時間序列分析的基本概念

時間序列分析的基本概念第一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六本章結構隨機過程基礎概念和基本理論介紹平穩(wěn)過程的特征線性差分方程時間序列數據的預處理2第二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六隨機過程描述在對某些隨機現(xiàn)象的變化過程進行研究時，需要考慮無窮多個隨機變量，必須用一簇隨機變量才能刻畫這種隨機現(xiàn)象的全部統(tǒng)計特征，這樣的隨機變量族通常稱為隨機過程。例子：隨機游動(或游走)模型，Brown運動等等3第三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六設X1,X2,…是一列獨立同分布的隨機變量序列，令

Sn=S0+X1+X2+…+Xn則稱隨機變量序列{Sn；n=0,1,…}為隨機游動。其中S0是與X1,X2,…相互獨立(但是不同分布)的隨機變量，一般地，我們總是假定S0=0。如果P(Xn=1)=P(Xn=-1)=1/2就是一般概率論與數理統(tǒng)計教材中提到的簡單隨機游動。隨機游動4第四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六設{X(t)，t∈T}是一個隨機過程均值函數協(xié)方差函數方差函數隨機過程的特征統(tǒng)計量第五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程：隨機過程處于某種平穩(wěn)狀態(tài)，其主要性質與變量之間的時間間隔有關，而與所考察的起始點無關。平穩(wěn)過程的分類：嚴平穩(wěn)寬平穩(wěn)6第六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六嚴平穩(wěn)是一種條件比較苛刻的平穩(wěn)性定義，它認為只有當過程所有的統(tǒng)計性質都不會隨著時間的推移而發(fā)生變化時，該隨機過程才能被認為平穩(wěn)。定義：有限維分布關于時間是平移不變的設隨機過程{X(t)，t∈T}對任意的t1,…,tn∈T和任意的h有(X(t1+h),X(t2+h),…,X(tn+h))和(X(t1),X(t2),…,X(tn))具有相同的聯(lián)合分布，記為(X(t1+h),X(t2+h),…,X(tn+h))=(X(t1),X(t2),…,X(tn))則稱過程{X(t)，t∈T}是嚴平穩(wěn)的。嚴平穩(wěn)(strictlystationary)第七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六寬平穩(wěn)是使用隨機過程的特征統(tǒng)計量來定義的一種平穩(wěn)性。它認為隨機過程的統(tǒng)計性質主要由它的低階矩決定，所以只要保證低階矩平穩(wěn)(二階)，就能保證隨機過程的主要性質近似穩(wěn)定。定義：滿足如下條件的隨機過程{X(t)，t∈T}稱為寬平穩(wěn)過程，簡稱平穩(wěn)過程?！咀ⅰ咳鬞是離散集，則稱平穩(wěn)過程{X(t)}為平穩(wěn)序列{Xn}。寬平穩(wěn)(weaklystationary)第八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關系區(qū)別：寬平穩(wěn)對時間推移的不變性表現(xiàn)在統(tǒng)計平均的一、二階矩上，對于高于二階的矩沒有任何要求；嚴平穩(wěn)對時間推移的不變性表現(xiàn)在統(tǒng)計平均的概率分布上，以保證序列所有的統(tǒng)計特征都相同；兩者的要求不同，一般說來，嚴平穩(wěn)比寬平穩(wěn)要求要“嚴”。第九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關系聯(lián)系：嚴寬：因為寬平穩(wěn)要求期望和協(xié)方差都存在，而嚴平穩(wěn)要求概率分布存在，并不斷言一二階矩存在。而服從柯西分布的嚴平穩(wěn)序列就不是寬平穩(wěn)序列，因為它的一、二階矩均不存在；寬嚴：不言而喻；嚴平穩(wěn)+二階矩存在寬平穩(wěn)，但反過來一般不成立；對于正態(tài)過程來說，有嚴平穩(wěn)寬平穩(wěn)。在實際應用中，研究最多的還是看寬平穩(wěn)時間序列。第十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六寬平穩(wěn)是使用隨機過程的特征統(tǒng)計量來定義的一種平穩(wěn)性。它認為隨機過程的統(tǒng)計性質主要由它的低階矩決定，所以只要保證低階矩平穩(wěn)(二階)，就能保證隨機過程的主要性質近似穩(wěn)定。定義：滿足如下條件的隨機過程{X(t)，t∈T}稱為寬平穩(wěn)過程，簡稱平穩(wěn)過程?！咀ⅰ咳鬞是離散集，則稱平穩(wěn)過程{X(t)}為平穩(wěn)序列{Xt}。寬平穩(wěn)(weaklystationary)第十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六平穩(wěn)時間序列{Xt}的統(tǒng)計性質常數均值：(自)協(xié)方差函數只依賴于時間的平移長度,而與時間的起止點無關：

延遲k自協(xié)方差函數：

常數方差：第十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六規(guī)范性：對稱性：非唯一性：一個平穩(wěn)序列唯一決定了它的自相關函數，但一個自相關函數未必唯一對應著一個平穩(wěn)序列。自相關系數延遲k自相關系數：反映序列Xt在時刻t和t+k時的線性相關性。非負定性：第十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六平穩(wěn)過程的遍歷性如果均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的均值和相關函數都具有各態(tài)歷經性(隨機過程的時間平均等于過程的統(tǒng)計平均)，則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經性或遍歷性。難點：在實際問題中，要嚴格驗證平穩(wěn)過程是否滿足遍歷性的條件是比較困難的。遍歷性的理論意義：一個遍歷的寬平穩(wěn)過程，可用任意一個樣本函數的時間平均代替平穩(wěn)過程的統(tǒng)計平均。第十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六純隨機過程定義：如果隨機過程X(t)是由一個不相關的隨機變量序列構成，即對于所有s≠t，隨機變量Xs和Xt的協(xié)方差均為零，即隨機變量Xs和Xt互不相關，則稱其為純隨機過程。純隨機性：

各序列值之間沒有任何相關關系，即為“沒有記憶”的序列，序列在進行完全無序的隨機波動。

------------不需要建模第十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六白噪聲過程定義：期望和方差都為常數的純隨機過程稱為白噪聲過程。白噪聲序列(Whitenoise)：白噪聲過程的樣本實現(xiàn)。若εt滿足則稱{εt}是一個白噪聲序列，記為第十六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六標準正態(tài)白噪聲序列時序圖

均值為零方差為常數純隨機性第十七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六線性差分方程一階差分方程p階差分方程放到第三章去講第十八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六時間序列數據的預處理動態(tài)隨機數據：具有動態(tài)隨機變化特征的數據時間序列方法的對象：平穩(wěn)的非純隨機的時間序列預處理：平穩(wěn)性檢驗正態(tài)性檢驗獨立性檢驗離群點的檢驗與處理第十九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六時間序列的平穩(wěn)性是時間序列建模的重要前提。檢驗的對象：序列是否具有常數均值和常數方差？序列的自相關函數是否僅與時間間隔有關，而與時間的起止點無關？檢驗的方法：平穩(wěn)性的參數檢驗法平穩(wěn)性的非參數檢驗法時序圖檢驗法平穩(wěn)性檢驗第二十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六檢驗的方法：平穩(wěn)性的參數檢驗法比較麻煩平穩(wěn)性的非參數檢驗法-----游程檢驗法可用SPSS軟件計算Analyze→NonparametricTests→Runs∣Z∣≤1.96，則該時間序列平穩(wěn)。時序圖檢驗法平穩(wěn)序列的均值和方差為常數，故其時序圖應該在一個常數值附近隨機波動，且波動的范圍有界、無明顯趨勢及周期特征。平穩(wěn)性檢驗第二十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六1994年1月1日-1995年12月31日香港環(huán)境數據序列：(c)表示二氧化氮的日平均水平；(d)表示可吸入的懸浮顆粒物的日平均水平。第二十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六背景：時間序列模型是有時建立在具有正態(tài)分布特性的白噪聲基礎之上。因此，需要檢驗采集的數據是否具有正態(tài)特性。檢驗方法：χ2擬合優(yōu)度檢驗比較麻煩J-B統(tǒng)計量及相伴概率P相伴概率P>0.05，接受原假設，認為序列服從正態(tài)分布。正態(tài)性檢驗第二十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六獨立性檢驗即為純隨機性檢驗Bartlett定理：如果一個時間序列是純隨機的，得到一個觀察期數為n

的觀察序列，那么該序列的延遲非零期的樣本自相關系數將近似服從均值為零，方差為序列觀察期數倒數的正態(tài)分布第二十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六獨立性檢驗Bartlett定理：原假設：延遲期數小于或等于m期的序列值之間相互獨立檢驗統(tǒng)計量：Q統(tǒng)計量：Box和Pierce共同推導出

LB統(tǒng)計量：Box和Ljung共同推導出結論：當統(tǒng)計量的相伴概率P>0.05時，接受原假設，認為序列為純隨