《計算方法》實驗報告

《計算方法》實驗報告《計算方法》實驗報告全文共8頁，當前為第1頁?！队嬎惴椒ā穼嶒瀳蟾妗队嬎惴椒ā穼嶒瀳蟾嫒墓?頁，當前為第1頁。學號姓名班級實驗項目名稱計算方法實驗一、實驗名稱實驗一插值與擬合實驗目的：(1)明確插值多項式和分段插值多項式各自的優(yōu)缺點；(2)編程實現(xiàn)拉格朗日插值算法，分析實驗結(jié)果體會高次插值產(chǎn)生的龍格現(xiàn)象；(3)運用牛頓插值方法解決數(shù)學問題。實驗內(nèi)容及要求對于要求選取11個等距插值節(jié)點，分別采用拉格朗日插值和分段線性插值，計算x為0.5,4.5處的函數(shù)值并將結(jié)果與精確值進行比較。輸入：區(qū)間長度，n(即n+1個節(jié)點)，預測點輸出：預測點的近似函數(shù)值，精確值，及誤差（2）已知用牛頓插值公式求的近似值。輸入：數(shù)據(jù)點集，預測點。輸出：預測點的近似函數(shù)值實驗原理及算法描述算法基本原理：(1)拉格朗日插值法牛頓插值法《計算方法》實驗報告全文共8頁，當前為第2頁。《計算方法》實驗報告全文共8頁，當前為第2頁。算法流程《計算方法》實驗報告全文共8頁，當前為第3頁?！队嬎惴椒ā穼嶒瀳蟾嫒墓?頁，當前為第3頁。程序代碼及實驗結(jié)果輸出：A．拉格朗日插值法B.分段線性插值X y(精確) y(拉格朗日)y(分段線性)誤差(拉)誤差(分)0.500000 0.800000 0.843407 0.750000 -0.054259 0.0500004.500000 0.047059 1.5787200.0486425-32.547674 -0.033649《計算方法》實驗報告全文共8頁，當前為第4頁。《計算方法》實驗報告全文共8頁，當前為第4頁。輸出：X y(精確) y(牛頓插值)誤差(牛頓插值)5.00000 2.236068 2.266670 -0.013686 源碼：（1）A.拉格朗日插值法#include<iostream>#include<string>#include<vector>usingnamespacestd;doubleLagrange(intN,vector<double>&X,vector<double>&Y,doublex);intmain(){doublep,b,c; chara='n';do{cout<<"請輸入差值次數(shù)n的值："<<endl;intN;cin>>N;vector<double>X(N,0);vector<double>Y(N,0);cout<<"請輸入?yún)^(qū)間長度(a,b)："<<endl; cin>>p; cin>>b; c=b-p; c=c/(N-1);for(inti=0;i<N;i++){ X[i]=p;Y[i]=1/(1+p*p); p=p+c;}cout<<"請輸入要求值x的值："<<endl;doublex;《計算方法》實驗報告全文共8頁，當前為第5頁。cin>>x;《計算方法》實驗報告全文共8頁，當前為第5頁。doubleresult=Lagrange(N,X,Y,x);cout<<"由拉格朗日插值法得出結(jié)果："<<result<<endl;cout<<"是否要繼續(xù)？(y/n)：";cin>>a;}while(a=='y');return0;}doubleLagrange(intN,vector<double>&X,vector<double>&Y,doublex){doubleresult=0;for(inti=0;i<N;i++){doubletemp=Y[i];for(intj=0;j<N;j++){if(i!=j){temp=temp*(x-X[j]);temp=temp/(X[i]-X[j]);}}result+=temp;}returnresult;};B：分段線性插值#include<iostream>#include<string>#include<vector>usingnamespacestd;doublefenduan(intN,vector<double>&X,vector<double>&Y,doublex,doublec);intmain(){doublep,b,c; chara='n';do{cout<<"請輸入差值次數(shù)n的值："<<endl;intN;cin>>N;vector<double>X(N,0);vector<double>Y(N,0);cout<<"請輸入?yún)^(qū)間長度(a,b)："<<endl; cin>>p; cin>>b; c=b-p; c=c/(N-1);for(inti=0;i<N;i++){ X[i]=p;《計算方法》實驗報告全文共8頁，當前為第6頁。Y[i]=1/(1+p*p);《計算方法》實驗報告全文共8頁，當前為第6頁。 p=p+c;}cout<<"請輸入要求值x的值："<<endl;doublex;cin>>x;doubleresult=fenduan(N,X,Y,x,c);cout<<"由分段線性插值法得出結(jié)果："<<result<<endl;cout<<"是否要繼續(xù)？(y/n)：";cin>>a;}while(a=='y');return0;}doublefenduan(intN,vector<double>&X,vector<double>&Y,doublex,doublec){doubleresult=0;intb;b=0;while(x-X[b]>c){ b=b+1;}result=Y[b]*(1-(x-X[b])/c)+Y[b+1]*((x-X[b])/c);returnresult;};牛頓插值法#include<iostream>#include<string>#include<vector>usingnamespacestd;doubleChaShang(intn,vector<double>&X,vector<double>&Y);doubleNewton(doublex,vector<double>&X,vector<double>&Y);intmain(){chara='n'; do{intn;cout<<"請輸入插值點個數(shù)："<<endl;cin>>n;vector<double>X(n,0);vector<double>Y(n,0);cout<<"請輸入插值點對應的值及函數(shù)值(Xi,Yi)："<<endl;for(inti=0;i<n;i++){cin>>X[i]>>Y[i];}cout<<"請輸入要求值x的值："<<endl;《計算方法》實驗報告全文共8頁，當前為第7頁。doublex;《計算方法》實驗報告全文共8頁，當前為第7頁。cin>>x;cout<<"由牛頓插值法得出結(jié)果："<<Newton(x,X,Y)<<endl;cout<<"是否要繼續(xù)？(y/n)：";cin>>a;}while(a=='y');return0;}doubleChaShang(intn,vector<double>&X,vector<double>&Y){doublef=0;doubletemp=0;for(inti=0;i<n+1;i++){temp=Y[i];for(intj=0;j<n+1;j++)if(i!=j)temp/=(X[i]-X[j]);f+=temp;}returnf;}doubleNewton(doublex,vector<double>&X,vector<double>&Y){doubleresult=0;for(inti=0;i<X.size();i++){doubletemp=1;doublef=ChaShang(i,X,Y);for(intj=0;j<i;j++){temp=temp*(x-X[j]);}result+=f*temp;}returnresult;}實驗總結(jié)通過實驗一數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，拉格朗日插值在低次插值時，同源函數(shù)偏差并不大，但在高次插值時同原函數(shù)偏差大、存在明顯的龍格現(xiàn)象，而分段線性插值可以避免出現(xiàn)的龍格現(xiàn)象，與原函數(shù)比較吻合，但是分段線性插值由于其分段屬性，使得插值函數(shù)失去光滑性，可以考慮采用Hermite插值優(yōu)化。通過實驗二計算過程發(fā)現(xiàn)，拉格朗日插值法的線性插值的計算過程沒有繼承性，即增加一個