數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐與思考-以一節(jié)數(shù)列的概念及表示教學(xué)為例

數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐與思考-以一節(jié)“數(shù)列的概念及表示”教學(xué)為例

Summary：中職數(shù)學(xué)概念課教學(xué)存在學(xué)生抽象思維差異大、概念教學(xué)方式單一和師生對數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)養(yǎng)成重視不夠等問題，借助探究式教學(xué)理念，在數(shù)學(xué)概念課教學(xué)中注重概念生成過程，把握概念本質(zhì)，實(shí)施教學(xué)策略，激發(fā)學(xué)生思維活力，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)中職生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。Keys：概念生成；數(shù)學(xué)抽象；思維活力一、教學(xué)實(shí)踐背景數(shù)學(xué)概念是揭示現(xiàn)實(shí)世界空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式。新課標(biāo)要求數(shù)學(xué)概念課教學(xué)時(shí)要突出概念的發(fā)生、發(fā)展過程，把接受新知識的過程當(dāng)作再發(fā)現(xiàn)、再探索的過程。[1]在實(shí)際概念教學(xué)中存在以下問題：1.中職生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)參差不齊，中職生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平較低，數(shù)學(xué)成績兩極分化，大部分成績不理想，長期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)挫敗感導(dǎo)致學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容沒有興趣，課堂氛圍沉悶。2.概念課教學(xué)方式單一，僅是對數(shù)學(xué)概念做字面上的講解，對照概念做練習(xí)的教學(xué)方式導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)概念理解和應(yīng)用停留在字面上，不能綜合情境進(jìn)行抽象解決問題，學(xué)生課堂參與度和思考深度不夠。3.師生對數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)養(yǎng)成重視不夠，看重分?jǐn)?shù)但分?jǐn)?shù)低，課堂上死記硬背，忽視概念、公式、定理的生成過程，解題沒有方法記套路，數(shù)學(xué)概念課索然無味，無法對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)起到應(yīng)有的作用。二、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐為解決中職數(shù)學(xué)概念課教學(xué)中存在的弊端，部分教師運(yùn)用探究式教學(xué)，注重?cái)?shù)學(xué)概念生成過程，把握概念本質(zhì)，實(shí)施教學(xué)策略，激發(fā)學(xué)生思維活力，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。1.創(chuàng)設(shè)適當(dāng)情境，促進(jìn)概念生成數(shù)學(xué)源于生活，數(shù)學(xué)問題與現(xiàn)實(shí)情境緊密相連，情境是抽象概念的土壤，高中生雖處于邏輯思維迅速發(fā)展的階段，但形象思維仍然發(fā)揮著重要作用。從適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)素材(現(xiàn)實(shí)生活的、數(shù)學(xué)內(nèi)部的、相關(guān)學(xué)科的等等)中引出的、對學(xué)生的思維具有挑戰(zhàn)性的“問題情景”，引導(dǎo)學(xué)生開展系列化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，從素材中抽象出一般的、概括性的知識[2]。教學(xué)片段1以《數(shù)列的概念及表示》為例師:古希臘有位智者叫畢達(dá)哥拉斯，他發(fā)現(xiàn)了勾股定理還創(chuàng)建了影響西方乃至整個(gè)世界的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派者，被稱為數(shù)學(xué)之父。畢達(dá)哥拉斯年輕時(shí)喜歡研究數(shù)，用小石頭排成圖1形狀：問題1圖1中的小石頭數(shù)表示了一系列數(shù)字，這些數(shù)有怎樣的規(guī)律？先畫出圖1中第5個(gè)，第6個(gè)“三角形”，說出它們分別表示哪些數(shù)，并找規(guī)律填表1。師:這些“三角形”含有的點(diǎn)數(shù)分別是1,3,6,10,15,21，…（I）這就是大名鼎鼎的“三角形數(shù)”；師：圖2中的小石頭擺出的圖形表示哪些數(shù)?找出這些數(shù)的規(guī)律填寫表2。“正方形”點(diǎn)數(shù)分別是1,4,9,16,25,36…（II）這些數(shù)叫“正方形數(shù)”；設(shè)計(jì)說明：由數(shù)學(xué)大咖畢達(dá)哥拉斯及其學(xué)派與形數(shù)的數(shù)學(xué)史創(chuàng)設(shè)三角形數(shù)和正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列問題情境，對同學(xué)們進(jìn)行形數(shù)的科普，引導(dǎo)學(xué)生對形數(shù)的規(guī)律進(jìn)行探索。畫圖填表，增強(qiáng)教學(xué)的直觀性與趣味性;情景問題簡明易懂，在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)提有適度挑戰(zhàn)性問題，滿足“導(dǎo)而弗牽，開而弗達(dá)”的要求，讓學(xué)生自己“捅破窗戶紙”促進(jìn)概念生成。[2]2.設(shè)計(jì)典型問題，厘清概念本質(zhì)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說過：“問題是數(shù)學(xué)的心臟”。問題是數(shù)學(xué)活動中學(xué)生思維動力和課堂活力的源頭，在概念教學(xué)中，設(shè)計(jì)一系列邏輯合理、導(dǎo)向明確的問題串，把概念理解的難點(diǎn)階梯分解，降階抽象思維的難度，引學(xué)生朝預(yù)期設(shè)計(jì)的方向生成課堂，讓學(xué)生有深度思考的時(shí)間和空間。層層深入的問題串，在問答中思維產(chǎn)生交互，學(xué)生在課堂交互中生成概念，豐富學(xué)生學(xué)習(xí)體驗(yàn)，提升思維活力。教學(xué)片段2問題2表1和表2兩列數(shù)（I）和（II），其中的任意兩個(gè)數(shù)字交換位置，兩列數(shù)變了嗎?數(shù)列：①1,2,3,4,5,6,7,8；②8,7，6,5,4,3,2,1是同一個(gè)數(shù)列嗎?為什么?生1:兩列數(shù)有變化，數(shù)的順序改變了，數(shù)列就不一樣。（前面的兩列數(shù)都按一定順序排列。）生2:不是。數(shù)字調(diào)換順序后，數(shù)列就變成了另一個(gè)數(shù)列，①的第一項(xiàng)是1，②的第一項(xiàng)是8。問題3：數(shù)列⑴1,3,6,10,15,21，…；⑵1,4,9,16,25,36…；⑴、⑵中的項(xiàng)與數(shù)的次序有關(guān)嗎?生3:數(shù)列中的每一項(xiàng)都與數(shù)所在的序號（第幾）有關(guān)，并且序號都是從1開始的。例2寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):(1)，，,，…；(2)2,4,6，8，…;(3)1，一1，1，一1，…;(4)1,1，1，1，1,…問題5已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，表示數(shù)列的通項(xiàng)公式是否只有一個(gè)?生7:不一定，如例2(3)，通項(xiàng)公式可以寫成,=，也可以成,=cos（n-1）。設(shè)計(jì)說明:根據(jù)學(xué)生最近發(fā)展區(qū)設(shè)置問題，包括問題引入，概念建構(gòu)，概念辨析，概念理解四個(gè)方面，逐步深人、層層相扣，在思維碰撞中動態(tài)生成數(shù)列的概念.問題1讓學(xué)生在數(shù)學(xué)史中了解“形數(shù)”，在畫圖和找規(guī)律的數(shù)學(xué)活動中一起探究;問題2通過調(diào)換列數(shù)中數(shù)的“次序”來發(fā)現(xiàn)每個(gè)數(shù)是有“次序和對應(yīng)”;問題3和問題4讓學(xué)生通過次序與項(xiàng)的對應(yīng)，理解數(shù)列是定義在正整數(shù)集或其子集上的特殊函數(shù)；問題5通過實(shí)例說明表示數(shù)列的通項(xiàng)公式多樣性，問題6通過數(shù)列實(shí)例結(jié)合函數(shù)性質(zhì)類比數(shù)列的性質(zhì)，加深學(xué)生對數(shù)列通項(xiàng)公式和性質(zhì)的理解。3.滲透思想方法，培養(yǎng)抽象素養(yǎng)在日常教學(xué)中部分師生只注重考試成績，不重視數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的養(yǎng)成。一些學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)只要上課能聽懂，下課能解題就行，其實(shí)不然，數(shù)學(xué)教育不僅僅是教會學(xué)生解題，而是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)思維思考，用數(shù)學(xué)理念和方法解決生活實(shí)際問題。比如從特殊到一般的數(shù)學(xué)抽象方法就是將“將實(shí)際生活中的問題數(shù)學(xué)化，發(fā)現(xiàn)不同對象的共同特征”，就是發(fā)現(xiàn)不同問題中的一般的特性；數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)和形的對應(yīng)，“以形表數(shù)、以數(shù)解形”，把復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化的重要解題思想方法。思維導(dǎo)圖是表達(dá)發(fā)散性思維的有效圖形思維工具，引導(dǎo)學(xué)生繪制課程單元化的思維導(dǎo)圖，建立章節(jié)知識概念體系。設(shè)計(jì)好學(xué)材，在完成任務(wù)單的同時(shí)，在概念的生成，知識的發(fā)生，問題的探究過程中培養(yǎng)了學(xué)生的抽象素養(yǎng)。[3]學(xué)習(xí)材料（任務(wù)單）問題4，數(shù)列{}，任意項(xiàng)(i=1,2,3,…,n,…)與各項(xiàng)序號i（項(xiàng)數(shù)）之間有圖3的對應(yīng)關(guān)系，這個(gè)對應(yīng)關(guān)系“f”是函數(shù)關(guān)系嗎?請舉例驗(yàn)證（任務(wù)1）生(1-10):是函數(shù)關(guān)系。數(shù)列中的每一個(gè)序號（項(xiàng)數(shù)）1，2，3，…，n，…，都有唯一的項(xiàng),…,與之對應(yīng)。師:在數(shù)列{}中，對于每一個(gè)正整數(shù)n，都有一個(gè)數(shù)與之對應(yīng)。數(shù)列可以看作是以正整數(shù)集或正整數(shù)集的有限子集）為定義域的函數(shù),=f(n)。對函數(shù)y=f()，若自變量（）從1開始依次取全體正整數(shù)，得到一個(gè)數(shù)列:f(1),f(2),f(3),…,f(n),…，我們把=f(n)，(n)的解析式，稱為數(shù)列的通項(xiàng)公式。師：請?jiān)贓XCEL中畫出數(shù)列⑵1,4,9,16,25,36…的圖像（任務(wù)2）；通項(xiàng)公式=f(n)=；生：圖像如右，數(shù)列的圖像是一些獨(dú)立的點(diǎn)。變式練習(xí)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):(1)1，，，,，…;(2)1，2，4，8，·…(3)2，0，2，0，…;(4)5，55，555，5555，·…問題6對照函數(shù)的一般性質(zhì)，一起探究數(shù)列性質(zhì)有哪些?師:我們學(xué)過函數(shù)單調(diào)性、奇偶性。數(shù)列也有單調(diào)嗎？奇偶性呢?一起看看例2及變式練習(xí)中數(shù)列的單調(diào)性。生（1-10）:例2的(1)(2)及變式（1）（4）是遞增數(shù)列，變式(1)是遞減數(shù)列，(4)是常數(shù)列。生7:數(shù)列的項(xiàng)往后越來越大，如例2中的第(1)(2)小題，單調(diào)性遞增。生8:奇、偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，數(shù)列定義域是正整數(shù)集，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，數(shù)列沒有“奇偶性”。師：如何用數(shù)學(xué)語言描述數(shù)列的單調(diào)性？生9:任意連續(xù)兩項(xiàng)和如果后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)大，數(shù)列就是遞增數(shù)列；師:非常好！數(shù)列從第2項(xiàng)開始才有前一項(xiàng)，這里的下標(biāo)n2。即當(dāng)n2時(shí)總有，則數(shù)列{}是遞增數(shù)列。師:大家仿照上述說法描述遞減數(shù)列和常數(shù)數(shù)列。生（1-10）：任意相鄰兩項(xiàng)和當(dāng)n2時(shí)總有，則數(shù)列{}是遞減數(shù)列。任意相鄰兩項(xiàng)和當(dāng)n2時(shí)總有，則數(shù)列{}是常數(shù)列。師：請大家將本節(jié)課的內(nèi)容繪制一張思維導(dǎo)圖。（任務(wù)3）將學(xué)生作品進(jìn)行點(diǎn)評和展示如右圖。設(shè)計(jì)說明：本部分內(nèi)容主要是任務(wù)單，將特殊到一般，數(shù)形結(jié)合，思維導(dǎo)圖等思想方法融入學(xué)材形成可操作的任務(wù)單。通過類比函數(shù)對應(yīng)，概念遷移項(xiàng)數(shù)和項(xiàng)之間對應(yīng)，得出數(shù)列是定義在正整數(shù)集上（或其子集上）的特殊函數(shù)。根據(jù)學(xué)生專業(yè)特點(diǎn)用EXCEL繪圖展示數(shù)列的部分圖像，數(shù)形結(jié)合將抽象的概念（數(shù)列）在具體的案例（=）準(zhǔn)確、直觀演繹出來（一系列離散的點(diǎn)）。從項(xiàng)與n（序號）的對應(yīng)到數(shù)列的解析式及圖像，再到數(shù)列單調(diào)性的符號語言描述，理解數(shù)列的性質(zhì)，為后續(xù)學(xué)習(xí)遞推公式及等差、等比數(shù)列作鋪墊，最后通過繪制本節(jié)課的思維導(dǎo)圖使知識條理化，為建立數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)打好基礎(chǔ)。三、教學(xué)思考在探究式教學(xué)理念的指導(dǎo)下，數(shù)學(xué)概念課在教學(xué)情境、教學(xué)模式、教學(xué)理念方面進(jìn)行了變革，解決概念教學(xué)時(shí)學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容的關(guān)注度低，課堂參與度不高，課堂思維效能低等問題，建構(gòu)學(xué)生深度思考的“漁場”，激發(fā)思維活力，注重以下三個(gè)方面：1.注重“大情境”和“大概念”數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計(jì)要注重“大情境”和“大概念”[4]教學(xué)模式，大情境包括數(shù)學(xué)史情境、數(shù)學(xué)現(xiàn)象情境和數(shù)學(xué)模型情境三種情境。概念教學(xué)中創(chuàng)設(shè)情境要合理，要與探究的問題和內(nèi)容有邏輯關(guān)聯(lián)，創(chuàng)設(shè)能夠激起學(xué)生探究問題的積極性，引發(fā)學(xué)生主動思考的情境。大概念是指把各種數(shù)學(xué)理解聯(lián)系成一個(gè)連貫的整體，將數(shù)學(xué)看作是一個(gè)連貫的大概念集合。將一個(gè)數(shù)學(xué)概念放在更大的數(shù)學(xué)范疇里，這也是基于學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)和方法，即“推向大概念”。2.注重課堂生成數(shù)學(xué)概念課教學(xué)要注重課堂預(yù)設(shè)下生成的內(nèi)容，學(xué)生的實(shí)物作品，紙質(zhì)演算成果，現(xiàn)場的語言、動作都是數(shù)學(xué)思維的外化，捕捉到學(xué)生的思維火花，激發(fā)思維活力，將課堂生成資源以實(shí)物投影、直接展示、手機(jī)拍照，同屏技術(shù)等數(shù)字信息平臺形式展示，尊重課堂生成，也是經(jīng)營一堂好課。3.注重學(xué)材設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)既包括教師用的教學(xué)設(shè)計(jì)方案（教學(xué)預(yù)設(shè)）也包括學(xué)生用的學(xué)材（任務(wù)單、學(xué)案）。設(shè)計(jì)學(xué)生角度的學(xué)材能幫助學(xué)生建立自主學(xué)習(xí)的時(shí)空和路徑，起到導(dǎo)思與導(dǎo)做的作用，又能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行先實(shí)踐后認(rèn)知的序列進(jìn)程。在信息化技術(shù)的幫助下，學(xué)材既能將學(xué)習(xí)時(shí)間前置又能將學(xué)習(xí)空間拓展。每一門學(xué)科課程教學(xué)都有自己獨(dú)特的、其他學(xué)科所無法替代的價(jià)值，數(shù)學(xué)亦然。我們將數(shù)學(xué)的知識體系、思維方式和符號表達(dá)等融入到數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，注重?cái)?shù)學(xué)概念生成過程，啟迪學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察、用數(shù)學(xué)的思維思考和用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)”[5]，培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。Reference：[1]普通高中數(shù)學(xué)課程