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文檔簡介
流體力學(xué)講義第一講第一頁,共二十五頁,編輯于2023年,星期日2、克羅內(nèi)克爾符號3、交變符號
四、張量定義定義1:張量作為向量定義的推廣
當(dāng)由一個坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到另一個坐標(biāo)系時,向量按下式變換則笛卡兒坐標(biāo)系所確定的三向量組叫張量是張量的向量分量。
第二頁,共二十五頁,編輯于2023年,星期日五、張量運(yùn)算
1、相加
2、外積:r階和s階張量的外積是一個r+s階張量,其分量為
原來張量的各個分量之積。
定義2:向量的并積,就代表一個二階張量。第三頁,共二十五頁,編輯于2023年,星期日4、內(nèi)積:內(nèi)積是外積的縮并。3、縮并:令張量的兩個腳標(biāo)相等并循環(huán)相加。5、張量場的微分:對張量的每個元素取其的導(dǎo)數(shù)張量的微分叫做張量的梯度(新得的張量其階數(shù)多1)第四頁,共二十五頁,編輯于2023年,星期日三、向量微分算子(哈密頓算子)哈密頓算子的符號是,有兩種表示方法微分形式:(運(yùn)算)積分形式:含義,用它作用在一個標(biāo)量函數(shù)上來說明。(場的概念)
1、叫梯度(標(biāo)量場的最大變
化率和變化率的方向)sv第五頁,共二十五頁,編輯于2023年,星期日2、微分形式和積分形式是否等價:證明:取的二等值面和兩二等值面之間的小圓柱,如圖
沿柱面積分,該積分由三部分組成,即
所以:第六頁,共二十五頁,編輯于2023年,星期日若定義一個向量場,則向量微分算子與它作用后分別得到:叫散度,標(biāo)量,物理意義叫旋度張量場第七頁,共二十五頁,編輯于2023年,星期日稱為向量a通過曲面S的通量。若a代表流速v,通量即流量。在直角坐標(biāo)系中向量場的通量和散度
物理量的散度可用來判別場是否有源。通量:在向量場a中向曲面S的法向量為n,則曲面積分圖0.4.1通量l第八頁,共二十五頁,編輯于2023年,星期日有源場和無源場:散度是一個標(biāo)量,它表示單位體積內(nèi)物理量通過其表面的通量。若diva>0,稱該點有源;若diva<0,稱該點有匯。|diva|稱為源或匯的強(qiáng)度。若diva=0(處處),稱該物理場為無源場,否則為有源場。⑴
(常數(shù))
散度的基本運(yùn)算公式:
(2)(為標(biāo)量)
(3)
散度anM散度的微分形式為:第九頁,共二十五頁,編輯于2023年,星期日旋度定義:
取微小圓柱體,取為速度,法線方向為,對整個微元體進(jìn)行以下積分。和的方向滿足右手螺旋法則。定義:環(huán)量定義:在向量場a沿有向封閉曲線l的積分稱為向量a沿曲線l的環(huán)量。向量場的環(huán)量和旋度物理量的旋度可用來判別場是否有旋(圍繞某點旋轉(zhuǎn))。第十頁,共二十五頁,編輯于2023年,星期日可證:旋度代表某一點的旋轉(zhuǎn)角速度或旋轉(zhuǎn)量,定義了一個向量場,叫旋度場在直角坐標(biāo)系中表達(dá)式:引進(jìn)哈密頓算子:第十一頁,共二十五頁,編輯于2023年,星期日旋度運(yùn)算基本公式第十二頁,共二十五頁,編輯于2023年,星期日小總結(jié)梯度,散度和旋度代表一種向量場或標(biāo)量場,他們的大小、方向和表達(dá)形式都不因直角坐標(biāo)的變換而變化。梯度:描述標(biāo)量場的不均勻性或變化率,把標(biāo)量場變成了
向量場。散度:不描述向量場的變化率,把向量場變成了標(biāo)量場。旋度:不描述向量場的變化率,不改變向量場的性質(zhì)。第十三頁,共二十五頁,編輯于2023年,星期日四、幾個重要公式
1、
2、
3、
4、拉普拉斯算子總乘叉乘第十四頁,共二十五頁,編輯于2023年,星期日五、幾個積分定理
1、高斯定理
2、散度定理
3、旋度定理
4、斯托克斯定理斯托克斯定理的證明:對應(yīng)用散度定理:
旋度經(jīng)過S的通量環(huán)量(體積分與面積分之關(guān)系)第十五頁,共二十五頁,編輯于2023年,星期日由公式知左端積分為零,而右端積分的表面應(yīng)是包圍V的整個曲面,即S加由C所包圍的底面所以,,由標(biāo)量三重積公式
可以寫成:,故右端為:,對向量應(yīng)用散度定理,有:其中是曲線C的外法線向量,是的外法線向量,二者相互垂直,由標(biāo)量三重積公式可得:所以:Stokes公式聯(lián)系了面積分和線積分之間的關(guān)系。第十六頁,共二十五頁,編輯于2023年,星期日六、一般正交曲線坐標(biāo)為什么?實際需要
1、一般曲線坐標(biāo)系若任一點的坐標(biāo)位置(x,y,z)可用其它三個獨立變量表示,即存在關(guān)系式或第十七頁,共二十五頁,編輯于2023年,星期日即每一組必有一組與之對應(yīng),反之亦然(其雅可比行列式不為零2、正交曲線坐標(biāo)系若空間任意一點,三個坐標(biāo)線的切線都是正交的,稱此坐標(biāo)系為正交曲線坐標(biāo)系。沿著坐標(biāo)線的切線方向的單位向量以表示。3、正交曲線坐標(biāo)系與笛卡兒坐標(biāo)的區(qū)別
1)在笛卡兒坐標(biāo)中,沿坐標(biāo)軸的單位向量是不變的,在正交曲線坐標(biāo)系中,的方向,一般說,隨點的位置而變化。
2)在笛卡兒坐標(biāo)中,坐標(biāo)線上的微分增量是dxi,與坐標(biāo)值的增量是一致的,在正交曲線坐標(biāo)系中,坐標(biāo)線上的微分增量是dsi,與坐標(biāo)值的增量dqi則不一定相等。第十八頁,共二十五頁,編輯于2023年,星期日4、坐標(biāo)線的切線方向的單位向量的正交性式中為克羅內(nèi)克符號,i,j,k為1,2,3的循環(huán)排列。5、正交曲線坐標(biāo)系中的拉梅系數(shù)在正交曲線坐標(biāo)系中,坐標(biāo)線上的微分增量dsi與坐標(biāo)值的增量dqi不一定相等,坐標(biāo)線上的微分增量dsi與坐標(biāo)值的增量dqi一般要乘以系數(shù)Hi(拉梅系數(shù)),才會變成坐標(biāo)線上的微分增量dsi,即第十九頁,共二十五頁,編輯于2023年,星期日如何確定Hi?象在笛卡兒坐標(biāo)中一樣,在空間某一點A,沿三個坐標(biāo)軸為棱邊作一微分六面體,由于其邊長分別為,,,設(shè)AB邊在笛卡兒坐標(biāo)中的分量為dx,dy,dz,由于它們都只是由于dq1的變化而引起的數(shù),故所以第二十頁,共二十五頁,編輯于2023年,星期日同理:進(jìn)而可寫出弧元素:微元面積:微元體積:第二十一頁,共二十五頁,編輯于2023年,星期日6、梯度、散度、旋度在正交曲線坐標(biāo)系中的表示:
1)梯度
2)散度
3)旋度
第二十二頁,共二十五頁,編輯于2023年,星期日4)拉普拉斯算
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