量子力學(xué)考試題

量子力學(xué)考試題（共五題，每題20分）1、扼要說(shuō)明：（a）束縛定態(tài)的主要性質(zhì)。（b）單價(jià)原子自發(fā)能級(jí)躍遷過(guò)程的選擇定則及其理論根據(jù)。2、設(shè)力學(xué)量算符（厄米算符），不對(duì)易，令＝i（-），試證明：（a）的本征值是實(shí)數(shù)。（b）對(duì)于的任何本征態(tài)，的平均值為0。（c）在任何態(tài)中+≥3、自旋/2的定域電子（不考慮“軌道”運(yùn)動(dòng)）受到磁場(chǎng)作用，已知其能量算符為＝+ν（，ν>0，?ν）（a）求能級(jí)的精確值。（b）視ν項(xiàng)為微擾，用微擾論公式求能級(jí)。4、質(zhì)量為m的粒子在無(wú)限深勢(shì)阱（0<x<a）中運(yùn)動(dòng)，處于基態(tài)。寫(xiě)出能級(jí)和波函數(shù)，并計(jì)算平均值，，5、某物理體系由兩個(gè)粒子組成，粒子間相互作用微弱，可以忽略。已知單粒子“軌道”態(tài)只有3種：()，()，()，試分別就以下兩種情況，求體系的可能（獨(dú)立）狀態(tài)數(shù)目。（i）無(wú)自旋全同粒子。（ii）自旋/2的全同粒子（例如電子）。量子力學(xué)考試評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1、（a），（b）各10分（a）能量有確定值。力學(xué)量（不顯含t）的可能測(cè)值及概率不隨時(shí)間改變。（b）（nlmms）（n’l’m’ms’）選擇定則：＝，＝0,，＝0根據(jù)：電矩m矩陣元-en’l’m’ms’，nlmms02、（a）6分（b）7分（c）7分（a）是厄米算符，所以其本征值必為實(shí)數(shù)。（b）＝，＝＝＝i-＝i｛-G｝＝0（c）(+i)(-i)=2+2-(+i)(-i)=︱(-i)︱2≥0<2+2->≥0，即+≥3、(a)，(b)各10分(a)＝+ν＝［］+ν［］＝［］＝E，＝［］，令E＝，則［］［］＝0，︱︱＝--＝0＝，E1＝-，E2＝當(dāng)?ν，＝（1+）1/2（1+）＝+E1-［+］，E2＝［+］（b）＝+ν＝0+’，0＝，’＝ν0本征值為，取E1（0）＝-，E2（0）＝相當(dāng)本征函數(shù)（Sz表象）為1(0)＝[]，2(0)＝[]則’之矩陣元（Sz表象）為2.1由下列兩定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度：(1)y1=eikr/r,(2)y2=e-ikr/r.從所得結(jié)果說(shuō)明y1表示向外傳播的球面波，y2表示向內(nèi)（即向原點(diǎn)）傳播的球面波。2.2一粒子在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。2.3求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。2.4一粒子在一維勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，求束縛態(tài)(0<E<U0)的能級(jí)所滿(mǎn)足的方程。2.5對(duì)于一維無(wú)限深勢(shì)阱(0<x<a)中的定態(tài)yn(x)，求、和Dx，并與經(jīng)典力學(xué)結(jié)果比較。2.6粒子在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求存在束縛態(tài)(E<0)的條件(，m，a，V0關(guān)系)以及能級(jí)方程。2.7求二維各向同性諧振子[V=k(x2+y2)]的能級(jí)，并討論各能級(jí)的簡(jiǎn)并度。2.8粒子束以動(dòng)能E=從左方入射，遇勢(shì)壘求反射系數(shù)、透射系數(shù)。E<V0及E>V0情形分別討論。2.9質(zhì)量為m的粒子只能沿圓環(huán)（半徑R）運(yùn)動(dòng)，能量算符，j為旋轉(zhuǎn)角。求能級(jí)(En)及歸一化本征波函數(shù)yn(j)，討論各能級(jí)的簡(jiǎn)并度。第三章基本原理3.1一維諧振子處在基態(tài)，求：(1)勢(shì)能的平均值；(2)動(dòng)能的平均值；(3)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。3.2設(shè)t=0時(shí)，粒子的狀態(tài)為y(x)=A[sin2kx+coskx]，求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能。3.3在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)阱的寬度為a，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)y(x)=Ax(a-x)描寫(xiě)，A為歸一化常數(shù)，求粒子能量的幾率分布和能量的平均值。3.4證明：如歸一化的波函數(shù)y(x)是實(shí)函數(shù)，則<xpx>=i/2；如y=y(r)（與q，j無(wú)關(guān)），則<r>=-3/2。3.5計(jì)算對(duì)易式[x,Ly]，[pz,Lx]，并寫(xiě)出類(lèi)似的下標(biāo)輪換式(x?y,y?z,z?x)。3.6證明算符關(guān)系3.7設(shè)F為非厄米算符(F+1F)，證明F可以表示成A+iB的形式，A、B為厄米算符。求A、B與F、F+之關(guān)系。3.8一維諧振子(V1=kx2)處于基態(tài)。設(shè)勢(shì)場(chǎng)突然變成V2=kx2，即彈性力增大一倍。求粒子在V2場(chǎng)中的能級(jí)以及此粒子在新勢(shì)場(chǎng)的基態(tài)中出現(xiàn)的幾率。3.9有線性算符L、M、K，[L,M]=1，K=LM。K的本征函數(shù)、本征值記為yn、ln(n=1,2,...)。證明：如函數(shù)Myn及Lyn存在，則它們也是K的本征函數(shù)，本征值為(ln±1)。3.10證明：如H=/2m+V()，則對(duì)于任何束縛態(tài)<>=0。3.11粒子在均勻電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，已知H=/2m-qex。設(shè)t=0時(shí)=0，=p0，求(t)，(t)。3.12粒子在均勻磁場(chǎng)=(0,0,B)中運(yùn)動(dòng)，已知H=/2m-wLz，w=qB/2mc。設(shè)t=0時(shí)<>=(p0,0,0)，求t>0時(shí)<>。3.13粒子在勢(shì)場(chǎng)V()中運(yùn)動(dòng)，V與粒子質(zhì)量m無(wú)關(guān)。證明：如m增大，則束縛態(tài)能級(jí)下降。第四章中心力場(chǎng)4.1證明氫原子中電子運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標(biāo)中的分量是Jer=Jeq=0,Jej=-。4.2由上題可知，氫原子中的電流可以看作是由許多圓周電流組成的。(1)求一圓周電流的磁矩。(2)證明氫原子磁矩為原子磁矩與角動(dòng)量之比為這個(gè)比值，稱(chēng)為回轉(zhuǎn)磁比率。4.3設(shè)氫原子處于狀態(tài)求氫原子能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。4.4利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估計(jì)氫原子的基態(tài)能量。4.5對(duì)于類(lèi)氫離子的基態(tài)y100，求概然半徑（最可幾半徑）及。4.6對(duì)于類(lèi)氫離子的ynlm態(tài)，證明<T>=-<V>=-En。4.7對(duì)于類(lèi)氫離子的基態(tài)y100，計(jì)算Dx,Dpx，驗(yàn)證不確定關(guān)系。4.8單價(jià)原子中價(jià)電子（最外層電子）所受原子實(shí)（原子核及內(nèi)層電子）的庫(kù)侖作用勢(shì)可以近似表示成試求價(jià)電子能級(jí)。與氫原子能級(jí)比較，列出主量子數(shù)n的修正數(shù)公式。[提示：將V(r)中第二項(xiàng)與離心勢(shì)合并，記成，計(jì)算()之值，...]。第五章表象理論5.1設(shè)|yn>，|yk>是厄米算符的本征態(tài)矢，相應(yīng)于不同的本征值。算符與對(duì)易。證明<yk|F|yn>=0。5.2質(zhì)量為m的粒子在勢(shì)場(chǎng)V(x)中作一維運(yùn)動(dòng)，設(shè)能級(jí)是離散的。證明能量表象中求和規(guī)則(l為實(shí)數(shù))。5.3對(duì)于一維諧振子的能量本征態(tài)|n>，利用升、降算符計(jì)算<T>、<V>、Dx、Dp。5.4設(shè)為角動(dòng)量，為常矢量，證明[,·]=i×5.5對(duì)于角動(dòng)量的態(tài)（,Jz共同本征態(tài)），計(jì)算Jx、Jy、Jx2、Jy2等平均值，以及DJx、DJy。5.6設(shè)（單位矢量）與z軸的夾角為q，對(duì)于角動(dòng)量的態(tài)，計(jì)算<Jn>（即·的平均值）。5.7以表示，Lz共同本征態(tài)矢。在l=1子空間中，取基矢為,建立，Lz表象。試寫(xiě)出Lx及Ly的矩陣表示（3階），并求其本征值及本征態(tài)矢（取=1）。*5.8對(duì)于諧振子相干態(tài)(a=a,a為實(shí)數(shù))，計(jì)算，。第六章微擾理論6.1如果類(lèi)氫原子的核不是點(diǎn)電荷，而是半徑為r0，電荷均勻分布的小球，計(jì)算這種效應(yīng)對(duì)類(lèi)氫原子基態(tài)能量的一級(jí)修正。6.2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I、電偶極矩為D的空間轉(zhuǎn)子在均勻電場(chǎng)e中，如果電場(chǎng)較小，用微擾法求轉(zhuǎn)子基態(tài)能量的二級(jí)修正。6.3設(shè)一體系未受微擾作用時(shí)只有兩個(gè)能級(jí)E01及E02，現(xiàn)在受到微擾的作用。微擾矩陣元為H’12=H’21=a,H’11=H’22=b;a,b都是實(shí)數(shù)。用微擾公式求能量至二級(jí)修正值。6.4一電荷為e的線性諧振子受恒定弱電場(chǎng)e作用，設(shè)電場(chǎng)沿正x方向：(1)用微擾法求能量至二級(jí)修正；(2)求能量的準(zhǔn)確值，并和(1)所得結(jié)果比較。6.5設(shè)在t=0時(shí)，氫原子處于基態(tài)，以后由于受到單色光的照射而電離。設(shè)單色光的電場(chǎng)可以近似地表示為esinwt，e及w均為常量；電離后電子的波函數(shù)近似地以平面波表示。求這單色光的最小頻率和在時(shí)刻t躍遷到電離態(tài)的幾率。6.6基態(tài)氫原子處于平行板電場(chǎng)中，若電場(chǎng)是均勻的且隨時(shí)間按指數(shù)下降，即求經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間后氫原子處在2p態(tài)的幾率。6.7計(jì)算氫原子由第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的自發(fā)發(fā)射幾率。6.8求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則。6.9粒子（質(zhì)量m）在無(wú)限深勢(shì)阱0<x<a中運(yùn)動(dòng)，處于能量本征態(tài)yn(x)。后受到微擾作用，H’=lx,(a)求躍遷選擇定律(yn?yn’，n’-n=?)；(b)利用定態(tài)微擾論，求能級(jí)En的一級(jí)修正。6.10用變分法求氫原子(V=-e2/r)或三維各向同性諧振子(V=mw2r2)的基態(tài)能量近似值（二者選一）。(a)取試探波函數(shù)為y(l,r)=Aexp(-lr);(b)取試探波函數(shù)為y(l,r)=Bexp(-l2r2)。6.11質(zhì)量為m的粒子在勢(shì)場(chǎng)V(x)=kx4(k>0)中作一維運(yùn)動(dòng)。試用變分法求基態(tài)能量近似值。建議取試探波函數(shù)y(l,r)=Aexp(-l2r2)。6.12某量子力學(xué)體系處于基態(tài)y1(x)。t>0后受到微擾作用，H’(x,t)=F(x)e-t/t，試證明：長(zhǎng)時(shí)間后(t>>t)該體系處于激發(fā)態(tài)yn(x)的幾率為第七章自旋7.1證明。7.2求在自旋態(tài)中，和的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：7.3求及的本征值和所屬的本征函數(shù)。7.4求自旋角動(dòng)量在(cosa，cosb，cosg)方向的投影的本征值和所屬的本征函數(shù)。在這些本征態(tài)中，測(cè)量有哪些可能值？這些可能值各以多大的幾率出現(xiàn)？的平均值是多少？7.5設(shè)氫原子的狀態(tài)是(1)求軌道角動(dòng)量z分量和自旋角動(dòng)量z分量的平均值；(2)求總磁矩(SI)的z分量的平均值（用玻爾磁子表示）。7.6求電子的總角動(dòng)量算符，Jz的共同本征函數(shù)。7.7在Sz表象中，證明。7.8對(duì)于電子的,證明（取）7.9電子的總磁矩算符是對(duì)于電子角動(dòng)量的ljj態(tài)(mj=j)計(jì)算mz的平均值(結(jié)果用量子數(shù)j表示出來(lái))。第八章多粒子體系8.1一體系由三個(gè)全同的玻色子組成，玻色子之間無(wú)相互作用。玻色子只有兩個(gè)可能的單粒子態(tài)。問(wèn)體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)？它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成？8.2設(shè)兩電子在彈性輳力場(chǎng)中