第二十一章一元二次方程（能力提升）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元過關(guān)測試定心卷（人教版）（解析版）

-2023學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)上冊單元測試定心卷第二十一章一元二次方程（能力提升）時間：100分鐘總分：120分選擇題（每題3分，共24分）1．把一元二次方程化成一般形式，正確的是（

）A． B． C． D．【解析】解：∵，∴∴方程的一般形式為：故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式：”是解本題的關(guān)鍵．2．關(guān)于x的方程ax2-3x+2=0是一元二次方程，則（

）A．a(chǎn)>0 B．a(chǎn)≠0 C．a(chǎn)=0 D．a(chǎn)≧0【解析】關(guān)于x的方程ax2-3x+2=0是一元二次方程，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)，且a≠0），熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．若、是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，則的值為（

）．A．2 B． C．2022 D．【解析】解：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以得到：，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式是解題關(guān)鍵．4．已知三角形的兩邊長分別為2和7，第三邊的長是一元二次方程的根，則這個三角形的周長為（

）A．13 B．15 C．13或15 D．15或19【解析】解：∵，∴，解得∵第三邊的長為二次方程的一根，2+4=6<7，7-2<6<7+2，∴邊長2，4，7不能構(gòu)成三角形，2，6，7能構(gòu)成三角形，∴三角形的周長=2+6+7=15．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法及三角形三邊關(guān)系，求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長能否成三角形的好習(xí)慣，熟練掌握一元二次方程的解法及三角形三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．已知則的值為（

）A．或3 B． C．3 D．1或【解析】解：設(shè)=a，則原方程可化為（a+1）（a-3）=0，解得a1=-1，a2=3，∵0，∴=3，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了換元法解一元二次方程，正確理解題意設(shè)=a由此解方程是解題的關(guān)鍵．6．空地上有一段長為a米的舊墻MN，利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園（如圖1或圖2），已知木欄總長為40米，所圍成的菜園面積為S．下列說法錯誤的是（

）A．若a＝16，S＝196，則有一種圍法 B．若a＝20，S＝198，則有兩種圍法C．若a＝24，S＝198，則有兩種圍法 D．若a＝24，S＝200，則有一種圍法【解析】解：設(shè)矩形菜園的寬為x米，則長為米，∴當(dāng)時，采用圖1圍法，則此時當(dāng)時，解得：此時都不符合題意，采用圖2圍法，如圖，此時矩形菜園的寬為x米，即則則所以長為米，結(jié)合可得

∴解得：經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意，綜上：若a＝16，S＝196，則沒有圍法，故A符合題意；設(shè)矩形菜園的寬為x米，則長為米，∴當(dāng)時，采用圖1圍法，則此時當(dāng)時，解得：經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；采用圖2圍法，如圖，此時矩形菜園的寬為x米，即則則所以長為米，結(jié)合可得

∴解得：經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，綜上：若a＝20，S＝198，則有兩種圍法，故B不符合題意；同理可得：C不符合題意，D不符合題意；故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，表示圖2中矩形的長是解本題的關(guān)鍵．7．有一塊矩形鐵皮，長50cm，寬30cm，在它的四個角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒，要制作的無蓋方盒的底面積為．設(shè)切去的正方形的邊長為，可列方程為（

）A． B．C． D．【解析】設(shè)切去的正方形的邊長為，則底面的長為，寬為，則故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．8．關(guān)于的方程（為常數(shù)）根的情況，下列結(jié)論中正確的是（

）A．有兩個相異正根 B．有兩個相異負(fù)根 C．有一個正根和一個負(fù)根 D．無實(shí)數(shù)根【解析】解：由題意得：方程可化為，∴，∴該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)該方程的兩個根為，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：，∴該方程的兩個根為一正一負(fù)，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每題3分，共24分）9．一元二次方程，若是它的一個根，則_____．【解析】解：∵是一元二次方程的一個根，∴將代入，∴，故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根，使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根，了解一元二次方程的根的意義是解答本題的關(guān)鍵．10．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【解析】解：由題意，得Δ=42-4×2a≥0，解得a≤2．故答案是：a≤2．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式．一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ=0?方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．11．設(shè)a，b是方程的兩個實(shí)數(shù)根，則的值為_____．【解析】解：∵a，b是方程x2+x﹣2023＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2023，∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣a﹣b+1＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2023﹣（﹣1）+1＝﹣2021．故答案為：﹣2021．【點(diǎn)睛】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．12．小明在計算某數(shù)的平方時，將這個數(shù)的平方誤看成它的2倍，使答案少了35，則這個數(shù)為_________．【解析】解：設(shè)這個數(shù)為x，根據(jù)題意得：，解得：或．故答案為：7或-5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程，是解題的關(guān)鍵．13．在一次聚會中，每兩人都握了一次手，所有人共握手15次，有______人參加聚會．【解析】解：設(shè)有x人參加聚會，根據(jù)題意得：=15，整理得：x2﹣x﹣30=0，即（x﹣6）（x+5）=0，解得：x=6或x=﹣5（舍去），即有6人參加聚會．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握“握手問題”的規(guī)律，是解答本題的關(guān)鍵．14．關(guān)于x的一元二次方程m﹣mx﹣＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則m＝_____．【解析】解：∵關(guān)于x的一元二次方程m﹣mx﹣＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝0，∴﹣4ac＝0，即﹣4×m×（﹣）＝0，解得：m＝0或m＝﹣1，當(dāng)m＝0時，原方程不是一元二次方程，不符合題意，故舍去，∴m＝﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程a+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝﹣4ac之間的關(guān)系．15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，點(diǎn)E為BC上一動點(diǎn)，把△ABE沿AE折疊當(dāng)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)落在∠ADC的角平分線上時，則點(diǎn)到BC的距離為________．【解析】解：矩形ABCD，連接，過點(diǎn)作于M．∵點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)落在∠ADC的角平分線上，∴設(shè)，則AM=7-x，又由折疊的性質(zhì)知，∴在直角中，由勾股定理得到：，即（7-x）2=25-x2，解得：x1=3，x2=4，則點(diǎn)到BC的距離為5-3=2或5-4=1．故答案為：2或1．【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)，掌握翻折變換是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．16．已知實(shí)數(shù)，滿足等式，，則的值是______．【解析】解：∵實(shí)數(shù)，滿足等式，，∴m，n是方程的兩實(shí)數(shù)根，∴，，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解以及一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，能熟練利用方程解的定義得到m，n是方程的兩實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．三、解答題（每題8分，共72分）17．解方程(1)(2)【解析】(1)，∴∴；(2)原方程可化為：

，∵，∴∴【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的公式法求解是解題關(guān)鍵．18．若關(guān)于的一元二次方程的常數(shù)項為0，求的值．【解析】解：由題意得，

解得：．

，即，

．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法．19．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．(1)求證：方程總有兩個實(shí)數(shù)根；(2)若方程有一根小于2，求k的取值范圍．【解析】(1)∵a＝1，b＝﹣（k+1），c＝2k﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（2k﹣2）＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0，∴方程總有兩個實(shí)數(shù)根．(2)∵x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0，即[x﹣（k﹣1）]（x﹣2）＝0，∴x1＝2，x2＝k﹣1，又∵方程有一個根小于2，∴k﹣1＜2，∴k＜3，即k的取值范圍為k＜3．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式和利用因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這些知識點(diǎn)進(jìn)行求解．20．一款服裝每件進(jìn)價為80元，銷售價為120元時，每天可售出20件，為了擴(kuò)大銷售量，增加利潤，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件服裝降價1元，那么平均每天可多售出2件．(1)每件服裝降價多少元時，能讓利于顧客并且商家平均每天能贏利1200元．(2)商家能達(dá)到平均每天贏利1800元嗎？請說明你的理由．【解析】(1)解：設(shè)每件服裝降價元，則銷售量為件，根據(jù)題意可得：，化簡得：，解得：，，又因?yàn)樾枰尷陬櫩?，所以，答：每件服裝降價20元時，能讓利于顧客并且商家平均每天能贏利1200元．(2)解：設(shè)每件服裝降價元，根據(jù)題意可得：，化簡得：，∵，∴此方程無解．因此不可能每天盈利1800元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．21．某商場一月份的銷售額為125萬元，二月份的銷售額下降了20%，商場從三月份起加強(qiáng)管理，改善經(jīng)營，使銷售額穩(wěn)步上升，四月份的銷售額達(dá)到了169萬元．(1)求二月份的銷售額；(2)求三、四月份銷售額的平均增長率．【解析】(1)解：125×（1﹣20%）＝125×80%＝100（萬元）．答：二月份的銷售額為100萬元；(2)解：設(shè)三、四月份銷售額的平均增長率為x，依題意得，解得，（不合題意，舍去）．答：三、四月份銷售額的平均增長率為30%．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．22．若為一元二次方程的根；(1)則方程的另外一個根______，______；(2)求的值．【解析】(1)解：∵為一元二次方程的根，設(shè)方程的另外一個根為，∴故答案為：，；(2)是為一元二次方程的根，，，，，，，，，原式【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的意義，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23．如圖．把長40cm．寬30cm的長方形ABCD紙板剪掉2個小正方形和2個小長方形（陰影部分即剪掉部分），將剩余的部分折成一個有蓋的長方體盒子，設(shè)剪掉的小正方形邊長為xcm（紙板的厚度忽略不計）．(1)用含x的代數(shù)式表示EF、FG；(2)當(dāng)長方體體紙盒的底面EFGH的面積等于，求小正方形的邊長．【解析】(1)解：由圖可知，（cm），(cm)，故答案為：，．(2)解：解得：，（不合題意，舍去），即小正方形的邊長為5cm．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點(diǎn)．24．已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．第一象限的點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，設(shè)長方形OCPD的面積為S．(1)，；(2)求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，寫出m的取值范圍；(3)當(dāng)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解析】(1)解：令x=0，則y=4，令y=0，則-x+4=0，解得x=4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），故答案為：4，0；0，4；(2)解：∵PC⊥x軸，PD⊥y軸，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），∴PC=n，PD=m，∵點(diǎn)P（m，n）在直線y=-x+4上，∴n=-m+4，∴；(3)解：∵，∴，解得或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，解一元二次方程，列函數(shù)關(guān)系式，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．25．如圖，矩形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)移動（不與點(diǎn)、重合），一直到達(dá)點(diǎn)為止；同時，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)移動（不與點(diǎn)、重合）．（1）若點(diǎn)、均以的速度移動，經(jīng)過多長時間四邊形為菱形？（2）若點(diǎn)為的速度移動，點(diǎn)以的速度移動，經(jīng)過多長時間為直角三角形？【解析】解：（1