傅里葉變換原理

優(yōu)選傅里葉變換原理當(dāng)前第1頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)2

積分變換簡介1、何為積分變換？

所謂積分變換，實(shí)際上就是通過積分算，把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)的一種變換.當(dāng)前第2頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)32、積分變換的產(chǎn)生

數(shù)學(xué)中經(jīng)常利用某種運(yùn)算先把復(fù)雜問題變?yōu)楸容^簡單的問題，求解后，再求其逆運(yùn)算就可得到原問題的解.原問題原問題的解直接求解困難變換較簡單問題變換后問題的解求解逆變換當(dāng)前第3頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)4

如，初等數(shù)學(xué)中，曾經(jīng)利用取對數(shù)將數(shù)的積、商運(yùn)算化為較簡單的和、差運(yùn)算；

再如，高等數(shù)學(xué)中的代數(shù)變換，解析幾何中的坐標(biāo)變換，復(fù)變函數(shù)中的保角變換，其解決問題的思路都屬于這種情況.

基于這種思想，便產(chǎn)生了積分變換.其主要體現(xiàn)在：

數(shù)學(xué)上：求解方程的重要工具；能實(shí)現(xiàn)卷積與普通乘積之間的互相轉(zhuǎn)化.

工程上：是頻譜分析、信號分析、線性系統(tǒng)分析的重要工具.當(dāng)前第4頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)5第八章傅立葉變換主要內(nèi)容：1、傅立葉積分公式2、傅立葉變換及其性質(zhì)

3、卷積當(dāng)前第5頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)6§1傅立葉級數(shù)與積分1、傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式在《高等數(shù)學(xué)》中有下列定理：定理1（1）連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；（2）只有有限個(gè)極值點(diǎn).

則在連續(xù)點(diǎn)處，有當(dāng)前第6頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)7當(dāng)前第7頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)8注意：于是當(dāng)前第8頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)9則（2）式稱為傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式，具有明顯的物理意義.當(dāng)前第9頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)102、傅立葉積分

任何一個(gè)非周期函數(shù)

f(t),都可看成是由某個(gè)周期函數(shù)

fT(t)當(dāng)T→+∞時(shí)轉(zhuǎn)化而來的.當(dāng)前第10頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)11{O

w1

w2

w3

wn-1wn{{{w于是當(dāng)前第11頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)12從而按照積分的定義，（4）可以寫為：或者當(dāng)前第12頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)13公式（5）稱為函數(shù)

f(t)的傅氏積分公式.定理2

若

f(t)在(-,+)上滿足條件:

(1)f(t)在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件;

(2)f(t)在無限區(qū)間(-,+)上絕對可積,即則（5）在

f(t)的連續(xù)點(diǎn)成立.上述定理稱為傅氏積分定理.當(dāng)前第13頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)14事實(shí)上,根據(jù)歐拉公式,有當(dāng)前第14頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)15所以由(7),得到于是(6)成立.當(dāng)前第15頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)16§2傅立葉變換1、傅立葉變換的概念

上一節(jié)介紹了：當(dāng)f(t)滿足一定條件（？）時(shí)，在f(t)的連續(xù)點(diǎn)處有：當(dāng)前第16頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)17簡稱傅氏變換,記為F簡稱傅氏逆變換,記為F還可以將

f(t)和

F(w)用箭頭連接:

f(t)F(w).當(dāng)前第17頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)18tf(t)o當(dāng)前第18頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)19解:根據(jù)定義,有這就是指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換.當(dāng)前第19頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)20根據(jù)積分表達(dá)式的定義,有注意到化簡整理當(dāng)前第20頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)21---鐘形脈沖函數(shù).解:根據(jù)定義,有當(dāng)前第21頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)22化簡整理如何計(jì)算？這里利用了以下結(jié)果：當(dāng)前第22頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)232、傅立葉變換的物理意義

如果仔細(xì)分析周期函數(shù)和非周期函數(shù)的傅氏積分表達(dá)式當(dāng)前第23頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)24由此引出以下術(shù)語：

在頻譜分析中,傅氏變換F(w)又稱為f(t)的頻譜函數(shù),而它的模|F(w)|稱為f(t)的振幅頻譜(亦簡稱為頻譜).

由于w是連續(xù)變化的,我們稱之為連續(xù)頻譜,對一個(gè)時(shí)間函數(shù)作傅氏變換,就是求這個(gè)時(shí)間函數(shù)的頻譜.顯然，振幅函數(shù)|F(w)|是角頻率w的偶函數(shù),即當(dāng)前第24頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)25顯然

相角頻譜argF(w)是w的奇函數(shù).當(dāng)前第25頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)26例3求單個(gè)矩形脈沖函數(shù)的頻譜圖.解：當(dāng)前第26頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)27請畫出其頻譜圖.頻譜為

以上術(shù)語初步揭示了傅氏變換在頻譜分析中的應(yīng)用，更深入詳細(xì)的理論會在有關(guān)專業(yè)課中詳細(xì)介紹！當(dāng)前第27頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)28本講小結(jié)：1.掌握傅氏積分定理的條件和結(jié)論；2.掌握傅氏變換和傅氏逆變換的概念；3.了解傅氏變換的物理意義.當(dāng)前第28頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)29§3單位脈沖函數(shù)2、單位脈沖函數(shù)1、單位脈動函數(shù)de(t)1/eeOt

在物理和工程技術(shù)中,有許多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì).例如斷電以后的突然來電等;在力學(xué)中,機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動情況等.研究此類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù).物理學(xué)家狄拉克首先引入，此后在物理及工程技術(shù)中被廣泛地采用.當(dāng)前第29頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)30

在原來電流為零的電路中,某一瞬時(shí)(設(shè)為t=0)進(jìn)入一單位電量的脈沖,現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t).以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù),則由于電流強(qiáng)度是電荷函數(shù)對時(shí)間的變化率,即

所以,當(dāng)t0時(shí),i(t)=0,由于q(t)不連續(xù),從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下,q(t)在這一點(diǎn)是不能求導(dǎo)數(shù)的.當(dāng)前第30頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)31如果我們形式地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù),得

這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個(gè)函數(shù)能夠表示這樣的電流強(qiáng)度.為此,引進(jìn)一稱為狄拉克(Dirac)的函數(shù).有了這種函數(shù),對于許多集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量,例如點(diǎn)電荷，點(diǎn)源,集中于一點(diǎn)的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等,就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣,以統(tǒng)一的方式加以解決.廣義函數(shù)，沒有普通意義下的函數(shù)值.當(dāng)前第31頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)322.1單位脈沖函數(shù)的定義定義對于任何一個(gè)無窮次可微的函數(shù)f(t),稱滿足2.2單位脈沖函數(shù)的性質(zhì)(1)積分性質(zhì)證明：當(dāng)前第32頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)33

一些工程書中，δ-函數(shù)常用一個(gè)長度等于1的有向線段來表示.tOd(t)1(2)篩選性質(zhì)對于無窮次可微的函數(shù)f(t)，有一般地當(dāng)前第33頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)34

這一性質(zhì)在近代物理和工程技術(shù)中有著較廣泛的應(yīng)用.例1

求單位脈沖函數(shù)的傅氏變換.解：

可見,單位脈沖函數(shù)d(t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對；

同理,

d(t-t0)和亦構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對.當(dāng)前第34頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)35

需要指出的是，此處的廣義積分是按(1)式計(jì)算的，不是普通意義下的積分值，我們稱這種傅氏變換為廣義的傅氏變換.

根據(jù)傅氏積分公式，函數(shù)f(t)能取傅立葉積分變換的前提條件是它首先應(yīng)絕對可積，即

實(shí)際上這個(gè)條件非常強(qiáng)，它要求f(t)條件較高，因而一些常見的函數(shù)都不滿足這一點(diǎn).如當(dāng)前第35頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)36

如此以來，較強(qiáng)的條件使得傅立葉變換的應(yīng)用受到限制.為克服這一缺陷，我們把單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換應(yīng)用到其他函數(shù)的傅氏變換中，得到它們的廣義傅氏變換.實(shí)際運(yùn)算時(shí)，我們通常用傅氏逆變換來推證.比較典型的有：

u(t)（單位階躍函數(shù)）,sint,cost.

同樣可以說,象函數(shù)F(w)和象原函數(shù)f(t)亦構(gòu)成一個(gè)傅氏變換對.當(dāng)前第36頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)37例2稱為單位躍階函數(shù).

證：首先注意，這里的變換顯然指的是廣義變換.我們用考察逆變換的方法證明.當(dāng)前第37頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)38由于所以當(dāng)t<0時(shí),有當(dāng)前第38頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)39同理當(dāng)t>0時(shí)，有綜上所述，根據(jù)(*),有證畢.當(dāng)前第39頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)40解：由定義，有例3求的傅氏逆變換.特別地故得到當(dāng)前第40頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)41于是，有例4求正弦函數(shù)

f(t)=sinw0t

的傅氏變換.解：當(dāng)前第41頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)42同理，可得即注：我們介紹δ-函數(shù)，主要是提供一個(gè)應(yīng)用工具，而不去追求數(shù)學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)性.當(dāng)前第42頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)43§4傅立葉變換的性質(zhì)

為了能更好的用傅立葉變換這一工具解決各類實(shí)際問題，它的一些基本性質(zhì)必須熟練掌握.

為了敘述方便起見,假定在這些性質(zhì)中,凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件,在證明這些性質(zhì)時(shí),不再重述這些條件.1、線性性質(zhì)FF則F逆變換也具有類似的性質(zhì)，請寫出相應(yīng)的性質(zhì).當(dāng)前第43頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)442、位移性質(zhì)證明：根據(jù)定義，得當(dāng)前第44頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)45

顯而易見，位移公式的作用是：知道了一個(gè)函數(shù)的變換，便可由此求出其位移函數(shù)的變換！同理可得推論提示：利用歐拉公式和位移性質(zhì)容易證明.當(dāng)前第45頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)463、微分性質(zhì)證明：根據(jù)定義，得

如果f(t)在(-,+)上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn),且當(dāng)|t|+時(shí),f(t)0,則

當(dāng)前第46頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)47類似地可推得象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

一般地，如果

在(-,+)上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn),且當(dāng)|t|+時(shí),有

則當(dāng)前第47頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)48例如，設(shè)思考題：當(dāng)前第48頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)494、積分性質(zhì)證明：當(dāng)前第49頁\共有52頁\編于星期五\2點(diǎn)50例1求解微分積分方程其中<t<+,a,b,c均為常數(shù).解：設(shè)