高三開學(xué)收心考試模擬卷

高三開學(xué)收心考試模擬卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測試范圍：高中數(shù)學(xué)全部內(nèi)容5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．集合，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，所以，故．故選：B2．已知i為虛數(shù)單位，若是實(shí)數(shù)，則（）A．2B．-2C．D．【答案】C【解析】．因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，解得，所以．故選：C3．已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根據(jù)題目所給的函數(shù)解析式，可知函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，解得．故選：B4．已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，邊化角得，又，所以，展開得，所以，因?yàn)?，所以．故選：B．5．已知，且，則向量夾角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)向量的夾角為，因?yàn)?，所以．故選：B．6．漸進(jìn)式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長退休年齡，該方案將從正式實(shí)施開始每年延長幾個(gè)月的退休時(shí)間，直到達(dá)到法定退休年齡．男性延遲退休的的年齡情況如表所示：出生年份退休年齡出生年份退休年齡出生年份退休年齡196160．00196861．75197563．50196260．25196962．00197663．75196360．50197062．25197764．00196460．75197162．50197864．25196561．00197262．75197964．50196661．25197363．00198064．75196761．50197463．25198165．00若出生年代為，且，相應(yīng)的退休年齡為，且，則與的關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意，是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，故，是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，故，故故選：C7．已知點(diǎn)F是雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)Q是雙曲線漸近線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：由雙曲線方程可得，點(diǎn)F坐標(biāo)為，將代入雙曲線方程，得，由于點(diǎn)P在第一象限，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)P到雙曲線的漸近線的距離為．Q是雙曲線漸近線上的動(dòng)點(diǎn)，所以的最小值為．故選：B．8．如圖，△ABC為等腰直角三角形，斜邊上的中線AD=3，E為線段BD中點(diǎn)，將△ABC沿AD折成大小為的二面角，連接BC，形成四面體，若P是該四面體表面或內(nèi)部一點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．點(diǎn)P落在三棱錐內(nèi)部的概率為B．若直線PE與平面ABC沒有交點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡與平面ADC的交線長度為C．若點(diǎn)P在平面ACD上，且滿足，則點(diǎn)P的軌跡長度為D．若點(diǎn)P在平面ACD上，且滿足，則線段PB長度為定值【答案】D【解析】如圖示，由題意可知底面BCD，由于E為線段BD中點(diǎn)，故，故P落在三棱錐內(nèi)部的概率為，故A正確；若直線PE與平面ABC沒有交點(diǎn)，則P點(diǎn)在過點(diǎn)E和平面ABC平行的平面上，如圖示，設(shè)CD的中點(diǎn)為F，AD的中點(diǎn)為G，連接EF，F(xiàn)G，EG，則平面EFG平面ABC，則點(diǎn)P的軌跡與平面ADC的交線即為GF，由于△ABC為等腰直角三角形，斜邊上的中線AD=3，故，則，故B正確；若點(diǎn)P在平面ACD上，且滿足，以D為原點(diǎn)，DC，DA為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)，則，即，故P點(diǎn)在平面ADC上的軌跡即為該圓被平面ADC截得的圓?。ㄈ鐖D示），由可得，則，則點(diǎn)P的軌跡長度為，故C正確；由題意可知，故平面ADC，故，由于P在圓弧上，圓心為M，故PD的長不是定值，如上圖，當(dāng)位于N點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)位于T點(diǎn)時(shí)，，故線段PB長度不是定值，D錯(cuò)誤，故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．設(shè)正實(shí)數(shù)m、n滿足，則下列說法正確的是（）A．的最小值為3B．的最大值為1C．的最小值為2D．的最小值為2【答案】ABD【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)m、n，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且m+n=2，即m=n=1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值3，A正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)，mn取得最大值1，B正確；因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)取等號(hào)，故≤2即最大值為2，C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此處取得最小值2，故D正確．故選：ABD10．如圖，若為正六棱臺(tái)，，，則下列說法正確的是（）A．B．平面C．平面D．側(cè)棱與底面所成的角為【答案】BCD【解析】對于A選項(xiàng)，因?yàn)榕c平行，與異面，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，連接，，因?yàn)榱馀_(tái)是正六棱臺(tái)，所以平面，平面，故，又因?yàn)榈酌媸钦呅?，所以，平面，平面，所以平面，即平面，故B正確；對于C選項(xiàng)，設(shè)與交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，，又，所以，即，又，所以是平行四邊形，，平面，平面，所以平面，故C正確；對于D選項(xiàng)，平面，平面為側(cè)棱與底面所成的角，在中，，所以，故D正確．故選：BCD11．已知某商場銷售一種商品的單件銷售利潤為，a，2，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)可得，隨機(jī)變量X的分布列為X0a2Pb其中結(jié)論正確的是（）A．B．若該商場銷售該商品5件，其中3件銷售利潤為0的概率為C．D．當(dāng)最小時(shí)，【答案】ABC【解析】由題意，，，故選項(xiàng)A正確；該商場銷售該商品5件，其中3件銷售利潤為0的概率為，故選項(xiàng)B正確；隨機(jī)變量X的期望值，可知方差，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ABC．12．當(dāng)時(shí)，不等式成立．若，則（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】當(dāng)時(shí)，不等式，令，則在上單調(diào)遞增，因，則，A正確；因，則，B不正確；由知，，有，則，由選項(xiàng)A知，，即，C不正確；由得，，則，D正確．故選：AD第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知直線與曲線相切，則___________．【答案】【解析】解：由，所以設(shè)切點(diǎn)為，則，，消去得，∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，∴，此時(shí)．故答案為：14．隨著北京冬奧會(huì)的開幕，吉祥物“冰墩墩”火遍國內(nèi)外，現(xiàn)有2個(gè)完全相同的“冰墩墩”與甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員隨機(jī)站成一排拍照留念，則2個(gè)“冰墩墩”連在一起的概率為______；【答案】【解析】乙兩位運(yùn)動(dòng)員與2個(gè)“冰墩墩”排成一排的所有排法有種，其中2個(gè)“冰墩墩”連在一起的排法有種，由古典概型的概率公式可得事件2個(gè)“冰墩墩”連在一起的概率，故答案為：．15．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，，以F為圓心且與直線相切的圓的方程為_________．【答案】【解析】根據(jù)拋物線定義，，得，拋物線方程為，，，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離，所求圓方程為．故答案為：．16．已知函數(shù)，其中，，恒成立，且在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______________．【答案】【解析】由已知得：恒成立，則，，由得，由于在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，故，則，，則，只有當(dāng)時(shí)，不等式組有解，此時(shí)，故，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸．17．（10分）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角A；（2）若，求的面積．【解析】（1）由正弦定理得，因?yàn)椋?，所以，化簡得，所以，因?yàn)?，所以．?）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，又，所以，即，解得，則的面積．18．（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【解析】（1）數(shù)列中，，由，可得，又，則數(shù)列是首項(xiàng)為1公差為2的等差數(shù)列，所以，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，則，則數(shù)列的前n項(xiàng)和，∵，∴，∴，∴，∴，∴．19．（12分）如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A1B1上．（1）證明：PN⊥AM；（2）當(dāng)平面PMN與平面ABC所成的銳二面角為45°時(shí)，求平面PMN與側(cè)面A1ACC1的交線長．【解析】（1）由題意兩兩垂直．所以以分別作為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，∴，設(shè)，∴，則，則，所以．（2）設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即令，則，又平面的一個(gè)法向量為，平面與平面所成的銳二面角為時(shí)，∴，即，解得，此時(shí)，如圖位置，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，由且所以與全等，則為中點(diǎn)．連接由分別為中點(diǎn)，則又分別為中點(diǎn)，則，所以所以點(diǎn)共面，又所以共面，即面與面重合．所以平面與側(cè)面的交線為，所以交線長度為20．（12分）某學(xué)校組織“紀(jì)念共青團(tuán)成立100周年”知識(shí)競賽，有A，B，C三類問題，每位參加比賽的同學(xué)需要先選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，只有答對當(dāng)前的問題才有資格從下一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答．A類問題中的每個(gè)問題回答正確得10分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分，C類問題中的每個(gè)問題回答正確得30分，否則得0分．已知小康同學(xué)能正確回答A類問題的概率為0．8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0．6，能正確回答C類問題的概率為0．4，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．（1）若小康按照的順序答題，記X為小康的累計(jì)得分，求X的分布列；（2）相比較小康自選的的答題順序，小康的朋友小樂認(rèn)為按照的順序答題累計(jì)得分期望更大，小樂的判斷正確嗎？并說明理由．【解析】（1）由題可知，X的所有可能取值為0，30，50，60所以X的分布列為X0305060P0．60．160．0480．192（2）由（1）知，．若小康按照順序答題，記Y為小康答題的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0，10，30，60，所以故小樂的判斷正確．21．（12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)（1，）．（1）求橢圓C的方程；（2）動(dòng)直線l：y=x+m與橢圓C相切，點(diǎn)M，N是直線l上的兩點(diǎn)，且F1M⊥l，F(xiàn)2N⊥l，求四邊形F1MNF2的面積；（3）過橢圓C內(nèi)一點(diǎn)T（t，0）作兩條直線分別交橢圓C于點(diǎn)A，C，和B，D，設(shè)直線AC與BD的斜率分別是k1，k2，若|AT|·|TC|=|BT|·|TD|，試問k1+k2是否為定值，若是，求出定值，若不是，說明理由．【解析】（1）由題意可得，將點(diǎn)代入橢圓方程得，解得，即有橢圓方程為；（2）將直線代入橢圓方程可得，，由直線和橢圓相切的條件可得，解得，焦點(diǎn)，由對稱性可取直線，則，，即有四邊形的面積為；（3）可得直線的方程為，聯(lián)立方程，得．設(shè)，則．∵．同理，直線的方程為，則．∵，∴．又T為橢圓內(nèi)任意一點(diǎn)，∴，即，所以，∴．又直線與不重合，∴為定值．22．（12分）已知函數(shù)，其中，且．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，易知在上單調(diào)遞