二元一次方程與一次函數(shù)

北師大版八年級(jí)上第五章《二元一次方程與一次函數(shù)》x+y=5這是什么？一次函數(shù)這是怎么回事？二元一次方程同學(xué)的爭論方程x+y=5可以轉(zhuǎn)化為任意一個(gè)二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化成y=kx+b的形式,所以每個(gè)二元一次方程都對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù).歸納:思考：是不是任意的二元一次方程都能進(jìn)行這樣的轉(zhuǎn)換呢？y=5-x想一想：2．點(diǎn)(0,5),

(5,0),

(2,3)在一次函數(shù)y=-x+5的圖象上嗎？３．在一次函數(shù)y=-x+5的圖象上任取一點(diǎn)，它的坐標(biāo)適合方程x+y=5嗎？二元一次方程與一次函數(shù)無數(shù)個(gè)都是都在適合相同４．以方程x+y=5的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y=-x+5的圖象相同嗎？5的解有多少個(gè)?y1.方程x=+以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象上;一次函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合對(duì)應(yīng)的二元一次方程.一．二元一次方程與一次函數(shù)的圖象關(guān)系１．解方程組答案：做一做2．上述方程移項(xiàng)變形轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)和在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)分別作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象．yx04123554321-1-2

第一支：在圖象上取兩點(diǎn)（0,5)，(5,0)．

第二支：在圖象上取兩點(diǎn)（0.5,0)，(0,-1)．

３．方程組的解和這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)有什么關(guān)系(2,3)答案：１．方程組的解是對(duì)應(yīng)的兩條直線的 交點(diǎn)坐標(biāo).２．兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是對(duì)應(yīng)的方程組的解.二．方程組和對(duì)應(yīng)的兩條直線的關(guān)系x321-1-2y-22-1013三．二元一次方程組與對(duì)應(yīng)的平行直線的關(guān)系在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，一次函數(shù)y=x+1

和

y=x-2

的圖象（教材124頁圖5-2）有怎樣的位置關(guān)系？想一想方程組解的情況如何？你發(fā)現(xiàn)了什么？1.兩直線 和

當(dāng)

平行于

時(shí)，則；反之也成立。2.方程組 ,當(dāng)時(shí)，方程組無解；反之也成立。補(bǔ)充練習(xí)：1．已知一次函數(shù)y=3x-1與y=2x圖象的交點(diǎn)是（1，2），求方程組的解。２．有一組數(shù)同時(shí)適合方程x+y=2和x+y=5

嗎？直線y=2-x與y=5-x之間有什么關(guān)系？３．求兩條直線y=3x-2與y=-2x+4和x軸所圍成的三角形的面積.答案：-2-1432121yx４．如圖，兩條直線 的交點(diǎn)坐標(biāo)可以看作哪個(gè)方程組的解？答案：３-１2-3xy0例：用作圖象的方法解方程組{x-2y=-22x-y=2解：由x-2y=-2可得y=0.5x+1由2x-y=2可得y=2x-2在同一直角坐標(biāo)系中作出y=0.5x+1的圖象L1

和y=2x-2的圖象L2，如圖03-2xy-23所以方程組的解為{x-2y=-22x-y=2{x=2y=2觀察圖象，得L1，L2的交點(diǎn)P（2，2）L2L1P三．解二元一次方程組的新方法——圖象法你能上題過程中總結(jié)出用圖象的方法解二元一次方程組的步驟嗎？1）把二元一次方程化成一次函數(shù)的形式2）在直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)一次函數(shù)的圖象，并標(biāo)出其交點(diǎn)。3）交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解例2如圖，直線 的交點(diǎn)坐標(biāo)是＿＿.xy-22-1013321-1-2xy-22-1013321-1-2xy-22-1013xy-22-1013321-1-2補(bǔ)充練習(xí)：(A)4(B)5(C)6(D)7C1-9你一定能行的！做一做1、一次函數(shù)y=5-x與y=2x-1圖象的交點(diǎn)為(2,3),則方程組的解為

.2、若二元一次方程組的解為,則函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為

.（2，2）課堂小結(jié)：二元一次方程和一次函數(shù)的圖象的關(guān)系以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象上.一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合對(duì)應(yīng)的二元一次方程.方程組和對(duì)應(yīng)的兩條直線的關(guān)系方程組的是對(duì)應(yīng)的兩條直線的兩條線的是對(duì)應(yīng)的方程組的解交點(diǎn)坐標(biāo).交點(diǎn)坐標(biāo)解.解二元一次方程組的方法代入消元法加減消元法函數(shù)圖象法

要強(qiáng)調(diào)的是由于作圖的不準(zhǔn)確性，由圖象法求得的解是近似解.有一組數(shù)同時(shí)適合方程x+y=2

和x+y=5嗎？即方程組有解嗎？x+y=2x+y=5一次函數(shù)y=-x+2和y=-x+5圖象之間有何關(guān)系？你發(fā)現(xiàn)了什么？

當(dāng)幾個(gè)一次函數(shù)中的k相同時(shí),函數(shù)的圖象互相平行，兩條直線沒有交點(diǎn),并且相應(yīng)的二元一次方程組也無解.因此,沒有一組數(shù)同時(shí)適合方程x+y=2和x+y=5.

1、二元一次方程組無解兩條直線互相平行(沒有交點(diǎn))2、二元一次方程組一組解兩條直線相交（一個(gè)交點(diǎn)）3、二元一次方程組無數(shù)解兩條直線重合(無數(shù)個(gè)交點(diǎn))1、方程組有

個(gè)解；2、方程組有

個(gè)解；3、方程組有

個(gè)解；0無數(shù)一想一想：從函數(shù)角度解釋：二元一次方程和一次函數(shù)（二）北師大版八年級(jí)上第七章第六節(jié)回顧與思考二元一次方程組有哪些解法？

消元法二元一次方程組與一次函數(shù)有何聯(lián)系?

二元一次方程組的解是它們對(duì)應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)；反之，兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)也是它們所對(duì)應(yīng)的二元一次方程組的解．正因如此，方程問題可以通過函數(shù)知識(shí)來解決，反之，函數(shù)問題也可以通過方程知識(shí)來解決.圖象法是一種代數(shù)方法對(duì)應(yīng)二元一次方程的解

一次函數(shù)的圖象上的點(diǎn)二元一次方程組的解與以這兩個(gè)方程所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)。寫函數(shù)，作圖象，找交點(diǎn)，下結(jié)論

二元一次方程組的圖象解法:議一議：

A，B兩地相距100千米，甲、乙兩人騎自行車分別從A，B兩地相向而行．假設(shè)他們都保持勻速行駛，則他們各自到A地的距離s(千米)都是騎車時(shí)間t(時(shí))的一次函數(shù).1小時(shí)后乙距A地80千米;2小時(shí)后甲距A地30千米.問：經(jīng)過多長時(shí)間兩人相遇?

議一議：

A，B兩地相距100千米，甲、乙兩人騎自行車分別從A，B兩地相向而行．假設(shè)他們都保持勻速行駛，則他們各自到A地的距離s(千米)都是騎車時(shí)間t(時(shí))的一次函數(shù).1小時(shí)后乙距A地80千米;2小時(shí)后甲距A地30千米.問：經(jīng)過多長時(shí)間兩人相遇?

直線型圖表示B乙甲A80千米2時(shí),30千米1時(shí)

A，B兩地相距100千米，甲、乙兩人騎自行車分別從A，B兩地相向而行．假設(shè)他們都保持勻速行駛，則他們各自到A地的距離s(千米)都是騎車時(shí)間t(時(shí))的一次函數(shù).

1時(shí)后乙距A地80千米,

2時(shí)后甲距A地30千米.問經(jīng)過多長時(shí)間兩人相遇?用圖象法解行程問題你明白他的想法嗎？用他的方法做一做!2.8圖象表示(A)04123t/時(shí)s/千米12010080604020(B)可以分別作出兩人s與t之間的關(guān)系圖象，找出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就行了！小明

A，B兩地相距100千米，甲、乙兩人騎自行車分別從A，B兩地同時(shí)相向而行．假設(shè)他們都保持勻速行駛，則他們各自到A地的距離s(千米)都是騎車時(shí)間t(時(shí))的一次函數(shù).1時(shí)后乙距A地80千米,2時(shí)后甲距A地30千米.問經(jīng)過多長時(shí)間兩人相遇?用方程解行程問題小彬1時(shí)后乙距A地80千米,即乙的速度是20千米/時(shí),2時(shí)后甲距A地30千米,故甲的速度是15千米/時(shí),由此可求出甲、乙兩人的速度和……你明白他的想法嗎？用他的方法做一做!t=

A，B兩地相距100千米，甲、乙兩人騎自行車分別從A，B兩地相向而行.假設(shè)他們都保持勻速行駛，則他們各自到A地的距離s(千米)都是騎車時(shí)間t(時(shí))的一次函數(shù).1時(shí)后乙距A地80千米;2時(shí)后甲距A地30千米.問經(jīng)過多長時(shí)間兩人相遇?求出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立解方程組你明白他的想法嗎？用他的方法做一做!

對(duì)于乙，s是t的一次函數(shù)，可設(shè)s=kt+b.當(dāng)t=0時(shí)，s=100；當(dāng)t=1時(shí)，s=80.將它們分別代入s=kt+b中，可以求出k，b的值，也即可以求出乙s與t之間的函數(shù)表達(dá)式.同樣可求出甲s與t之間的函數(shù)表達(dá)式.再聯(lián)立這兩個(gè)表達(dá)式，求解方程組就行了.小穎提示消去s用一元一次方程的方法可以解決問題用圖象法可以解決問題用方程組的方法可以解決問題小明小彬小穎

用作圖象的方法可以直觀地獲得問題的結(jié)果，但有時(shí)卻難以準(zhǔn)確，為了獲得準(zhǔn)確的結(jié)果，我們一般用代數(shù)方法.在以上的解題過程中你受到什么啟發(fā)？例2某長途汽車客運(yùn)站規(guī)定，乘客可以免費(fèi)攜帶一定質(zhì)量的行李，但超過該質(zhì)量則需購買行李票，且行李費(fèi)y（元）是行李質(zhì)量x（千克）的一次函數(shù)．現(xiàn)知李明帶了60千克的行李，交了行李費(fèi)5元；張華帶了90千克的行李，交了行李費(fèi)10元．（1）寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）旅客最多可免費(fèi)攜帶多少千克的行李？解：（1）設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+b（k≠0).根據(jù)題意，可得方程組

解得（2）當(dāng)x=30時(shí)，y=0.所以旅客最多可免費(fèi)攜帶30千克的行李．例3

某市自來水公司為鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，采取按月用水量分段收費(fèi)辦法，若某戶居民應(yīng)交水費(fèi)y（元）與用水量x（噸）的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

OY(元)X(噸)15202739(1)分別寫出當(dāng)0≤x≤15和x＞15時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)若某用戶十月份用水量為10噸，則應(yīng)交水費(fèi)多少元？若該用戶十一月份交了51元的水費(fèi)，則他該月用水多少噸？解：（1）當(dāng)0≤x≤15時(shí)，設(shè)y=kx，根據(jù)題意，可得方程27=15k，解得當(dāng)x＞15時(shí)，設(shè)y=mx+n，根據(jù)題意，可得方程組解得（2）當(dāng)x=10時(shí)（10＜15），代入①中可得y=18；當(dāng)y=51時(shí)（51＞27），代入②中可得x=25．①12②9x5y-=\３．求兩條直線y=3x-2與y=-2x+4和ｘ軸所圍成的三角形的面積.答案：這節(jié)課你有什么收獲？利用二元一次方程組求一次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟：1.用含字母的系數(shù)設(shè)出一次函數(shù)的表達(dá)式：