概率論第七章參數(shù)估計區(qū)間估計

概率論第七章參數(shù)估計區(qū)間估計第一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六也就是說，我們希望確定一個區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.湖中魚數(shù)的真值[]這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的，稱為置信概率，置信度或置信水平.習慣上把置信水平記作，這里是一個很小的正數(shù).第二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六一.置信區(qū)間與置信度區(qū)間估計要求根據(jù)樣本給出未知參數(shù)的范圍，并保證真參數(shù)以指定的較大概率屬于這個范圍。定義：設總體含一待估參數(shù)對于樣本找出兩個統(tǒng)計量使得：稱區(qū)間為的置信區(qū)間，為該區(qū)間的置信度是一個隨機區(qū)間；給出該區(qū)間含真值的可靠度。可能性。表示該區(qū)間不包含真值的區(qū)間第三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六通常,采用95%的置信度,有時也取99%或90%.即置信度為這時重復抽樣100次,則在得到的100個區(qū)間中包含真值的有95個左右,不包含真值的有5個左右。例如若具體的計算方法⑴由樣本尋找一個樣本函數(shù)，其中只含有一個未知參數(shù)θ⑵對于給定的置信水平，找a,b使得第四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六⑶由解出等價的不等式是θ的置信度為的置信區(qū)間。⑵對于給定的置信水平，找a,b使得第五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六二、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計設為總體的一個樣本設已知方差且是的一個無偏點估計，置信度下，來確定的置信區(qū)間⑴已知方差，估計均值μ又第六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六對于給定的置信度查正態(tài)分布表，找出臨界值使得：由此可找出無窮多組通常我們?nèi)ΨQ使：且區(qū)間由上點的定義式,第七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六推得，隨機區(qū)間：查正態(tài)分布表找出得：第八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六所以μ的置信水平為1-α的置信區(qū)間為簡記為例若取查表得值算得樣本均值的觀察值則得到一個置信度為0.95的μ的置信區(qū)間，若由一個樣本第九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六注：

μ的置信水平1－α的置信區(qū)間不唯一。

上例中同樣給定,可以取標準正態(tài)分布上α分位點-Z0.04和Z0.01，則也有則μ的置信度為0.95的置信區(qū)間為但對稱時的區(qū)間長度最短。194頁第十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六例1：已知幼兒身高服從正態(tài)分布，現(xiàn)從5~6歲的幼兒中隨機地抽查了9人，其高度分別為：115,120131,115,109,115,115,105,110cm;假設標準差置信度為95%;試求總體均值的置信區(qū)間解：已知由樣本值算得：查正態(tài)分布表得由此得置信區(qū)間：第十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六例2：從一批零件中隨機抽取16個,測得長度（單位:厘米)為2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11設零件長度求總體均值的置信水平為0.90的置信區(qū)間。解：查表得所以的置信水平為0.90的置信區(qū)間為即:第十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六例3：設總體問需要抽取容量為多大的樣本,才能使的置信水平為0.95的置信區(qū)間的長度不大于0.49?解:設需要抽取容量為的樣本,其樣本均值為查表得于是的置信水平為0.95的置信區(qū)間為該區(qū)間長度要使只要即取第十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六⑵方差未知，估計均值μ所以μ的置信水平為1-α的置信區(qū)間為簡記為第十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六例4：用儀器測量溫度,重復測量7次,測得溫度分別為:115,120,131,115,109,115,115cm;設溫度在置信度為95%時,試求溫度的真值所在范圍。解：設是溫度的真值，是測量值已知由樣本值算得：得區(qū)間：查表第十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六例5：對某種型號飛機的飛行速度進行15次試驗,測得最大飛行速度(單位:米/秒)為420.3,425.8,423.1,418.7,438.3,434.0,412.3,431.5最大飛行速度服從正態(tài)分布.求飛機最大飛行速度422.2,417.2,425.6413.5,441.3,423.0,428.2,

根據(jù)長期經(jīng)驗,可以認為的期望值的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解:以表示該飛機的最大飛行速度,則第十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六查表得由于總體方差未知,因此的置信水平為0.95的置信區(qū)間為:即:由第十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六3）方差的區(qū)間估計設為總體的一個樣本是的無偏估計并且樣本函數(shù)：由于分布無對稱性即：第十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六由分布表的構造置信區(qū)間：即第十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六標準差σ的一個置信水平為的置信區(qū)間注意：在密度函數(shù)不對稱時，如習慣上仍取和對稱類似的分位點，但其置信區(qū)間的長度并不最短。第二十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六例6：在某班級中,隨機抽取25名同學測量其身高,算得平均身高為170cm,標準差為12cm.假設所測身高近似服從正態(tài)分布,求該班學生平均身高和身高標準差的0.95置信區(qū)間。解：設身高由題設得(1)的0.95置信區(qū)間為第二十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六(2)即:的0.95置信區(qū)間為即:的0.95置信區(qū)間為所以第二十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六設某機床加工的零件長度16個零件，測得長度（單位：mm）如下：12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.06,在置信度為95%時，試求總體方差的置信區(qū)間例7：今抽查解:已知查得查得由此得置信區(qū)間:第二十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六三、兩個正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計設為總體的一個樣本⒈的置信區(qū)間為總體的一個樣本,X與Y相互獨立。⑴均為已知,且是的一個無偏估計，因為X與Y相互獨立,所以第二十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六所以的置信水平為1-α的置信區(qū)間為第二十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六⑵未知所以的置信水平為1-α的置信區(qū)間為第二十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六⒉的置信區(qū)間所以的置信水平為1-α的置信區(qū)間為第二十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六本章知識小結1.重點：矩估計、最大似然估計、無偏性、有效性、單個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計2.難點：最大似然估計第二十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六作業(yè)210頁14、15、1819、20第二十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六分布參數(shù)的區(qū)間估計若總體X的分布律其中為未知參數(shù)，則設為總體的一個大樣本由中心極限定理（近似）第三十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六整理從中解得的范圍第三十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六上述置信區(qū)間中置信限都是雙側的，但對于有些實際問題，人們關心的只是參數(shù)在一個方向的界限.例如對于設備、元件的使用壽命來說，平均壽命過長沒什么問題，過短就有問題了.這時，可將置信上限取為+∞，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側置信區(qū)間.五、單側置信區(qū)間第三十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六于是引入單側置信區(qū)間和置信限的定義：滿足設是一個待估參數(shù)，給定若由樣本X1,X2,…Xn確定的統(tǒng)計量則稱區(qū)間是的置信水平為的單側置信區(qū)間.稱為單側置信下限.第三十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六又若統(tǒng)計量滿足則稱區(qū)間是的置信水平為的單側置信區(qū)間.稱為單側置信上限.第三十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六設燈泡壽命服從正態(tài)分布.求燈泡壽命均值的置信水平為0.95的單側置信下限.例8從一批燈泡中隨機抽取5只作壽命試驗，測得壽命X（單位：小時）如下：1050，1100，1120，1250，1280由于方差未知，解：的點估計取為樣本均值選取統(tǒng)計量為第三十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六對給定的置信水平

，確定分位數(shù)使即于是得到的置信水平為的單側置信區(qū)間為

第三十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六將樣本值代入得的置信水平為0.95的單側置信下限是1065小時的置信水平為的單側置信下限為即第三十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六例9為估計制造某種產(chǎn)品所需要的單件平均工時（單位：小時），現(xiàn)制造5件，記錄每件所需工時如下10.511.011.212.512.8假設制造單位產(chǎn)品所需工時試求平均工時的置信水平為0.95的單側置信上限.解由于,其中未知,因此第三十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六對于給定的,由分布的分位點的定義,存在,使得而,所以第三十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六即故的單側置信區(qū)間為單側置信上限為第四十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六,經(jīng)計算得,由得可得單側置信上限因此,加工這種產(chǎn)品的平均工時不超過12.55小時的可靠程度是95%