橢圓基本知識(shí)

要點(diǎn)梳理1.橢圓的定義（1）定義：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫.這兩定點(diǎn)叫做橢圓的，兩焦點(diǎn)間的距離叫做.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c,其中a＞0,c＞0，且a，c為常數(shù)：（1）若，則集合P為橢圓；§8.1橢圓基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)橢圓a＞c章圓錐曲線2021/5/91（2）若

，則集合P為線段；（3）若

，則集合P為空集.a=ca＜c2021/5/923.橢圓的幾何性質(zhì)2021/5/932021/5/942021/5/95基礎(chǔ)自測1.已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于 ()A.B.C.D.

解析設(shè)長軸長、短軸長分別為2a、2b,則2a=4b,D2021/5/962.設(shè)P是橢圓上的點(diǎn).若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|PF1|+|PF2|等于（）

A.4B.5C.8D.10

解析由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=2a=10.D2021/5/97C2021/5/984.已知橢圓C的短軸長為6，離心率為，則橢圓

C的焦點(diǎn)F到長軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離為（）

A.9 B.1C.1或9 D.以上都不對

解析由題意得∴a=5，c=4.∴a+c=9，a-c=1.C2021/5/995.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為A，且F1AF2是頂角為120°的等腰三角形，則此橢圓的離心率為

.

解析由已知得∠AF1F2=30°，故cos30°=，從而e=.2021/5/910題型一橢圓的定義【例1】一動(dòng)圓與已知圓O1：（x+3)2+y2=1外切,與圓O2：（x-3）2+y2=81內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.

兩圓相切時(shí),圓心之間的距離與兩圓的半徑有關(guān),據(jù)此可以找到動(dòng)圓圓心滿足的條件.思維啟迪題型分類深度剖析2021/5/911解兩定圓的圓心和半徑分別為O1(-3，0),r1=1；O2(3,0)，r2=9.設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y),半徑為R，則由題設(shè)條件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R.∴|MO1|+|MO2|=10.由橢圓的定義知：M在以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的橢圓上,且a=5，c=3.∴b2=a2-c2=25-9=16，故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為2021/5/912探究提高

平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)2a，當(dāng)2a>|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓；當(dāng)2a=|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2；當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，軌跡不存在.

已知圓（x+2）2+y2=36的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，N（2，0），線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線知能遷移12021/5/913解析點(diǎn)P在線段AN的垂直平分線上，故|PA|=|PN|，又AM是圓的半徑，∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6＞|MN|，由橢圓定義知，P的軌跡是橢圓.答案

B2021/5/914題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，且

P到兩焦點(diǎn)的距離分別為5、3，過P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的方程.思維啟迪.2021/5/915解方法一設(shè)所求的橢圓方程為由已知條件得解得a=4,c=2,b2=12.故所求方程為2021/5/916方法二設(shè)所求橢圓方程為兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.由題意知2a=|PF1|+|PF2|=8,∴a=4.在方程 中，令x=±c得|y|=,在方程中，令y=±c得|x|=,依題意有=3，∴b2=12.∴橢圓的方程為2021/5/917探究提高

運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，即設(shè)法建立關(guān)于a、b的方程組，先定型、再定量，若位置不確定時(shí)，考慮是否兩解，有時(shí)為了解題需要，橢圓方程可設(shè)為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0,m≠n)，由題目所給條件求出m、n即可.2021/5/918知能遷移2（1）已知橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸,且長軸是短軸的3倍，并且過點(diǎn)P（3，0）,求橢圓的方程；（2）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)P1(，1)、P2(-，-)，求橢圓的方程.

解（1）若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為

(a＞b＞0).∵橢圓過P（3，0），∴又2a=3×2b,∴b=1,方程為

2021/5/919若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為∵橢圓過點(diǎn)P（3，0），∴ =1,又2a=3×2b,∴a=9,∴方程為∴所求橢圓的方程為b=3.2021/5/920（2）設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0且m≠n).∵橢圓經(jīng)過P1、P2點(diǎn)，∴P1、P2點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程，則 ①、②兩式聯(lián)立，解得∴所求橢圓方程為①②2021/5/921題型三橢圓的幾何性質(zhì)【例3】已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2=60°.（1）求橢圓離心率的范圍；（2）求證:△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).

（1）在△PF1F2中，使用余弦定理和|PF1|+|PF2|=2a，可求|PF1|·|PF2|與a，c的關(guān)系，然后利用基本不等式找出不等關(guān)系，從而求出e的范圍；（2）利用

|PF1|·|PF2|sin60°可證.思維啟迪2021/5/922（1）解設(shè)橢圓方程為|PF1|=m,|PF2|=n.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2=m2+n2-2mncos60°.∵m+n=2a，∴m2+n2=（m+n）2-2mn=4a2-2mn，∴4c2=4a2-3mn,即3mn=4a2-4c2.又mn≤（當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取等號）,∴4a2-4c2≤3a2，∴≥，即e≥.又0＜e＜1,∴e的取值范圍是2021/5/923（2）證明由（1）知mn=∴mnsin60°=即△PF1F2的面積只與短軸長有關(guān).2021/5/924探究提高（1）橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a，得到a、c的關(guān)系.（2）對△F1PF2的處理方法定義式的平方余弦定理面積公式2021/5/925知能遷移3

已知橢圓的長、短軸端點(diǎn)分別為A、B,從橢圓上一點(diǎn)M（在x軸上方）向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點(diǎn)F1，∥.（1）求橢圓的離心率e；（2）設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點(diǎn)，求∠F1QF2的取值范圍.

解（1）∵F1（-c，0），則xM=-c，yM=，∴kOM=-.∵kAB=-，∥，∴-=-，∴b=c，故e=2021/5/926（2）設(shè)|F1Q|=r1，|F2Q|=r2，∠F1QF2=，∴r1+r2=2a，|F1F2|=2c，cos=當(dāng)且僅當(dāng)r1=r2時(shí)，cos=0,∴2021/5/927題型四直線與橢圓的位置關(guān)系【例4】（12分）橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=.（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M，交橢圓

C于A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于點(diǎn)M對稱，求直線l的方程.2021/5/928

（1）可根據(jù)橢圓定義來求橢圓方程；（2）方法一：設(shè)斜率為k，表示出直線方程,然后與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解；方法二：設(shè)出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓方程,作差變形,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及斜率求解（即點(diǎn)差法）.思維啟迪2021/5/929解（1）因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3. [2分]在Rt△PF1F2中，故橢圓的半焦距c=， [4分]從而b2=a2-c2=4，所以橢圓C的方程為 [6分]解題示范2021/5/930（2）方法一設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).已知圓的方程為（x+2）2+(y-1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（-2，1），從而可設(shè)直線l的方程為：y=k(x+2)+1, [8分]代入橢圓C的方程得：(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對稱，所以 [10分]所以直線l的方程為y=(x+2)+1,即8x-9y+25=0.（經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意）[12分]2021/5/931方法二已知圓的方程為（x+2）2+(y-1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（-2，1）， [8分]設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1≠x2, ① ②由①-②得： ③因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對稱，所以x1+x2=-4,y1+y2=2,2021/5/932代入③得即直線l的斜率為， [10分]所以直線l的方程為y-1=(x+2),即8x-9y+25=0.（經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意）.[12分]2021/5/933

探究提高（1）直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元后得到一元二次方程，然后通過判別式Δ來判斷直線和橢圓相交、相切或相離.

（2）消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，通常是寫成兩根之和與兩根之積的形式，這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ).

（3）若已知圓錐曲線的弦的中點(diǎn)坐標(biāo),可設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo),代入方程，用點(diǎn)差法求弦的斜率.注意求出方程后，通常要檢驗(yàn).2021/5/934知能遷移4

若F1、F2分別是橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2.

（1）求出這個(gè)橢圓的方程；（2）是否存在過定點(diǎn)N（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，使

⊥

（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出直線l的斜率k；若不存在，說明理由.2021/5/935解（1）依題意，得2a=4，2c=2,所以a=2,c=,∴b=∴橢圓的方程為（2）顯然當(dāng)直線的斜率不存在，即x=0時(shí)，不滿足條件.設(shè)l的方程為y=kx+2,由A、B是直線l與橢圓的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由 消去y并整理，得2021/5/936（1+4k2）x2+16kx+12=0.∴Δ=(16k)2-4(1+4k2)×12=16(4k2-3)＞0,解得k2＞. ①x1+x2=-,x1x2=∵⊥,∴·=0，∴·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=x1x2+k2x1x2+2k（x1+x2）+4=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+42021/5/937∴k2=4.②由①②可知k=±2,所以，存在斜率k=±2的直線l符合題意.2021/5/938方法與技巧1.橢圓上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的所有距離中，長軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別為最大距離和最小距離，且最大距離為a+c,最小距離為a-c.2.過焦點(diǎn)弦的所有弦長中，垂直于長軸的弦是最短的弦，而且它的長為.把這個(gè)弦叫橢圓的通徑.3.求橢圓離心率e時(shí),只要求出a,b,c的一個(gè)齊次方程，再結(jié)合b2=a2-c2就可求得e(0＜e＜1).思想方法感悟提高2021/5/9394.從一焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓（面）的反射，反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點(diǎn).5.過橢圓外一點(diǎn)求橢圓的切線,一般用判別式Δ=0

求斜率，也可設(shè)切點(diǎn)后求導(dǎo)數(shù)（斜率）.6.求橢圓方程時(shí)，常用待定系數(shù)法，但首先要判斷是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷的依據(jù)是：（1）中心是否在原點(diǎn)，（2）對稱軸是否為坐標(biāo)軸.2021/5/940失誤與防范1.求橢圓方程時(shí)，在建立坐標(biāo)系時(shí)，應(yīng)該盡可能以橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸以便求得的方程為最簡方程——橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.求兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，只要把兩曲線的方程聯(lián)立求方程組的解,根據(jù)解可以判斷位置關(guān)系，若方程組有解可求出交點(diǎn)坐標(biāo).3.注意橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍，特別是把橢圓上某一點(diǎn)坐標(biāo)視為某一函數(shù)問題求解時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值時(shí)有重要意義.4.判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的原則為：長軸、短軸所在直線為坐標(biāo)軸，中心為坐標(biāo)原點(diǎn).2021/5/9415.判斷兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的方法為比較標(biāo)準(zhǔn)形式中x2與

y2的分母大小，若x2的分母比y2的分母大，則焦點(diǎn)在x軸上，若x2的分母比y2的分母小，則焦點(diǎn)在y

軸上.6.注意橢圓的范圍，在設(shè)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為P（x，y）時(shí)，則|x|≤a，這往往在求與點(diǎn)P有關(guān)的最值問題中特別有用，也是容易被忽略而導(dǎo)致求最值錯(cuò)誤的原因.2021/5/942一、選擇題1.（2008·上海春招，14）已知橢圓

=1，長軸在y軸上，若焦距為4，則m等于（）

A.4B.5C.7D.8

解析橢圓焦點(diǎn)在y軸上，∴a2=m-2，b2=10-m.

又c=2，∴m-2-（10-m）=22=4.∴m=8.定時(shí)檢測D2021/5/9432.已知點(diǎn)M（，0）,橢圓=1與直線

y=k(x+)交于點(diǎn)A、B,則△ABM的周長為（）

A.4B.8C.12D.16

解析直線y=k(x+)過定點(diǎn)N(-,0),而M、N

恰為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，由橢圓定義知△ABM的周長為4a=4×2=8.B2021/5/9443.若以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積的最大值為1，則橢圓長軸的最小值為（）

A.1 B. C.2 D.2

解析設(shè)橢圓 ，則使三角形面積最大時(shí)，三角形在橢圓上的頂點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)，∴S=×2c×b=bc=1≤∴a2≥2.∴a≥.∴長軸長2a≥2，故選D.D2021/5/9454.（2009·浙江文，6）已知橢圓(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P.若

=2

，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.2021/5/946解析如圖，由于BF⊥x軸，故xB=-c,yB=,設(shè)P（0,t）,∵=2，∴（-a,t）=2∴a=2c,∴e=答案

D2021/5/9475.已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若△ABF2是等腰直角三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是（）

A. B. C. D.

解析∵△ABF2是等腰直角三角形，∴|AF1|=|F1F2|，將x=-c代入橢圓方程從而即a2-c2=2ac,整理得e2+2e-1=0,

解得e=-1±,由e∈(0,1),得e=-1.C2021/5/9486.(2009·江西理,6)過橢圓的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若∠F1PF2=60°,則橢圓的離心率為（）

A. B. C. D.

解析由題意知點(diǎn)P的坐標(biāo)為∵∠F1PF2=60°,∴即2ac=b2=(a2-c2).∴e2+2e-=0,∴e=或e=-(舍去).B2021/5/949二、填空題7.（2009·廣東理，11）已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為，且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12,則橢圓G的方程為

.

解析設(shè)橢圓的長半軸為a，由2a=12知a=6,

又e==,故c=3，∴b2=a2-c2=36-27=9.∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為2021/5/9508.設(shè)橢圓（m＞0,n＞0）的右焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.

解析拋物線y2=8x的焦點(diǎn)是（2,0）,∴橢圓

的半焦距c=2,即m2-n2=4,又e=∴m=4,n2=12.

從而橢圓的方程為2021/5/9519.B1、B2是橢圓短軸的兩端點(diǎn)，O為橢圓中心，過左焦點(diǎn)F1作長軸的垂線交橢圓于P,若|F1B2|是

|OF1|和|B1B2|的等比中項(xiàng)，則的值是

.

解析由已知2bc=a2=b2+c2,∴b=c=

設(shè)P（x0，y0），則x0=-c，|y0|=|PF1|.

2021/5/952三、解答題10.根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點(diǎn)

P到兩焦點(diǎn)的距離分別為，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)；（2）經(jīng)過兩點(diǎn)A（0，2）和B

解（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是或2021/5/953則由題意知2a=|PF1|+|PF2|=2，∴a=.在方程中令x=±c得|y|=在方程中令y=±c得|x|=依題意并結(jié)合圖形知=.∴b2=.即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2021/5/954（2）設(shè)經(jīng)過兩點(diǎn)A（0，2），B的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2+ny2=1，代入A、B得∴所求橢圓方程為x2+=1.2021/5/95511.（2008·遼寧文，21）在平面直角坐標(biāo)系