流體力學講義第一講

流體力學講義第一講第一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日2、克羅內克爾符號3、交變符號

四、張量定義定義1：張量作為向量定義的推廣

當由一個坐標系轉換到另一個坐標系時，向量按下式變換則笛卡兒坐標系所確定的三向量組叫張量是張量的向量分量。

第二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日五、張量運算

1、相加

2、外積：r階和s階張量的外積是一個r+s階張量，其分量為

原來張量的各個分量之積。

定義2：向量的并積，就代表一個二階張量。第三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日4、內積：內積是外積的縮并。3、縮并：令張量的兩個腳標相等并循環(huán)相加。5、張量場的微分：對張量的每個元素取其的導數張量的微分叫做張量的梯度（新得的張量其階數多1）第四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日三、向量微分算子（哈密頓算子）哈密頓算子的符號是，有兩種表示方法微分形式：（運算）積分形式：含義，用它作用在一個標量函數上來說明。（場的概念）

1、叫梯度（標量場的最大變

化率和變化率的方向）sv第五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日2、微分形式和積分形式是否等價：證明：取的二等值面和兩二等值面之間的小圓柱,如圖

沿柱面積分，該積分由三部分組成，即

所以：第六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日若定義一個向量場，則向量微分算子與它作用后分別得到：叫散度，標量，物理意義叫旋度張量場第七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日稱為向量a通過曲面S的通量。若a代表流速v，通量即流量。在直角坐標系中向量場的通量和散度

物理量的散度可用來判別場是否有源。通量：在向量場a中向曲面S的法向量為n，則曲面積分圖0.4.1通量l第八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日有源場和無源場：散度是一個標量，它表示單位體積內物理量通過其表面的通量。若diva>0，稱該點有源；若diva<0，稱該點有匯。|diva|稱為源或匯的強度。若diva＝0（處處），稱該物理場為無源場，否則為有源場。⑴

（常數）

散度的基本運算公式：

（2)(為標量）

（3)

散度anM散度的微分形式為：第九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日旋度定義：

取微小圓柱體，取為速度，法線方向為，對整個微元體進行以下積分。和的方向滿足右手螺旋法則。定義：環(huán)量定義：在向量場a沿有向封閉曲線l的積分稱為向量a沿曲線l的環(huán)量。向量場的環(huán)量和旋度物理量的旋度可用來判別場是否有旋（圍繞某點旋轉）。第十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日可證：旋度代表某一點的旋轉角速度或旋轉量，定義了一個向量場，叫旋度場在直角坐標系中表達式：引進哈密頓算子：第十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日旋度運算基本公式第十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日小總結梯度，散度和旋度代表一種向量場或標量場，他們的大小、方向和表達形式都不因直角坐標的變換而變化。梯度：描述標量場的不均勻性或變化率，把標量場變成了

向量場。散度：不描述向量場的變化率，把向量場變成了標量場。旋度：不描述向量場的變化率，不改變向量場的性質。第十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日四、幾個重要公式

1、

2、

3、

4、拉普拉斯算子總乘叉乘第十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日五、幾個積分定理

1、高斯定理

2、散度定理

3、旋度定理

4、斯托克斯定理斯托克斯定理的證明：對應用散度定理：

旋度經過S的通量環(huán)量（體積分與面積分之關系)第十五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日由公式知左端積分為零，而右端積分的表面應是包圍V的整個曲面，即S加由C所包圍的底面所以，，由標量三重積公式

可以寫成：，故右端為：，對向量應用散度定理，有：其中是曲線C的外法線向量，是的外法線向量，二者相互垂直，由標量三重積公式可得：所以：Stokes公式聯(lián)系了面積分和線積分之間的關系。第十六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日六、一般正交曲線坐標為什么？實際需要

1、一般曲線坐標系若任一點的坐標位置(x,y,z)可用其它三個獨立變量表示，即存在關系式或第十七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日即每一組必有一組與之對應，反之亦然（其雅可比行列式不為零2、正交曲線坐標系若空間任意一點，三個坐標線的切線都是正交的，稱此坐標系為正交曲線坐標系。沿著坐標線的切線方向的單位向量以表示。3、正交曲線坐標系與笛卡兒坐標的區(qū)別

1）在笛卡兒坐標中，沿坐標軸的單位向量是不變的，在正交曲線坐標系中，的方向，一般說，隨點的位置而變化。

2）在笛卡兒坐標中，坐標線上的微分增量是dxi,與坐標值的增量是一致的，在正交曲線坐標系中，坐標線上的微分增量是dsi,與坐標值的增量dqi則不一定相等。第十八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日4、坐標線的切線方向的單位向量的正交性式中為克羅內克符號，i，j，k為1，2，3的循環(huán)排列。5、正交曲線坐標系中的拉梅系數在正交曲線坐標系中，坐標線上的微分增量dsi與坐標值的增量dqi不一定相等，坐標線上的微分增量dsi與坐標值的增量dqi一般要乘以系數Hi（拉梅系數），才會變成坐標線上的微分增量dsi，即第十九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日如何確定Hi？象在笛卡兒坐標中一樣，在空間某一點A，沿三個坐標軸為棱邊作一微分六面體，由于其邊長分別為，，,設AB邊在笛卡兒坐標中的分量為dx，dy，dz，由于它們都只是由于dq1的變化而引起的數，故所以第二十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日同理：進而可寫出弧元素：微元面積：微元體積：第二十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日6、梯度、散度、旋度在正交曲線坐標系中的表示：

1）梯度

2）散度

3）旋度

第二十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日4）拉普拉斯算