∵DB′=DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=120°，∴∠B′=∠C′=30°，∴AD=AB′=BC，故答案為．②如圖3中，∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=∠BAC=90°，∵AB=AB′，AC=AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC=B′C′，∵B′D=DC′，∴AD=B′C′=BC=4，故答案為4．（2）結(jié)論：AD=BC．理由：如圖1中，延長AD到M，使得AD=DM，連接E′M，C′M∵B′D=DC′，AD=DM，∴四邊形AC′MB′是平行四邊形，∴AC′=B′M=AC，∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°，∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC=AM，∴AD=BC．（3）存在．理由：如圖4中，延長AD交BC的延長線于M，作BE⊥AD于E，作線段BC的垂直平分線交BE于P，交BC于F，連接PA、PD、PC，作△PCD的中線PN．連接DF交PC于O．∵∠ADC=150°，∴∠MDC=30°，在Rt△DCM中，∵CD=2，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∴CM=2，DM=4，∠M=60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°，∴EM=BM=7，∴DE=EM﹣DM=3，∵AD=6，∴AE=DE，∵BE⊥AD，∴PA=PD，PB=PC，在Rt△CDF中，∵CD=2，CF=6，∴tan∠CDF=，∴∠CDF=60°=∠CPF，易證△FCP≌△CFD，∴CD=PF，∵CD∥PF，∴四邊形CDPF是矩形，∴∠CDP=90°，∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°，∴△ADP是等邊三角形，∴∠ADP=60°，∵∠BPF=∠CPF=60°，∴∠BPC=120°，∴∠APD+∠BPC=180°，∴△PDC是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”，在Rt△PDN中，∵∠PDN=90°，PD=AD=6，DN=，∴PN===．12.（2017湖南岳陽）某太陽能熱水器的橫截面示意圖如圖所示，已知真空熱水管AB與支架CD所在直線相交于點(diǎn)O，且OB=OD，支架CD與水平線AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．（1）求支架CD的長；（2）求真空熱水管AB的長．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】（1）在Rt△CDE中，根據(jù)∠CDE=30°，DE=80cm，求出支架CD的長是多少即可．（2）首先在Rt△OAC中，根據(jù)∠BAC=30°，AC=165cm，求出OC的長是多少，進(jìn)而求出OD的長是多少；然后求出OA的長是多少，即可求出真空熱水管AB的長是多少．【解答】解：（1）在Rt△CDE中，∠CDE=30°，DE=80cm，∴CD=80×cos30°=80×=40（cm）．（2）在Rt△OAC中，∠BAC=30°，AC=165cm，∴OC=AC×tan30°=165×=55（cm），∴OD=OC﹣CD=55﹣40=15（cm），∴AB=AO﹣OB=AO﹣OD=55×2﹣15=95（cm）．【點(diǎn)評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，要熟練掌握，注意將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）．13.（2017湖南株洲）如圖示，正方形ABCD的頂點(diǎn)A在等腰直角三角形DEF的斜邊EF上，EF與BC相交于點(diǎn)G，連接CF．①求證：△DAE≌△DCF；②求證：△ABG∽△CFG．【考點(diǎn)】S8：相似三角形的判定；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KW：等腰直角三角形；LE：正方形的性質(zhì)．【分析】①由正方形ABCD與等腰直角三角形DEF，得到兩對邊相等，一對直角相等，利用SAS即可得證；②由第一問的全等三角形的對應(yīng)角相等，根據(jù)等量代換得到∠BAG=∠BCF，再由對頂角相等，利用兩對角相等的三角形相似即可得證．【解答】證明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF；②延長BA到M，交ED于點(diǎn)M，∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，∵∠MAD=∠BCD=90°，∴∠EAM=∠BCF，∵∠EAM=∠BAG，∴∠BAG=∠BCF，∵∠AGB=∠CGF，∴△ABG∽△CFG．14.（2017浙江義烏）如圖，學(xué)校的實(shí)驗(yàn)樓對面是一幢教學(xué)樓，小敏在實(shí)驗(yàn)樓的窗口C測得教學(xué)樓頂部D的仰角為18°，教學(xué)樓底部B的俯角為20°，量得實(shí)驗(yàn)樓與教