直線與平面-平面與平面垂直的性質(zhì)

直線與平面平面與平面垂直的性質(zhì)2021/5/91思考:1.已知直線和平面,如果,那么的位置關(guān)系如何?2.設(shè),且那么直線AB與平面的位置關(guān)系如何?3.設(shè)平面垂直平面,點(diǎn)P在平面內(nèi),過點(diǎn)P作平面

的垂線,直線與平面具有什么位置關(guān)系?2021/5/92線面、面面垂直的性質(zhì)定理

1．線面垂直性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行(線面垂直→線線平行)．

2．面面垂直性質(zhì)定理①：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直．用符號語言表示為：若α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l，則a⊥β(面面垂直→線面垂直)．

3．面面垂直性質(zhì)定理②：如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個平面的直線必在第一個平面內(nèi)．2021/5/93直線與平面垂直的性質(zhì)定理的簡單應(yīng)用例1：如圖

1，在四面體P－ABC中，若PA⊥BC，PB⊥AC，求證：PC⊥AB.圖12021/5/94思維突破：要證線線垂直，可先證線面垂直，進(jìn)而由線面垂直的定義得出線線垂直．證明：過P作PH⊥平面ABC，垂足為H，連接AH、BH和CH.∵PA⊥BC,PH⊥BC，PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH.又AH?平面PAH，∴BC⊥AH.同理AC⊥BH，即H為△ABC的垂心，∴AB⊥CH.∵PH⊥AB，CH∩PH＝H，∴AB⊥平面PCH.∵PC?平面PCH，∴PC⊥AB.點(diǎn)評：從本例可以進(jìn)一步體會線面位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化在解(證)題中的作用．2021/5/951－1.已知a、b是兩條不同的直線，α、β為兩個不同的平面，a⊥α，b⊥β，則下列命題中不正確的是()BA．若a與b相交，則α與β相交B．若α與β相交，則a與b相交C．若a∥b，則α∥βD．若α⊥β，則a⊥b解析：α與β相交，a與b可能是異面直線．1－2.α、β是兩個不同的平面，m、n是α、β之外的兩條不同的直線，給出以下四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個論斷作為條件，余下一個作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題___________.①③④→②解析：答案不唯一，如：②③④→①也正確．2021/5/96圖2證明：作AH⊥SB于H.∵平面SAB⊥平面SBC，∴AH⊥平面SBC.∴AH⊥BC.又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.又∵AH∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.面面垂直→線面垂直．平面與平面垂直的性質(zhì)定理的簡單應(yīng)用例2：如圖

2，在三棱錐S－ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求證：AB⊥BC.2021/5/972－1.如圖3，四棱錐V－ABCD的底面為矩形，側(cè)面VAB⊥底面ABCD，且VB⊥平面VAD.求證：平面VBC⊥平面VAC.圖3證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴BC⊥AB.又∵面VBA⊥面ABCD，面VBA∩面ABCD＝AB，∴BC⊥面VAB.∴BC⊥VA.∵VB⊥面VAD，∴VB⊥VA.∵VB∩BC＝B，∴VA⊥面VBC.又∵VA?面VAC，∴面VBC⊥面VAC.2021/5/98面面垂直的綜合應(yīng)用例3：如圖

4，已知矩形ABCD，過A作SA⊥平面AC，AE⊥SB于E點(diǎn)，過E作EF⊥SC于F點(diǎn)．(1)求證：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于G，求證：AG⊥SD.圖4證明：(1)∵SA⊥平面AC，BC?平面AC，∴SA⊥BC.∵四邊形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.∴BC⊥平面SAB.又AE?平面SBC，∴BC⊥AE.2021/5/99又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，DC?平面AC，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD.又AG?平面SAD，∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?平面AEF，∴SC⊥AG，且SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.2021/5/9103－1.已知PA⊥矩形ABCD所在平面，平面PDC與平面ABCD成45°角，M、N分別為AB、PC的中點(diǎn)．求證：平面MND⊥平面PDC.圖5證明：如圖5，設(shè)E為PD中點(diǎn)，連接AE、EN，∵M(jìn)、N

分別為AB、PC中點(diǎn)，

∴EN∥DC∥AB，∴四邊形AMNE為平行四邊形，∴MN∥AE.2021/5/911∴DC⊥AE，DC⊥PD，∴∠PDA是二面角P－DC－A的平面角．∵PDA＝45°，又PA⊥AD，∴∠APD＝45°，△PAD是等腰直角三角形．∵E為PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD.又∵DC⊥AE，∴AE⊥平面PDC.又MN∥AE，∴MN⊥平面PDC.∴平面MND⊥平面PDC.∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，∴PA⊥DC，PA⊥AD.又∵DC⊥AD，∴DC⊥平面PAD，而AE?平面PAD.2021/5/912例4：證明：如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面．證法一：如圖5，在γ內(nèi)取一點(diǎn)P，作PA垂直α與γ的交線于A，再作PB垂直β與γ的交線于B，則PA⊥α，PB⊥β.∵l＝α∩β，∴l(xiāng)⊥PA，l⊥PB.∵α與β相交，∴PA與PB相交．又PA?γ，PB?γ，∴l(xiāng)⊥γ.圖52021/5/913圖6

證法二：如圖6，在α內(nèi)作直線m垂直于α與γ的交線，在β內(nèi)作直線n垂直于β與γ的交線， ∵α⊥γ，β⊥γ， ∴m⊥γ，n⊥γ.

∴m∥n.又n?β， ∴m∥β，∴m∥l，∴l(xiāng)⊥γ.2021/5/914證法三：如圖7，在l上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作γ的垂線l′，但α∩β＝l，∴l(xiāng)與l′重合，∴l(xiāng)⊥γ.圖72021/5/915

點(diǎn)評：證法一、證法二都是利用“兩平面垂直時，在一個平面內(nèi)垂直于兩平面的交線的直線垂直于另一個平面”這一性質(zhì)，添加了在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線這樣的輔助線．這是證法一、證法二的關(guān)鍵．

證法三是利用“如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內(nèi)”這一性質(zhì)，添加了l′這條輔助線，這是證法三的關(guān)鍵． 通過此例，體會兩平面垂直時，添加輔助線的方法．2021/5/9161．下面四個命題，其中真命題的個數(shù)為()B

①如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線和這個平面垂直；②過空間一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直；③一條直線和一個平面不垂直，這條直線和平面內(nèi)的所有直線都不垂直；④垂直于同一平面的兩條直線平行．A．1個B．2個C．3個D．4個

2．兩個平面互相垂直，一條直線和其中一個平面平行，則這條直線和另一個平面的位置關(guān)系是______________________．解析：②、④是真命題．相交、平行、在平面內(nèi)練習(xí):2021/5/917小結(jié):1．線面垂直性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行(