多項(xiàng)式長(zhǎng)除法精講精練

多項(xiàng)式長(zhǎng)除法是\o"代數(shù)"代數(shù)中的一種算法，用一個(gè)同次或低次的多項(xiàng)式去除另一個(gè)多項(xiàng)式。是常見算數(shù)技巧長(zhǎng)除法的一個(gè)推廣版本。它可以很容易地手算，因?yàn)樗鼘⒁粋€(gè)相對(duì)復(fù)雜的除法問題分解成更小的一些問題。例計(jì)算寫成以下這種形式：然后商和余數(shù)可以這樣計(jì)算：將分子的第一項(xiàng)除以分母的最高次項(xiàng)（即次數(shù)最高的項(xiàng)，此處為x）。結(jié)果寫在橫線之上(x3÷x=x2).將分母乘以剛得到結(jié)果（最終商的第一項(xiàng)），乘積寫在分子前兩項(xiàng)之下(x2·(x?3)=x3?3x2).從分子的相應(yīng)項(xiàng)中減去剛得到的乘積（注意減一個(gè)負(fù)項(xiàng)相當(dāng)于加一個(gè)正項(xiàng)），結(jié)果寫在下面。((x3?12x2)?(x3?3x2)=?12x2+3x2=?9x2)然后，將分子的下一項(xiàng)“拿下來”。重復(fù)前三步，只是現(xiàn)在用的是剛寫作分子的那兩項(xiàng)重復(fù)第四步。這次沒什么可以“拿下來”了。橫線之上的多項(xiàng)式即為商，而剩下的(?123)就是余數(shù)。下面給出多項(xiàng)式加法與乘法：設(shè)是數(shù)域是的多項(xiàng)式。規(guī)定。易驗(yàn)證多項(xiàng)式加法與乘法滿足下列算律： 加法交換律： 加法結(jié)合律： 乘法交換律乘法結(jié)合律乘法對(duì)加法的分配律關(guān)于多項(xiàng)式次數(shù)，我們有定理2設(shè)，是數(shù)域上的兩個(gè)多項(xiàng)式，則當(dāng)+時(shí)+當(dāng)時(shí)證明：略。明顯地利用定理5不難證明推論：若則

一個(gè)三位數(shù)1：三個(gè)數(shù)相加為20。2：百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)大5。3：個(gè)位上的數(shù)是十位上數(shù)的3倍，這個(gè)3位數(shù)是什么？設(shè)十位數(shù)為x，百位數(shù)（x+5），各位3x。相加為20，所以x+x+5+3x=20。所以x=3，也就是839.第五講多項(xiàng)式1.(一、多項(xiàng)式的整除概念)

2.(二、最大公因式)(本頁(yè))

3.(三、多項(xiàng)式的因式分解)

4.(四、重因式五、多項(xiàng)式的函數(shù))

5.(六、復(fù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解)

6.(七、有理數(shù)域上的多項(xiàng)式)如果多項(xiàng)式既是的因式,又是的因式,那么稱為與的公因式.定義3設(shè).如果上多項(xiàng)式滿足以下條件:

(1)是與的公因式;

(2)與的任何公因式都是的因式,

則稱是與的一個(gè)最大公因式.引理如果有等式成立,那么,和,有相同的公因式.由于在上述引理中,我們可得到次數(shù)比的次數(shù)小的.因此求,的最大公因式的問題可轉(zhuǎn)化為求次數(shù)低一些的一對(duì)多項(xiàng)式,的最大公因式的問題.如此下去,這就是下面輾轉(zhuǎn)相除法的思想.定理3數(shù)域上任意兩個(gè)多項(xiàng)式與一定有最大公因式,且除相差一個(gè)非零常數(shù)倍外,與的最大公因式是唯一確定的,且與的任意最大公因式都可以表示成與的一個(gè)組合,即有中的多項(xiàng)式,使得當(dāng)與不全為零時(shí),其最大公因式,而與的任一最大公因式必為的形式,其中為上非零數(shù).在這些最大公因式中有唯一的一個(gè)首項(xiàng)系數(shù)是1,我們用來表示.如果,則最大公因式只有一個(gè)零多項(xiàng)式,記作(0,0)=0.例2設(shè)求,并把它表示成,的一個(gè)組合.解用輾轉(zhuǎn)相除法:第一步:用除,得商,余式.

第二步:用除,得商,余式.

第三步:用除,得商,余式.

最后一個(gè)不為0的余式是,所以最終得:定義4如果的最大公因式,則稱與互素.定理4兩個(gè)多項(xiàng)式互素的充分必要條件是存在,使得證明必要性如果與互素,那么.由定理3,存在,使得充分性.如果令是與的最大公因式.于是從而,.故必為零次多項(xiàng)式.所以與互素.互素多項(xiàng)式的一些性質(zhì)(1)若,且,則.

(2)若,,且,則(提示5.2)我們可以自然地把最大公因式及互素等概念推廣到任意多個(gè)多項(xiàng)式的情況.定義5設(shè)().如果多項(xiàng)式滿足以下兩個(gè)條件:

(1);

(2)的任何公因式都是的因式.則稱是的最大公因式.如果全等于0,則其最大公因式等于0,否則,它們的最大公因式不等于0.與的情況一樣,可知它們的任意兩個(gè)最大公因式只差一個(gè)非零常數(shù)倍.我們?nèi)杂帽硎舅鼈冎惺醉?xiàng)系數(shù)為1的最大公因式.則有定理5該定理告訴我們,求多個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式問題最終可歸結(jié)為求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式問題.例3設(shè),,.求解利用定理5來計(jì)算.由計(jì)算可知所以,.第二章多項(xiàng)式

2.1一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算

2.2多項(xiàng)式的整除性

2.3多項(xiàng)式的最大公因式

2.4多項(xiàng)式的分解

2.5重因式

2.6多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式的根

2.7復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式

2.8有理數(shù)域上多項(xiàng)式返回教案總目錄2．2多項(xiàng)式的整除性一、教學(xué)思考1、在內(nèi)，除法不是永遠(yuǎn)可以施行的，因此關(guān)于多項(xiàng)式的整除性的研究，也就是一個(gè)多項(xiàng)式能否除盡另一個(gè)多項(xiàng)式的研究，在多項(xiàng)式理論中占有重要地位。本節(jié)限于數(shù)域上討論多項(xiàng)式的整除性，其與整數(shù)的整除性類似，注意對(duì)照學(xué)習(xí)。2、多項(xiàng)式的整除性是多項(xiàng)式之間的一種關(guān)系（等價(jià)關(guān)系），為加深對(duì)此概念的理解，需掌握一些特殊多項(xiàng)式（零多項(xiàng)式，零次多項(xiàng)式）間的整除關(guān)系及整除的性質(zhì)。3、數(shù)域上任意兩個(gè)多項(xiàng)式總有帶余除法結(jié)論成立，其證法思想是在中學(xué)代數(shù)中多項(xiàng)式的長(zhǎng)除法的運(yùn)算表示實(shí)質(zhì)的一般化，唯一性用同一法。4、證明的思想可從定義、帶余除法得到的充要條件以及將分解成兩項(xiàng)之和而每一項(xiàng)能被整除，或?qū)⒎蛛x出作為一個(gè)因子來考慮。5、整除性不隨數(shù)域擴(kuò)大而改變是由帶余除法得到的一個(gè)非顯而易見的結(jié)論。二、內(nèi)容、重點(diǎn)、要求1、內(nèi)容：一元多項(xiàng)式整除的定義、性質(zhì)，帶余除法。2、重點(diǎn)：整除的定義、帶余除法定理。3、要求：正確理解掌握整除概念、性質(zhì)，掌握帶余除法定理。三、教學(xué)過程約定：2.2-2.5節(jié)在數(shù)域中討論多項(xiàng)式，是上一元多項(xiàng)式環(huán)。1、多項(xiàng)式的整除及性質(zhì)（1）定義1：設(shè)若使得（1）則稱整除（除盡）；用符號(hào)表示。用符號(hào)表示不整除當(dāng)時(shí)，稱是的一個(gè)因式，是的一個(gè)倍式。注：（1）整除是多項(xiàng)式之間的一種關(guān)系，非多項(xiàng)式的運(yùn)算。（2）符號(hào)“”不要與“”混淆，后者是分式，后者中；而前者中由定義，即零多項(xiàng)式整除零多項(xiàng)式。（3）多項(xiàng)式整除性與整數(shù)的整除性非常相似，而不同的是：在多項(xiàng)式整除定義中，只要求存在適合條件（1）的，不要求是否唯一，這就使得多項(xiàng)式整除比整數(shù)整除有更廣的含義，如在多項(xiàng)式整除意義下。（2）性質(zhì)A）若、，則；（傳遞性）B）若、，則；C）若，則對(duì)有；特別，；D）由B、C若，則對(duì)，有；E）零次多項(xiàng)式整除任一多項(xiàng)式；F）對(duì)，有；特別；（1）本章討論不涉及分式，有時(shí)用表示非零多項(xiàng)式整除所得的商，即若時(shí)，用表示。（2）因在數(shù)域中，一般不絕對(duì)唯一（可差常數(shù)因子）。（3）整數(shù)整除不同。G）若、，則。以上性質(zhì)由定義容易證明，下面僅證G）：由條件，使得（1），則有（2）。若，由（1）得；若，則由（2）及消去律得，于是，從而，；這樣是F中非零常數(shù)。注：1）由A、F、G知“整除關(guān)系”是一種“等價(jià)關(guān)系”；2）B、C提供了證明的兩個(gè)思路：一、要證，若能將表示為，而；二、要證，若能將表示為而或。3）為理解概念、性質(zhì)，注意如下問題：A）（因?qū)?，有）；B）零多項(xiàng)式是否整除任意多項(xiàng)式？若，由A）；若，對(duì)。（可知零多項(xiàng)式僅能整除零多項(xiàng)式）C）任意多項(xiàng)式是否整除零多項(xiàng)式？，使。D）性質(zhì)B之逆是否成立？即若，是否且。（不真。如：）E）性質(zhì)C之逆是否成立？即若，是否或。（不真。如：）2、帶余除法引例：中學(xué)代數(shù)里，用長(zhǎng)除法求一個(gè)多項(xiàng)式去除另一個(gè)多項(xiàng)式得商式及余式。即對(duì)，求使，其中或。如：：作法：今寫為：則商式為，余式為。有上述過程具體可總結(jié)為：第一步：將寫成降冪的形式，缺項(xiàng)補(bǔ)0；第二步：消最高次項(xiàng)（首項(xiàng)）；為此商，作差，得。（第三步：消的首項(xiàng)；為此商，作差，得。（結(jié)束）（1）注意格式，降冪排列，缺項(xiàng)補(bǔ)0。由此，一般地可作如下：設(shè)，令若，設(shè)，同樣消首項(xiàng)，作得，且具有性質(zhì)：或者或者。重復(fù)對(duì)的討論，由于，即，，的次數(shù)是遞減的，而是有限數(shù)，因此有限步（步）后可得這樣一個(gè)多項(xiàng)式（為首項(xiàng)系數(shù)），而或者。這樣得一串等式：把這些等式加起來得：，于是有，滿足要求。（1）降冪排列；（2）消項(xiàng)：作商，作差（3）討論。上述結(jié)論敘述為：定理2.2.1（帶余除法）設(shè)，且，則（1）使得；（）其中或。（2）滿足（）式及條件的只有一對(duì)。（分析：定理要求滿足（）式及條件的存在且唯一，上述一般討論已說明存在性，下重點(diǎn)證唯一性，注意條件，用同一法。）證明：（1）存在性：若或，取便滿足（）式；若，由上述討論可得成立。（2）唯一性：假設(shè)還有使得，且或，上式與（）式相減得：。若，則，此時(shí)，而，矛盾；因此（即），又，所以，即。注：（1）定理的證明過程給出了求商式與余式的方法，實(shí)質(zhì)為作長(zhǎng)除法的過程。（2）注意定理唯一性的條件是在或下。（3）定理的理論意義及作用在下面討論多項(xiàng)式的整除性及最大公因式時(shí)有重大作用。注：設(shè)；（1）；（2）除的余式為0。事實(shí)上：（1）由定義及零多項(xiàng)式的特征顯然；（2）若由TH2.2.1使得，因此。問題：設(shè)是兩個(gè)數(shù)域，且，顯然，若，且（在內(nèi)）；問題在內(nèi)是否？（下答）推論2：設(shè)是兩個(gè)數(shù)域，且，若，且在內(nèi)，則在內(nèi)。（即多項(xiàng)式的整除性不隨數(shù)域的擴(kuò)大而改變。）證明：若因在內(nèi)，所以故在內(nèi)顯然。（因0僅整除0）若，則在內(nèi)使得，且，；而，即上式在內(nèi)仍成立，于是由的唯一性及推論1得在內(nèi)。例1：當(dāng)適合什么條件時(shí)：。解：（法一）作帶余除法由推論1：；故當(dāng)時(shí)。（