測量誤差知識

測量誤差知識第一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日第五章測量誤差知識第一節(jié)觀測誤差概述對未知量進行測量的過程稱為觀測，測量所獲得的數(shù)據(jù)稱為觀測值。觀測值與真實值（簡稱真值）之間的差異稱為觀測誤差或測量誤差。用li代表觀測值，X代表真值，則其中Δi就是觀測誤差，通常稱為真誤差（簡稱誤差）。第二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日1、產(chǎn)生觀測誤差的原因（1）儀器、工具（儀器因素）

儀器構造上的缺陷和儀器本身精密度的限制。（2）觀測者（人為因素）觀測者的技術水平和感官能力。（3）外界條件（環(huán)境因素）環(huán)境溫度、濕度、風力、透明度、大氣折光等。第三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日2、觀測誤差的分類和處理方法

觀測誤差可分為粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差三種。（1）粗差粗差又稱

“不正當誤差”“過失誤差”，屬于大量級誤差。含有粗差的測量值稱為“壞值”或“異常值”。產(chǎn)生原因：作業(yè)人員的疏忽大意、失職（如照錯目標、讀錯、記錯等）；儀器受到干擾或發(fā)生故障；容許誤差取得過小等。處理辦法：嚴格按照測量規(guī)范；進行必要的重復觀測；通過多余觀測進行嚴密檢核、驗算。含粗差的觀測值都不能用，一旦發(fā)現(xiàn)粗差，觀測值必須舍棄并重測。第四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日觀測誤差的分類和處理方法（2）系統(tǒng)誤差（systemerror）

在一定觀測條件下對觀測量作一系列的觀測，大小和符號保持不變或按一定規(guī)律變化的誤差。系統(tǒng)誤差具有積累性。

產(chǎn)生原因：如經(jīng)緯儀豎盤指標差對豎直角的影響、地球曲率對測距和高程的影響等。消減辦法：嚴格檢校儀器；在觀測方法和程序上采取必要措施，如角度測量中采取盤左、盤右觀測；找出產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因和規(guī)律，對觀測值進行改正，如對距離觀測值進行三項改正，對豎直角進行指標差改正等

。第五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日觀測誤差的分類和處理方法（3）偶然誤差（accidenterror）在一定觀測條件下進行一系列觀測，大小和符號呈現(xiàn)偶然性的誤差稱為偶然誤差，

又稱隨機誤差。此類誤差表面上看來沒有規(guī)律性。產(chǎn)生原因：不固定，難以控制，如估讀誤差、照準誤差等，其大小、符號純屬偶然。處理辦法：粗差可以發(fā)現(xiàn)并剔除，系統(tǒng)誤差可加以改正，但偶然誤差是不可避免的。大量的偶然誤差具有統(tǒng)計規(guī)律性，可對其進行統(tǒng)計分析，并運用其統(tǒng)計特性來建立衡量測量精度的相關標準。第六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日偶然誤差的特性3、偶然誤差的特性

偶然誤差在消除了粗差和系統(tǒng)誤差的觀測值中占主導地位。因此，本章主要研究偶然誤差。對某未知量進行n次觀測，其偶然誤差具有統(tǒng)計規(guī)律。統(tǒng)計大量的實驗結果，表明偶然誤差有如下特性：（1）范圍（有界性）在一定觀測條件下的有限個觀測中，偶然誤差的絕對值不超過一定限值；（2）數(shù)值（超小性）絕對值小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值大的誤差出現(xiàn)的頻率??；（3）符號（相等性）絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的頻率大致相等；

第七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日偶然誤差的特性（4）累加相消性當觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的算術平均值極限為零，即

其中，，中括號“[]”表示變量代數(shù)和。頻率直方圖以誤差大小Δ為橫坐標，以頻率k/n與區(qū)間dΔ的比值

（k/n）/

dΔ為縱坐標，用直方圖表示偶然誤差的分布情況。第八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日偶然誤差的特性誤差分布曲線誤差個數(shù)n→∞，同時無限縮小誤差區(qū)間dΔ，頻率直方圖成為光滑曲線，即誤差分布曲線，是正態(tài)分布曲線，函數(shù)式為：為概率密度函數(shù)，為誤差分布標準差：第九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日第二節(jié)衡量觀測值精度的標準

從統(tǒng)計學角度上說，精度是指誤差分布的密集或離散程度，它體現(xiàn)了觀測結果的優(yōu)劣。衡量精度的標準主要有以下幾種：1、中誤差

標準差是衡量精度的一種理論表達式。但觀測次數(shù)不可能無限多，因此實用中以中誤差作為精度衡量標準的一種，其定義為：第十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日衡量觀測值精度的標準中誤差又稱均方誤差。式中[Δ2]=∑(Δi)2，Δi為觀測真誤差，中誤差的幾何意義即為偶然誤差分布曲線的兩個拐點橫坐標。中誤差與精度成反比。中誤差與真誤差均為絕對誤差。2、相對誤差采用中誤差m的絕對值與觀測值L的比值作為衡量精度的指標，稱為相對中誤差，是相對誤差的一種，一般用K表示，即第十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日衡量觀測值精度的標準距離測量中，還常用相對較差來檢核，其定義為：相對較差是相對真誤差，它反映往返測量的符合程度?！咀⒁狻坎荒苡孟鄬φ`差來衡量測角精度，因為測角誤差與角度大小無關。第十二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日衡量觀測值精度的標準3、極限誤差和容許誤差極限誤差是偶然誤差絕對值的限值。偶然誤差絕對值大于3σ的概率僅為0.3%，可以認為±3σ是真誤差的極限，即3σ為極限誤差：測量實踐中，用容許誤差對偶然誤差的絕對值進行限制。根據(jù)精度要求的不同，測量規(guī)范常作如下規(guī)定：或第十三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日第三節(jié)誤差傳播定律設觀測值Z是獨立觀測變量X1，X2，???，Xi，???，

Xn的函數(shù)，即Z

=f（X1，X2，???，Xi，???，Xn）。Z的中誤差為mZ

，各獨立變量對應的觀測中誤差分別為m1，m2，???，mi???，mn。各變量觀測中誤差與其函數(shù)中誤差之間的關系，稱為誤差傳播定律，由泰勒級數(shù)展開可推導得到其表達式為（推導過程見附錄1）：第十四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日誤差傳播公式簡單函數(shù)的中誤差傳播公式函數(shù)名稱函數(shù)式中誤差傳播公式倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)第十五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日誤差傳播定律（例題）【例5-1】Δy=Dsinα，觀測值D=225.85m±0.06m，α

=157?00'30"±20"。求Δy的中誤差mΔy。解根據(jù)誤差傳播公式有則Δy的中誤差mΔy為及，第十六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日第四節(jié)等精度直接觀測平差除了標準實體或特殊觀測量（如三角形內(nèi)角和），任何單個未知量的真值都無法確知。為可靠估計真值，只有通過重復觀測，提高測量成果精度。為消除重復觀測值之間的矛盾，盡可能的估計真值，就必須按一定的數(shù)據(jù)處理原則，采用適當計算方法，對觀測值加以必要而又合理的調(diào)整，予以適當改正，從而求得觀測量的最佳估值，并對觀測質(zhì)量進行評估。這一數(shù)據(jù)處理過程稱為測量平差或觀測平差。在相同條件下進行的觀測稱為等精度觀測，所得觀測值稱為等精度觀測值。對一個未知量的直接觀測值進行平差稱為直接觀測平差。第十七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日最或是值1、最或是值平差結果是得到未知量最可靠的估值，最接近真實值，稱為最或是值。等精度直接觀測平差中，觀測值的算術平均值是未知量的最或是值。觀測值與最或是值之差，稱為最或是誤差，用vi表示：設對某量進行了n次等精度觀測，其觀測值為l1，l2，???，li???，ln，該未知量的真值為X，各觀測值的真誤差為Δ1，Δ

2，???，Δ

i???，Δ

n，則其最或是值為：[v]=0第十八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日評定精度（觀測值中誤差）2、評定精度由于單個未知量的真值不可知，因此真誤差也就不可知，所以不能直接由中誤差的定義來求中誤差。但是可以通過有限個等精度觀測值li求出最或是值x，然后求出最或是誤差vi，進而計算中誤差m

。由真誤差、中誤差的關系，利用最或是誤差的概念，可得等精度觀測的觀測值中誤差計算公式（推導過程見附錄2）

：第十九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日評定精度（最或是值中誤差）由最或是值x、觀測值中誤差m，運用誤差傳播定律，可得最或是值中誤差（推導過程見附錄2）

：由上式可知，最或是值（算術平均值）的中誤差與觀測次數(shù)平方根成反比，因此增加觀測次數(shù)n可提高最或是值的精度。但當n達到一定數(shù)值后（如n=10），再增加觀測次數(shù)，則工作量增加，而提高精度的效果卻不明顯。故應設法提高觀測值本身的精度。第二十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日評定精度（例題）【例5-2】對某角度進行了5次等精度觀測，觀測結果列于下表。試求觀測值的中誤差m。觀測值最或是誤差v2l1=35?18'28"l2=35?18'25"l3=35?18'26"l4=35?18'22"l5=35?18'24"+3"0?1"?3"?1"90191x=[l]/n=35?18'25"

[v]=0[v2]=20解計算最或是值x、最或是誤差vi并列于表中。則觀測值中誤差m為第二十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日第五節(jié)不等精度直接觀測平差

若觀測時儀器精度不同，或觀測方法不同，或外界條件不同，不同觀測條件下的觀測稱為不等精度觀測，獲得的觀測值稱為不等精度觀測值。對某未知量進行不等精度觀測時，各觀測值的中誤差不同，觀測值也具有不同的可靠性。因此，在對觀測值進行最可靠估值時，就不能簡單的取算術平均值。不等精度觀測值的可靠性，可用觀測值“權”來表示。觀測值精度越高，其權越大。需要指出的是，權只具有相對意義，起作用的是各觀測值權的比值。權通常用字母p表示，且恒為正。第二十二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日權與中誤差的關系1、權與中誤差的關系觀測值的中誤差越小，其值越可靠，權就越大。因此可用觀測值的中誤差來定義觀測值的權。設n個不等精度觀測值的中誤差為mi（i=1，2，…，n），則權可由下式來定義：式中，λ可取任意正常數(shù)。選擇適當?shù)摩酥悼墒箼喑蔀楸阌谟嬎愕臄?shù)值。第二十三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日權與中誤差的關系（例題）【例5-3】對某一角度進行了n次不等精度觀測，求算術平均值x的權。解設一測回角度觀測值的中誤差為m，算術平均值x的中誤差為，設λ=m2

，由權的定義可得：算術平均值x的權為等于1的權稱為單位權一測回觀測值的權為角度觀測的權與其測回數(shù)成正比第二十四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日加權平均值及其中誤差2、加權平均值及其中誤差設不等精度觀測值li的權為pi（i=1，2，…，n），則加權平均值L0為不等精度觀測值的最或是值，即：

加權平均值中誤差可用最或是誤差

vi=

li?L0來表示：第二十五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日附錄1中誤差傳播公式設觀測值Z是獨立觀測變量X1，X2，???，Xn的函數(shù)，即Z

=f（X1，X2，???，Xn）。Z的中誤差為mZ

，各獨立變量對應的觀測中誤差分別為m1，m2，???，mn。各變量觀測中誤差與其函數(shù)中誤差之間的關系，稱為誤差傳播定律?，F(xiàn)推導中誤差傳播公式如下。設（1）式（1）中：Xi——獨立變量真值；li——獨立變量

Xi的觀測值；

Δi——li的偶然誤差。第二十六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日附錄1中誤差傳播公式將式（2）按多元函數(shù)泰勒級數(shù)展開，有：則（2）（3）式（2）中，ΔZ為函數(shù)Z

的誤差，即：（4）第二十七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日附錄1中誤差傳播公式又設各獨立變量都觀測了k次，則ΔZ的平方和為：（5）第二十八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日附錄1中誤差傳播公式由偶然誤差的相消性可知，當觀測次數(shù)k→∞時，上式中ΔiΔm（i≠m）的總和趨于0，并由中誤差的概念，有：（6）式（6）中，i=1，2，…，n。將（6）式帶入（5）式并整理可得中誤差傳播公式：第