2023年中考數(shù)學(xué)真題匯編詳解18：三角形全等

一、選擇題1.（2015江蘇泰州，6，3分）如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點(diǎn)E、O、F，則圖中全等三角形的對(duì)數(shù)是A．1對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì)（第6題圖）（第6題圖）【答案】D2.(2015浙江省紹興市，7，4分)如圖，小敏做了一個(gè)角平分儀ABCD，其中AB=AD，BC=DC，將儀器上的點(diǎn)A與∠PRQ的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過點(diǎn)A，C畫一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線。此角平分儀的畫圖原理是：根據(jù)儀器結(jié)構(gòu)，可得△ABC≌△ADC，這樣就有∠QAE=∠PAE。則說明這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是A.SASB.ASAC.AASD.SSS第7題【答案】D【解析】本題考查了全等三角形的判定方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形常見判定方法．由圖和條件可知：AB=AD，BC=DC，AC是公共邊，即AC=AC，根據(jù)三角形全等的判定方法可得這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是“邊邊邊”，因此，本題的正確答案為D．3.（2015義烏7，3分）如圖，小敏做了一個(gè)角平分儀ABCD，其中AB=AD，BC=DC，將儀器上的點(diǎn)A與∠PRQ的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過點(diǎn)A，C畫一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線．此角平分儀的畫圖原理是：根據(jù)儀器結(jié)構(gòu)，可說明△ABC≌△ADC，這樣就有∠QAE=∠PAE．則此兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（）A.SASB.ASAC.AASD.SSS【答案】D二、填空題1.（2015江西省，第9題，3分）如圖，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB．則圖中有對(duì)全等三角形．【答案】3【解析】∵∠POE=∠POF,∠PEO=∠PFO=90°OP=OP,∴△POE≌△POF(AAS),又OA=OB,∠POA=∠POB,OP=OP,∴△POA≌△POB(AAS),∴PA=PB,∵PE=PF,∴Rt△PAE≌Rt△PBF(HL).∴圖中共有3對(duì)全的三角形.故答案為32.（2015婁底市，13，3分）已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，還需要加一個(gè)條件，你添加的條件是.(只需寫一個(gè)，不添加輔助線)【答案】AD=CD或∠ABD=∠CBD【解析】解：△ABD和△CBD中，AB=BC，BD=BD，根據(jù)全等三角形的判定定理可知AD=CD或∠ABD=∠CBD時(shí)，兩三角形全等.3.（2015湖南省永州市，15，3分）如下圖，在△ABC中，己知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，則CE＝____(第15題圖)【答案】CE＝3.【解析】解：∵∠1＝∠2，∠A＝∠A，BE＝CD，∴△ABE≌△ACD.∴AD＝AE＝2,AB＝AC＝5.∴CE＝AC－AE＝5－2＝3.三、解答題1.（2015年四川省宜賓市，18，6分）如圖，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE。求證：∠A=∠D【答案】證明：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE即∠DCE=∠ACB在△ACB和△DCE中，AC=DC，∠DCE=∠ACB，BC=EC，∴△ACB≌△DCE，∴∠A=∠D2.（2015重慶B卷，20，7分）如圖，△ABC和△EFD分別在線段AE的兩側(cè)，點(diǎn)C，D在線段AE上，AC=DE，AB∥EF.求證：BC=FD.【答案】答案略【解析】證明：∵AB∥EF∴∠A＝∠E∴△ABC≌△EFD∴BC=FD3.（2015重慶B卷，25，12分）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∠EDF=120°，DE與線段AB相交于點(diǎn)E，DF與線段AC（或AC的延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)F.（1）如圖1，若DF⊥AC，垂足為F，AB=4，求BE的長(zhǎng)；（2）如圖2，將（1）中的∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點(diǎn)F.求證：；（3）如圖3，將（2）中的∠EDF繼續(xù)繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使DF與線段AC的延長(zhǎng)線交與點(diǎn)F，作DN⊥AC于點(diǎn)N，若DN=FN，求證：.【答案】（１）2；（２）答案略；（３）答案略【解析】解：⑴由四邊形AEDF的內(nèi)角和為360°，可知DE⊥AB，故BE＝２⑵取AB的中點(diǎn)G，連接DG易證：DG為△ABC的中位線，故DG=DC，∠BGD＝∠C＝60°又四邊形AEDF的對(duì)角互補(bǔ)，故∠GED＝∠DFC∴△DEG≌△DFC故EG=CF∴BE+CF=BE+EG=BG=AB⑶取AB的中點(diǎn)G，連接DG同⑵，易證△DEG≌△DFC故EG=CF故BE-CF=BE-EG=BG=AB設(shè)CN＝x在Rt△DCN中，CD=2x，DN=x在RT△DFN中，NF=DN=x，故EG=CF=（-1）xBE=BG+EG=DC+CF=2x+（-1）x=（+1）x故BE+CF=（+1）x+（-1）x＝２x，（BE-CF）=[(+1)x-（-1）x]=２x.故.4.（2015福建省福州市，19，8分）如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，求證：AC=AD.【答案】證明：∵∠3=∠4，∴∠ABC=∠ABD.在△ABC和△ABD中，∴△ABC≌△ABD(ASA)∴AC=AD.5.（2015四川省瀘州市）如圖，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD.求證：BC=DE.【答案】證明：∵∠1=∠2∴∠CAB=∠EAD在△CAB和△EAD中∴△CAB≌△EAD∴BC=DE6.（2015山東濟(jì)南，27，9分）如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，點(diǎn)M為射線AE上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接CM，將線段CM繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN，直線NB分別交直線CM、射線AE于點(diǎn)F、D.（1）直接寫出∠NDE的度數(shù)；（2）如圖2、圖3，當(dāng)∠EAC為銳角或鈍角時(shí)，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化？如果不變，選取其中一種情況加以證明；如果變化，請(qǐng)說明理由；（3）如圖4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直線CM與AB交于G，BD=，其他條件不變，求線段AM的長(zhǎng).【答案】【解析】（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°∴∠ACM+∠BCM=∠NCB+∠BCM=90°∴∠NCB=∠MCA∵CN=CMBC=AC∴△NCB≌△MCA∴∠NBC=∠MAC=90°=∠ACB∴BN平行AC∴∠NDE=∠EAC=90°（2）不變.如圖2：在△ACM和△BCN中∴△ACM≌△BCN（SAS）∴∠N=∠AMC又∵∠MFD=∠NFC∴∠MOF=∠FCN=90°（3）過點(diǎn)G作GK⊥BC，則∵∠1=15°∴∠3=30°又∵∠ACM=60°∴∠GCB=30°∴∠4=∠ABC+∠GCB=75°∴AE=AM又∵△AMC≌△BNC∴∠1=∠2∴∠BDA=∠ACB=90°∵BD=∴AB=2BD=∴AC=BC=設(shè)BK=a則GK=a，KC=a∴∴a=1∴BK=GK=1GB=∴AG=即AM=7.（2015四川南充，19，8分）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE．求證：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF＝2CD．AABCDEF【答案】（1）略；（2）AF＝2CD．【解析】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°.∵CE⊥AB，∴∠B+∠BCE=90°.∴∠EAF=∠ECB.………………（1分）在△AEF和△CEB中，∴△AEF≌△CEB.………………（3分）（2）∵△AEF≌△CEB.∴AF=BC.………………（4分）∵AB=AC，AD⊥BC.∴CD=BD,BC=2CD.………………（5分）∴AF=2CD.………………（6分）8.（2015湖南省益陽市，20，12分）已知點(diǎn)P是線段AB上與點(diǎn)A不重合的一點(diǎn)，且AP<PB．AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AP1，BP繞點(diǎn)B順時(shí)針也旋轉(zhuǎn)角得到BP2，連接PP1、PP2．（1）如圖9-1，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；（2）如圖9-2，當(dāng)點(diǎn)P2在AP1的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：∽；（3）如圖9-3，過BP的中點(diǎn)E作l1⊥BP，過BP2的中點(diǎn)F作l2⊥BP2，l1與l2交于點(diǎn)Q，連接PQ，求證：P1P⊥PQ．圖9-2圖9-2圖9-1圖9-3【答案】（1）90°；(2)(3)證明略；【解析】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AP=AP1，BP=BP2．∵，∴均為等腰直角三角形,∴，∴.（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知均為頂角為的等腰三角形，∴，∴.在和中，，又，∴∽．（3）如圖，連接QB.20題解圖∵l1，l2分別為PB，P2B的中垂線，20題解圖∴，.又BP=BP2，∴．在Rt△QBE和Rt△QBF中，，，∴Rt△QBE≌Rt△QBF，∴．由中垂線性質(zhì)得:，∴．由（2）知,∴,即P1P⊥PQ．9.（2015浙江省溫州市，18，8分）如圖，點(diǎn)C，E，F(xiàn)，B在同一直線上，點(diǎn)A，D在BC異側(cè)，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D.（1）求證：AB=CD.（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠Ｄ的度數(shù).【答案】(1)證明：∵AB∥CD,∴∠B=∠C,∵AE=DF,∠A=∠D,∴△ABE≌△DCF，∴AB=CD.(2)解：∵AB=CF，AB=CD，∴DC=CF，∴∠D=∠CFD，∠B=∠C=30°，∴∠D=75°10.（2015浙江省杭州市，18，8分）如圖，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，點(diǎn)M，N分別在AB，AC邊上，AM=2MB，AN=2NC.求證：DM=DN.AAMNBDC(第18題)證明：因?yàn)锳M=2MB，所以AM=AB，同理，AN=AC，又因?yàn)锳B=AC,所以AM=AN.因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠MAD=∠NAD.在△AMD和△AND中，,所以△AMD≌△AND，所以DM=DN.11.（2015山東煙臺(tái)，25，14分）【問題提出】如圖1，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC，將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF，連接EF.試證明：AB=DB+AF.【類比探究】（1）如圖2，如果點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上，其它條件不變，線段AB，DB，AF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.（2）如果點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，其它條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D3的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整，并寫出AB，DB，AF之間的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由.ABABCDDEF圖1ABCEDF圖2圖3圖3ABC【問題提出】證明：由旋轉(zhuǎn)知BE=AF，∠ABC=∠FAC，EC=FC，∠ECF=60°，∴△ECF是等邊三角形.∴∠FEC=60°.∴∠AEF+∠BEC=120°.∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°.∴∠BEC+∠BCE=120°，∴∠AEF=∠BCE.∵ED=EC，∴∠D=∠ECD.∴∠AEF=∠D.∵∠FAC=60°，∠BAC=60°，∴∠EAF=120°.∵∠ABC=60°，∴∠DBE=120°.∴∠EAF=∠DBE.∴△AEF≌△BDE.∴AE=DB.∵AB=AE+EB，EB=AF，AE=DB，∴AB=DB+AF.【類比探究】（1）AB=DB－AF.解：由旋轉(zhuǎn)知BE=AF，∠EBC=∠FAC，EC=FC，∠ECF=60°，∴△ECF是等邊三角形.∴∠FEC=60°，∴∠FEA+∠BEC=60°.∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°.∴∠BEC+∠BCE=60°，∴∠FEA=∠BCE.∵DE=CE，∴∠D=∠BCE，∴∠FEA=∠D.∵∠ABC=60°，∴∠DBE=60°，∠EBC=120°.∴∠FAC=∠EBC=120°.∵∠BAC=60°，∴∠FAE=60°.∴∠FAE=∠DBE.∵∠FEA=∠D，AF=BE，∴△AEF≌△BDE.∴AE=DB.∵AB=AE－BE，AF=BE，∴AB=DB－AF.【類比探究】（2）AB=AF－DB.只畫出圖3中的一個(gè)圖即可.AABCDEFABCDEF圖312.（2015山東省菏澤市，20，10分）如圖，已知∠ABC＝90°，D是直線AB上的點(diǎn)，AD＝BC.（1）如左圖，過點(diǎn)A作AFAB，并截取AF＝BD，連接DC、DF、CF，判斷△CDF的形狀并證明；（2）如右圖，E是直線BC上的一點(diǎn)，且CE＝BD，直線AE、CD相交于點(diǎn)P，∠APD的度數(shù)是一個(gè)固定的值嗎？若是，請(qǐng)求出它的度數(shù)，若不是，請(qǐng)說明理由.解：（1）△CDF是等腰三角形.證明：∵∠ABC=90°，AF⊥AB，∴∠FAD=∠DBC.∵AD=BC，AF=BD，∴△FAD≌△DBC，∴FD=DC，∠1=∠2.∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°，即∠CDF=90°，∴△CDF是等腰直角三角形.過點(diǎn)A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連接DF、CF.∵∠ABC=90°，AF⊥AB，∴AF∥CE.又∵BD=CE、AF=BD∴AF=CE，∴四邊形AFCE是平行四邊形.∴FC∥AE，∴∠APD=∠FCD由（1）知，∠APD=45°.說明：1.此處的輔助線也可以使用平移方法：將線段CE沿EA方向移至AF的位置，連接FD、FC.方法二：將線段CE沿CD方向移至DF的位置，連接AF、EF.方法三：將線段AD沿AE方向移至EF的位置，連接CF、DF.

13.（2015湖南株洲，22，8分）（本題滿分8分）如圖，在ABC中，∠C＝90o，BD是ABC的一條角一平分線，點(diǎn)O、E、F分別在BD、BC、AC上，且四邊形OECF是正方形，（1）求證：點(diǎn)O在∠BAC的平分線上；（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的長(zhǎng)【答案】（1）證明略（2）OE=2【解析】解：（1）過點(diǎn)O作ON⊥AB于點(diǎn)M∵正方形OECF∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E∴OM＝OE＝OF∵OM⊥AB于M，OE⊥BC于E∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90°∵∴Rt△AMO≌Rt△AFO∴∠MA0＝∠FAO∴點(diǎn)O在∠BAC的平分線上（2）方法一：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12∴AB＝13易證：BE＝BM，AM＝AF又BE＝BC－CE，AF＝：AC－CF，而CE＝CF＝OE故：BE＝12－OE，AF＝5－OE顯然：BM＋AM＝AB即：BE＋AF＝1312－OE＋5－OE＝13解得OE＝2方法二利用面積法：S△ABC＝S△ABC＝從而解得。OE＝214.（2015江蘇淮安，21，8分）已知，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F在邊AD上，且AE=DF.求證：BF=CE【答案】因?yàn)榫匦蜛BCD，所以∠A=∠D=90°，AB=CD。因?yàn)锳E=DF，所以AD-AE=AD-DE，所以DE=AF，在△ABF和△DCE中，∠A=∠D，DE=AF，AB=CD，所以△ABF≌△DCE，所以BF=CE【解析】解：因?yàn)榫匦蜛BCD，所以∠A=∠D=90°，AB=CD。因?yàn)锳E=DF，所以AD-AE=AD-DE，所以DE=AF，在△ABF和△DCE中，∠A=∠D，DE=AF，AB=CD，所以△ABF≌△DCE，所以BF=CE15.（2015湖南常德，26，10分）如圖11，在菱形ABCD中，E是CD上的一點(diǎn)，連接BE交AC于O，連接DO并延長(zhǎng)交BC于F.⑴求證：△FOC≌△EOC⑵將圖11中的AD、BE分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，連接CN，作EM∥BC交CN于M，再連接FM即得到圖12.求證：①；②FD=FM【答案】⑴證明略⑵證明略【解析】⑴證明：∵四邊形ABCD是菱形∴BC=DC，∠BCA=∠DCA又CO=CO∴△BCO≌△DCO∴CF=CE又∠FCO=∠ECOCO=CO∴△FOC≌△EOC⑵證明：①∵EM∥BC∴△EMN∽△EBC∴∴∵AD∥BC,EM∥BC∴EM∥DN∴又由⑴可知△FOC≌△EOC則CE=CF，CD=CB∴∴②∵又∠FCM=∠BCN∴△FCM∽△BCN∴∠FMC=∠BNC∴FM∥BN又∵EM∥BC∴四邊形BEMF是平行四邊形∴FM=BE又∵在△DCF與△BCE中CF=CE∠DCF=∠BCECD=CB∴△DCF≌△BCE，∴FD=BE∴FD=FM16.（2015貴州省銅仁市，21，10分）已知：如圖，點(diǎn)D在等邊三角形ABC的邊AB上，點(diǎn)F在邊AC上，連接DF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)E＝FD.求證：AD＝CE.