第十二章全等三角形章節(jié)復(fù)習(xí)（教學(xué)設(shè)計(jì)）2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊系列（人教版）

第十二章全等三角形章節(jié)復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)：1.全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對應(yīng)元素；2.掌握全等三角形的判定條件，并能進(jìn)行簡單的證明和計(jì)算，掌握綜合法證明的格式；3.掌握角平分線的性質(zhì)及判定，能利用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì)，會(huì)利用角的平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明.二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：全等三角形判定、性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)和判定，建立本章知識(shí)結(jié)構(gòu).難點(diǎn)：運(yùn)用全等三角形的知識(shí)解訣問題.三、教學(xué)過程：知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)梳理一、全等三角形能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等圖形，能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.全等的表示方法：“全等”用符號(hào)“≌”表示，讀作“全等于”.注意：記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上.把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角.二、全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等.幾何符號(hào)語言：∵△ABC≌△A1B1C1∴AB=A1B1，AC=A1C1，BC=B1C1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1三、三角形全等的判定方法基本事實(shí)---“邊邊邊”判定方法三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.(“邊邊邊”或“SSS”)幾何符號(hào)語言：在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).基本事實(shí)---“邊角邊”判定方法兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”).幾何符號(hào)語言：在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).基本事實(shí)---“角邊角”判定方法兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡寫成“角邊角”或“ASA”).幾何符號(hào)語言：在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).“角角邊”判定方法:兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡寫成“角角邊”或“AAS”).定理應(yīng)用格式：在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(AAS).直角三角形“HL”判定方法斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等(可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).注意：(1)“HL”定理是僅適用于Rt△的特殊方法.因此，判定兩個(gè)直角三角形全等的方法除了可以使用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”外還可以使用“HL”.(2)應(yīng)用HL定理時(shí)，雖只有兩個(gè)條件，但必須先有兩個(gè)Rt△.書寫格式為：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).四、角平分線的性質(zhì)與判定1.角平分線的性質(zhì)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.幾何語言：∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴PD=PE2.角的平分線的判定角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.幾何語言：∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.(或∠1=∠2)考點(diǎn)解析考點(diǎn)一：全等三角形的性質(zhì)例1.如圖△ABC≌△ADE，∠CAD=10°，∠B=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度數(shù)．解:∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∵∠EAB=120°，∠CAD=10°，∠B=25°，∴∠D=∠B=25°， ∠DAE=∠BAC=12(∠EAB-∠CAD)=12∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠CAD+∠CAB＋∠B=10°+55°＋25°=90°，∴∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°，∴∠DFB=90°,∠DGB=65°.例2．如圖，銳角△ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于點(diǎn)F．若∠BAC=40°，則∠BFC的大小是（）A．105° B．110° C．100° D．120°【分析】解：如圖延長C′D交AB′于H．∵△AEB≌△AEB′，∴∠ABE＝∠AB′E，∵C′H∥EB′，∴∠AHC′＝∠AB′E，∴∠ABE＝∠AHC′，∵△ADC≌△ADC′，∴∠C′＝∠ACD，∵∠BFC＝∠DBF＋∠BDF，∠BDF＝∠CAD＋∠ACD，∴∠BFC＝∠AHC′＋∠C′＋∠DAC，∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°，∴∠C′AH＝120°，∴∠C′＋∠AHC′＝60°，∴∠BFC＝60°＋40°＝100°，故選：C．例3．已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(2，0)，(2，4)，以A，B，P為頂點(diǎn)的三角形與全等，點(diǎn)P與點(diǎn)O不重合，寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)：___________．【詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，，由題意，分以下兩種情況：（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，，軸，，又，，解得或，則此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)P在x軸上，且，則此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；綜上，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或，故答案為：或或．【遷移應(yīng)用】【1-1】如圖，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置．(1)若∠B=30°，∠F=45°，求∠A的度數(shù)；(2)若BF=10，EC=4，求平移的距離．解：（1）由平移可知△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠F=45°，∴∠A=180°-∠B-∠ACB=105°.(2)由平移可知△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∴BC-EC=EF-EC，∴BE=CF=12(BF-EC)=3∴平移的距離BE為3．【1-2】如圖，已知ABC中，AB＝AC＝16cm，∠B＝∠C，BC＝10cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以1厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．若當(dāng)BPD與CQP全等時(shí)，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)速度可能為_____厘米/秒．故答案為：1或．【1-3】如圖，已知長方形ABCD的邊長AB=20cm，BC=16cm，點(diǎn)E在邊AB上，AE=6cm，如果點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)在線段BC上以2cm/s的速度向點(diǎn)C向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上從點(diǎn)C到點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．則當(dāng)時(shí)間t為（

）s時(shí)，能夠使△BPE與△CQP全等．A．1 B．1或4 C．1或2 D．3答案：B考點(diǎn)二：全等三角形的判定例4.如圖，點(diǎn)P是AB上任意一點(diǎn)，∠ABC=∠ABD，還應(yīng)補(bǔ)充一個(gè)條件，才能推出△APC≌△APD．從下列條件中補(bǔ)充一個(gè)條件，不一定能推出△APC≌△APD的是(

)A．BC=BDB．AC=ADC．∠ACB=∠ADB D．∠CAB=∠DAB【詳解】解：A、補(bǔ)充BC=BD，先證出△BPC≌△BPD，后能推出△APC≌△APD，故正確，不符合題意；B、補(bǔ)充AC=AD，不能推出△APC≌△APD，故錯(cuò)誤，符合題意；C、補(bǔ)充∠ACB=∠ADB，先證出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正確，不符合題意；D、補(bǔ)充∠CAB=∠DAB，先證出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正確，不符合題意．故選B．例5.如圖，，．求證：（1）；（2）．證明：（1）∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）∵，∴，在和中，，∴，∴．例6.如圖，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC與DE相交于點(diǎn)F，連結(jié)CD、BE．（1）請你找出圖中其他的全等三角形；（2）試證明CF＝EF．解：（1）圖中其它的全等三角形為：①△ACD≌△AEB，②△DCF≌△BEF；①∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，∵∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，∴∠DAC＝∠BAE，在△ADC和△ABE中，∵AC＝AE，AD＝AB，∠DAC＝∠BAE，∴△ADC≌△ABE（SAS）；②∵Rt△ABC≌Rt△ADE，△ADC≌△ABE，∴∠ACB＝∠AED，∠ACD＝∠AEB，DC=BE，∴∠DCF＝∠BEF，在△DCF和△BEF中，∵∠CFD＝∠EFB，∠DCF＝∠BEF，DC=BE，∴△CDF≌△EBF（AAS）．（2）∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD，∴∠CAB﹣∠DAB＝∠EAD﹣∠DAB．即∠CAD＝∠EAB．∴△CAD≌△EAB（SAS），∵Rt△ABC≌Rt△ADE，△ADC≌△ABE，∴∠ACB＝∠AED，∠ACD＝∠AEB，DC=BE，∴∠DCF＝∠BEF，在△DCF和△BEF中，∵∠CFD＝∠EFB，∠DCF＝∠BEF，DC=BE，∴△CDF≌△EBF（AAS），∴CF＝EF．【遷移應(yīng)用】【2-1】如圖，已知∠B＝∠DEC，AB＝DE，要推得△ABC≌△DEC；（1）若以“SAS”為依據(jù)，還缺條件______________；（2）若以“ASA”為依據(jù)，還缺條件__________________；（3）若以“AAS”為依據(jù)，還缺條件________________________________.答案：（1）BC=EC；（2）∠A=∠EDC（3）∠ACB=∠DCE(或∠ACD=∠BCE)【2-2】如圖，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，BE，CD交于點(diǎn)0，且AO平分∠BAC，那么圖中全等三角形共有______對.答案：4【2-3】如圖，在△ABC和△ADE中，B，E，C,F在同一直線上，下面有四個(gè)條件，請你在其中選3個(gè)作為題設(shè),余下的1個(gè)作為結(jié)論，寫一個(gè)真命題，并加以證明.①AB=DE，②AC=DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF.己知:____________(填序號(hào))，求證:____________(填序號(hào))答案：①②④─③證明:∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF，在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ABC=∠DEF，①③④─②證明:∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF，在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴AC=DF.考點(diǎn)三：全等三角形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用例7.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)E,EF∥BC交AC于點(diǎn)F,求證：∠DEC=∠FEC.證明：∵CE⊥AD,∴∠AGE=∠AGC=90°.∵AD平分∠BAC,∴∠EAG=∠CAG，.在△AGE和△AGC中，∴△AGE≌△AGC(ASA)，∴GE=GC.在△DGE和△DGC中，∴△DGE≌△DGC(SAS).∴∠DEG=∠DCG.∵EF//BC,∴∠FEC=∠ECD，∴∠DEG=∠FEC.【點(diǎn)睛】利用全等三角形證明角相等，首先要找到兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形，看它們?nèi)鹊臈l件夠不夠；有時(shí)會(huì)用到等角轉(zhuǎn)換，等角轉(zhuǎn)換的途徑很多，如：余角，補(bǔ)角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等，必要時(shí)要想到添加輔助線.例8.如圖，在中，是高，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，，，M，N分別是，上的點(diǎn)，且；(1)試說明：；(2)探索和的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（1）證明：∵是的高，∴．在和中，，，，∴．（2）且．理由如下：∵，∴．在和中，，，，∴．∴，．∴，即．例9.在四邊形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長線上一點(diǎn)，且CE=BF．(1)試說明：DE=DF：(2)在圖中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論．(3)若題中條件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時(shí)，（2）中結(jié)論仍然成立？(1)證明：，，，，又，，在和中，，．(2)解：如圖，連接，猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系為：．證明：在和中，，，，又，，，由（1），可得，，，即，，在和中，，，又，，；(3)解：要使仍然成立，則，即，當(dāng)時(shí)，仍然成立．【遷移應(yīng)用】【3-1】如圖：在中，、分別是、兩邊上的高，在上截取，在的延長線上截取，連結(jié)、．(1)求證：；(2)試判：與的關(guān)系？并說明理由．(1)證明：∵、分別是、兩邊上的高，∴，∴，∴；(2)解：，理由如下：由（1）可知：，∵，，∴（SAS），∴，，∵，∴，∴，即，∴．【3-2】如圖1，，于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，若，．(1)判斷與的關(guān)系是____________．(2)如圖2，若點(diǎn)在線段的延長線上，過點(diǎn)在的另一側(cè)作，并保持，，連接，，，試說明（1）中結(jié)論是否成立，并說明理由．（1）解：垂直且相等，理由如下：∵CD⊥AD，∴∠D=90°，在△EDC與△BAE中，，∴△EDC?△BAE，∴BE=CE，∠DCE=∠AEB∵∠DCE+∠DEC=90°，∴∠DEC+∠AEB=90°，即∠CEB=90°，∴CE⊥BE，∴CE與BE的關(guān)系為：垂直且相等，故答案為：垂直且相等；（2）結(jié)論成立，理由如下：∵CD⊥AD，∴∠D=90°，在△EDC與△BAE中，，∴△EDC?△BAE，∴BE=CE，∠DCE=∠AEB∵∠DCE+∠DEC=90°，∴∠DEC+∠AEB=90°，即∠CEB=90°，∴CE⊥BE，∴CE與BE的關(guān)系為：垂直且相等．【3-3】如圖，已知凸五邊形中，，為其對角線，，(1)如圖，若，在五邊形的外部，作，（不寫作法，只保留作圖痕跡），并說明點(diǎn)，，三點(diǎn)在同一直線上；(2)如圖，若，，且，求證：平分．(1)解：如圖作，∵，∴，∴，∵，∴，∴，點(diǎn)在同一直線上，(2)延長到，使得，連接，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，即平分.考點(diǎn)四：利用全等三角形解決實(shí)際問題例10．如圖，小明和小華家中間隔了一個(gè)辦公樓，他們想要測量自己家對面辦公樓的高，小明在自家陽臺(tái)A處測得辦公樓頂部O的仰角，小華在自家陽臺(tái)B處測得辦公樓頂部O的仰角．已知C，M，D三點(diǎn)共線，且．試求辦公樓的高度．解：過點(diǎn)A作AE⊥OM，過點(diǎn)B作BF⊥OM，如圖所示，∵OA⊥OB，AE⊥OM，BF⊥OM，∴∠AOB=∠AEO=∠BFO=90°，∴∠BOF+∠2=90°，∠AOE+∠BOF=90°，∴∠2=∠AOE，在?AOE與?BOF中，，∴?AOE??BOF∴OE=BF，AE=OF，設(shè)OM=x，則OE=OM-EM=OM-AC=x-10，∴BF=OE=x-10，∵OF=OM-FM=OM-BD=x-3，∴AE=CM=CD-MD=CD-BF=17-(x-10)，17-（x-10）=x-3，解得：x=15，即OM=15m．【遷移應(yīng)用】【4-1】如圖，兩根長均為12米的繩子一端系在旗桿上，旗桿與地面垂直，另一端分別固定在地面上的木樁上，兩根木樁離旗桿底部的距離相等嗎？解：相等，理由如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ADB和Rt△ADC中，∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL).∴BD=CD.【4-2】如圖，有一湖的湖岸在A、B之間呈一段圓弧狀，A、B間的距離不能直接測得．你能用已學(xué)過的知識(shí)或方法設(shè)計(jì)測量方案，求出A、B間的距離嗎？解：要測量A、B間的距離，可用如下方法：過點(diǎn)B作AB的垂線BF，在BF上取兩點(diǎn)C、D，使CD=BC，再作出BF的垂線DE，使A、C、E在一條直線上，∵∠ACB=∠ECD，CB=CD，∠ABC=∠EDC，∴△EDC≌△ABC（ASA）．∴DE=BA．答：測出DE的長就是A、B之間的距離．【4-3】如圖是小明和爸爸媽媽在公園里蕩秋千的示意圖，小明坐在秋千的起始位置A處，與地面垂直，小明兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面高的處接住他后用力一推，爸爸在處接住他．若媽媽與爸爸到的水平距離，分別為和，且．（1）與全等嗎？請說明理由．（2）爸爸是在距離地面多高的地方接住小明的？（1）根據(jù)題意，得，∴，∵∴∴∴∴；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，得∴，∴∵媽媽在距地面高的處接住他∴爸爸接住小明的地方，距離地面高度為：．考點(diǎn)五：角平分線的性質(zhì)與判定例11.如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC，求證:(1)AM平分∠DAB;(2)AD=AB+CD.證明:(1)作MN⊥AD于N.∵DM平分∠ADC，且MC⊥CD，MN⊥AD，∴CM=MN，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴CM=MB，∴MN=MB，∵M(jìn)B⊥BA，MN⊥AD，且MN=MB，∴AM平分∠DAB.(2)由(1)得MC=MN,MB=MN，在Rt△MCD和Rt△MND中，∴Rt△MCD≌Rt△MND(HL)，∴CD=ND，同理可得AB=AN，∵AD=AN+ND，∴AD=AB+CD.例12.如圖，OB平分∠MON，A為OB的中點(diǎn)，AE⊥ON于點(diǎn)E，AE＝4，D為OM上一點(diǎn)，BC∥OM交DA的延長線于點(diǎn)C，則CD的最小值為______.解析：∵BC∥OM，∴∠B＝∠DOA．∵A為OB的中點(diǎn)，∴AB＝AO.∵∠BAC＝∠DAO，∴△ABC≌△AOD(ASA)．∴AC＝AD．∴CD＝2AD．∴當(dāng)AD有最小值時(shí)，CD有最小值．∴當(dāng)AD⊥OM時(shí)，AD有最小值．∵OB平分∠MON，AE⊥ON，AD⊥OM，∴AD＝AE＝4.∴CD的最小值為8.例13.如圖,∠1=∠2,點(diǎn)P為BN上的一點(diǎn),∠PCB+∠BAP=180°,求證:PA=PC.證明：過點(diǎn)P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分別為E,F.∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分別為E,F.∴PE=PF,∠PEA=∠PFC=90°.