人大版計量經(jīng)濟學(xué)課后習(xí)題答案

第一章概率論基礎(chǔ)

第一部分學(xué)習(xí)目的與要求

概率論的知識是學(xué)習(xí)經(jīng)濟學(xué)、金融學(xué)的基礎(chǔ)，作為計量經(jīng)濟學(xué)的教材有必要把概率論這

-內(nèi)容放在第一章。通過學(xué)習(xí)本章應(yīng)掌握一些重要的概念及其性質(zhì)，并能應(yīng)用到實踐中。本

章可劃分為三大部分：概率論基本概念、隨機變量及其分布、隨機變量的數(shù)字特征。

（-）概率論基本概念

1、理解隨機事件的概念，了解樣本空間的概念，掌握事件之間的關(guān)系和運算。

2、理解事件頻率的概念，掌握頻率的計算公式。

3、理解概率的公理化定義，掌握概率的基本性質(zhì)，掌握古典概型計算公式。

4、理解條件概率的概念，掌握概率的乘法定理，學(xué)會運用全概率公式和貝葉斯公式求事件

的概率。

5、理解事件的獨立性概念，掌握貝努利概型，學(xué)會二項概率的計算方法。

（-）隨機變量及其分布

1、理解隨機變量的概念，離散型隨機變量、概率分布及性質(zhì)、連續(xù)型隨機變量、概率密度

的概念及性質(zhì)。

2、理解分布函數(shù)的概念及性質(zhì)，已知隨機變量的概率分布及密度，會求其分布函數(shù)，以及

利用概率分布、密度或分布函數(shù)計算有關(guān)事件的概率。

3、掌握二項分布、泊松分布及正態(tài)分布，了解均勻分布與指數(shù)分布。

4、了解多維隨機變量的概念，理解二維隨機變量的分布函數(shù)、概率分布、概率密度的概念

及性質(zhì)，并會計算有關(guān)二維隨機變量表示的隨機事件的概率。

5、了解二維隨機變量的邊緣分布與條件分布。

6、理解隨機變量的獨立性概念，掌握判斷隨機變量獨立性的方法。

7、會求兩個獨立變量的函數(shù)（和、最小值、最大值）的分布，理解多個相互獨立且同分布

的隨機變量的函數(shù)（和、最小值、最大值）的分布的函數(shù)的求法。

（三）隨機變量的數(shù)字特征

1、理解數(shù)學(xué)期望與方差的概念，掌握它們的性質(zhì)和計算。

2、會計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，了解車比雪夫不等式。

3、掌握二項分布、泊松分布、均勻分布和正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望及方差，了解指數(shù)分布的期

望和方差。

4、了解矩的概念、相關(guān)系數(shù)的概念，及它們的性質(zhì)和計算。

第二部分練習(xí)題

一、填空題

1、設(shè)AuB,尸（A）=0.1,P（8）=0.5,貝iJP（A8）=,P（AuB）=,

產(chǎn)（彳D月）=,P（A|8）=o

2、設(shè)P（A）=0.7,P（A—8）=0.3,則P（而）=。

3、假設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占50%、30%、20%,從中隨意取出一件，結(jié)果不

是三等品，則取到的是一等品的概率是。

on

4、對種產(chǎn)品獨立地進行四次抽樣，若至少有件不合格產(chǎn)品的概率是一，則該產(chǎn)品的

81

不合格率是O

5、設(shè)離散型隨機變量X的概率分布P{X=0}=0.2,P{X=1}=03P{X=2}=0.5,可

(012、

簡記為X?，則尸{X4L5}=o

(0.20.30.5J11--------

6、常數(shù)______時，PL」—伙=1,2,…)為離散型隨機變量的概率分布。

k(k+1)

7、設(shè)離散型隨機變量X的分布率為P{X=4=鄧\*=1,2,…)且a>0,則6為

-------T,X>0

8、設(shè)X的概率密度為/(x)='(l+x),則4=

0,x<0

9、設(shè)隨機變量X的概率密度為

1-x2+2x-l

-00<X<+00

則X的數(shù)學(xué)期望E(x)=,方差。(x)=

10、設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則函數(shù)Y=X+"3X的數(shù)學(xué)期望

E(y)=。

二、計算題

1、一個袋內(nèi)裝有7個球，其中4個白球，3個黑球，從中一次抽取3個，求至少有兩個白

球的概率。

2、袋中有。只黑球，匕只白球，它們除顏色不同外，其他方面沒有不同?，F(xiàn)將球隨機的一

只只摸出來，求是黑球的概率(IV女〈a+匕)。

3、在一個每題答案有4種選擇的測驗中，假設(shè)只有一種答案是正確的。如果一個學(xué)生不知

道問題的正確答案，他就作隨機選擇。知道指定問題正確答案的學(xué)生占參加測驗者的

90%,假如某學(xué)生回答此問題正確，那么他是隨機猜出的概率是多少？

4、從始發(fā)站乘汽車到終點站的途中有三個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相

互獨立的，且概率都是工，設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機變量X的分布率。

5

5、已知離散型隨機變量X的可能取值為-2,0,2,括，相應(yīng)的概率依次為

a2a4a8〃

試求概率P{|X|?2|X20}

2

Ae\x<0

6、設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為尸(x)=,B,O<x<l，求：(1)A,6的值；(2)

l-Ae~(x~'\x>\

X的概率密度；(3)>|>

7、設(shè)(x,y)的概率密度為

,/、［(3x+4y

小)=|Ce-。，其\x它>，0,y>0

(1)試確定常數(shù)C；

(2)求(x,y)的分布函數(shù)及x,y的邊緣分布；

(3)計算尸(0<XWl,O<yW2)。

8、設(shè)x和y是兩個相互獨立的隨機變量，x在(o,i)上服從均勻分布，丫的概率密度為

I_z

、一e2,y>0

A(y)=p

.0,y<0

(i)試求x和y的聯(lián)合概率密度；

(2)設(shè)含有。的二次方程為/+2Xa+y=0,試求。有實根的概率。

9、設(shè)隨機變量X的分布律為

X-202

P0.40.30.3

求E(X)、￡(X2）、￡（3X2+5）

10、設(shè)隨機變量X1,X2,…,X“相互獨立，且均在區(qū)間［0,6］上服從均勻分布，令

匕=max{X1,X2,…，X“}Z=min{X”X2,…,X,,}

分別求出毛，的數(shù)學(xué)期望和方差。

11、設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為EX,方差。X,證明對任意常數(shù)C,都有

E(X-Cf>DX

第三部分參考答案

一、填空題

1、0.1,0.5,0.9,0.2。

3

2>0.6o

3、—o

8

解：設(shè)4表示取到的產(chǎn)品是i等品，其中i=l,2,3,則未取到i等品的產(chǎn)品用％表示，于是

所求的任意一件不是三等品而是一等品的概率，就是在條件“未取到三等品”下，取到的是

一等品的概率，即尸(A"4)。

又因為P(A)=50%=0.5,P(4)=30%=0.3,P(4)=20%=0.2,所以有

P(AA)p(Aj0.55

P⑷A)=--

PfA,)l-P(A3)l-0.2-8

2

4、O

3

解:設(shè)該產(chǎn)品的不合格率是尸，X表示對一種產(chǎn)品獨立地進行四次抽樣的不合格產(chǎn)品的個

數(shù),則X?B(4,P),依題意

80>1}=1-P{X=0}=l-(l-P)4

81

于是0_p『=i一3=_L

\)8181

2

故P=*

3

5、0.5

6>1

1

7、

a+1

8、6

()，()

9、EX=1OX=g

9

10、

10

解：由題設(shè)，X的概率函數(shù)為

2產(chǎn),工〉。

/?=

0,x<0

由求函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的公式，得：

Y=E(X+e-3X)=20(x+e-3x)e-2xdx=

二、計算題

1、烏

35

解：設(shè)事件從表示“抽到的3個球中有i(/=2,3)個白球"，為與A?互不相容，由古

4

典定義有

P(A2)=晉=||，P(4)=|i4

35

故所求的概率為P（4U4）=P（）+P（）=—

a+b

解：把。只黑球及b只白球視為不同的（如設(shè)想把它們編號），若把摸出的球依次放在排列

成一直線的a+〃個位置上，則基本事件總數(shù)就是a+8個相異元素的全排列（a+b）!。若記

為為“第％次摸出黑球”，這相當(dāng)于在第女個位置上放一只黑球，在其余（a+b-1）個位置

上放另外的（a+A—1）個球，所以，&包含的基本事件個數(shù)為—1）!,故所求概率

,/、a（a+b-\}\a

為P（AA=—4———=」一

（a+/?）!a+b

3、0.027

解：設(shè)A為“某學(xué)生對指定問題作出正確回答”，與為“該生知道指定問題正確答案”，B2

為“該生不知道指定問題正確答案”，依題意

P（B,）=0.9,P（B2）=0.1

「（A|BJ=1,尸（*&）=:

由貝葉斯公式，所求概率為

P（B|A）=P（&）P（A⑻.0.1x0.25.0027

2

’'P（B］）P（A\B］）+P（B2）P（A\B2）0.9X1+0.1X0.25

4、

X0123

6448121

rD

125125125125

解：X的可能取值為0,1,2,3,而

5

P{X=0}

P{X

P{X=2}=C；

P{X=3}=C；

125

即X的分布律為

X0123

6448121

r

125125125125

「22

5、—

29

4357壬二1

解：Z0(X=+—+—+一=

r=l2a4a8a8a

37

解得a="

8

故

X-202亞

812107

rD

37373737

F{|X|<2,X>0}P{X=0}+P{X=2}22

P{|X|<2|X>0}

P{XN0}P{X=0}+-{X=2}+O{X=逐}29

6、(1)A—B——

2

—e*,x<0

2

/(x)=,0,0<x<l

2

2

2

解：

(1)由連續(xù)型隨機變量的性質(zhì)，可知，尸(乃是連續(xù)的函數(shù)，考察尸(x)在x=0,x=l兩

點的連續(xù)性，有：

6

limF(x)=limAex=A

XT。-XT。-

limF(x)=limB=B

XTO+IO'

可知,A=5

limF(x)=limB=B

xfx->r

limF(x)=lim(1-=1-A

XT1+XT-'7

可知5=1—A

則得，A=B=~,于是，得

2

-ex,x<0

2

尸(x)=<—,0Wx<1

2

1__Le-d)xNl

2

(2)X的概率密度為

—e',x<0

2

/(x)=<0,0<x<l

2

7、(1)C=12

e-3x)(l-e-4y),x>0,y>0

(2)F(X,Y)=

0,其它，

-e~3x,x>0

Fx(x)=」

0,x<0

l-e叫y〉0

fy(y)=<

0,j<0

(3)(l-e-31-e-8)

解：（1）由概率密度性質(zhì)得

7

=『『Ce-*x+4，）dxdy

=e-ixdx^e^dy

「

二c?一1?1一

34

C

~n

故C=12

于是得（x,y）的概率密度為

12e@+4F),x>0,y〉0

/(x,y)=<

0,其它,

（2）（x,y）的分布函數(shù)為

F(x,y)=P(X<x,Y<y)=￡￡f(x,y)dudv(>

當(dāng)x?0或y?0時，F(xiàn)(x,y)=0；

當(dāng)x>0段，>0,

F(X,y)=P(X<x,Y<y)=￡￡l2e~(3x+4y)dudv

=(13)(1)

(l-e力0_eT)x>O,y>0

即產(chǎn)（x,y）=

0,其它，

X的邊緣概率密度為

j；12ee+4，@=3e-3*,x>o

/x(x)=L"(x,y)dy=<

0,x<0

其分布函數(shù)為

1-e'3x,x>0

Fx(x)=<

0,x<0

類似可得y的邊緣概率密度為

4e^y,y>0

萬(y)=

0,y<0

8

分布函數(shù)為

一、〉()

4(>')=<

0,y<0

F(X,y)=P(0<X<1,0<Y42)=f^I2e-(3x+4y)dxdy

43eadxr4e

2

-e~3x）：（

0

=(l-e-3)(l-e-8)

1-工

—e2,0<x<1,y>0

8、⑴f(x,y)=<

0,其它

(2)0.1445

解：（1）X服從U（0,l）,故其概率密度為

力*)=

0,其它

由于x和丫相互獨立，所以它們的聯(lián)合概率密度等于它們的邊緣概率密度之積，即

—e^,0<x<l,y>0

/(x,y)=<

0,其它

（2）若/+2*。+丫=0有實根，則判別式

(2X)2-4Y20,即X?"

相應(yīng)概率為

p(x2>y)=y^dxdy

D

其中，D={(%,/)|X2>r,0<x<l,^>0}

故

9

P(X2")=

\7

=1-后(①(>①⑼)

=1-后(0.8413-0.5)

=0.1445

9、-0.2、2.8、13.4

3

解：(1)E(X)=>,X[R=(-2)。0.4+0x0.3+2x0.3=-0.2

*=i

(2)求E(X?)有兩種方法。一種方法是先求y=x2的分布律，然后利用y的分布律求y

的數(shù)學(xué)期望。丫的分布律為

x204

~~P0?30.7

則E(Y)=E(X2)=0x0.3+4x0.7=2.8

另一種方法是直接利用x的分布律求丫的數(shù)學(xué)期望。

3

E(x2)=ZX；P,=(—2)2X0.4+0X0.3+22X0.3=2.8

k=\

(3)與(2)類似。一種方法是先求Z=3X2+5的分布律，然后求數(shù)學(xué)期望。Z的分布律

為

Z5_________________________

~p0^10.7

則E(Z)=E(3X2+5)=5x0.3+17x0.7=13.4

另一種方法是直接利用X的分布律求Z的數(shù)學(xué)期望。

E(Z)=￡(3X2+5)=[3x(-2)2+5]x0.4+(3x0+5)x0.3+(3x22+5)x03=13.4

10、E(X)=而夕‘用)=

+(〃+2)

10

0nd-

E化）=於'。億）=

(n+1)-(M+2)

解：乂,々=1,2「-,〃）的概率密度為

l,O<x<^

0,其它

分布函數(shù)為

0,x<0

x

尸(x)=<-,O<x<0

e

l,x>6

乂的分布函數(shù)為

4。)=P[Y1Ky}=P{X|Wy,X2<y,…,X“<y}

=P{Xx<y}P{X2<y]-P{Xn<y}

0,y<0

=F"(y)=<3，°wy<e

i,y>0

從而Y的概率密度為

I]

y

n1萬|?萬,o〈ywe

加y)=

o,其它

故

附）=年9=36

22

D（K）=E（片）一（EYJ2=0ydy一InG

7—0

〃+l(〃+l)2(〃+2)

匕的分布函數(shù)為

II

&3=產(chǎn)化”}=1一/化〉y}

=1—P{X?y,…,X”>y}

^\-P{Xl>y}P{X2>y]--P{Xn>y}

=l-[l-P{X1<y}]-[l-P{X?<y}]

=1—[1—尸3了

o,y<o

=<1一(1一￡|,0”<6

i,y>0

從而“概率密度為

j-1，0<y<l

九(y)=,f-?

0,其它

故

頤功=缶（1用.3=

,2dy=—

'n+\

221

D（X）=E（0一（"）=1”），2鏟0|_nO

~e)n+1)(/2+2)n+1

11、證明：

￡(X-C)2=￡(X2-2CX+C2)

EX2-(EX)2+(EX)2-2CEX+C2

=DX+(EX-C)2

因(EX-Cf20,故

￡(X-C)2>￡>X

12

第二章矩陣代數(shù)

第一部分學(xué)習(xí)目的和要求

矩陣代在計量經(jīng)濟學(xué)中占有重要的地位，學(xué)習(xí)本章主要掌握以下幾個方面的

內(nèi)容：

1.矩陣加法，乘法的規(guī)則。

2.逆矩陣的求法

3.矩陣對應(yīng)的行列式計算方法

4.數(shù)列中逆序的概念

5.向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)

6.齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

7.線性方程組有解的充分必要條件

8.矩陣的秩

9.最小二乘解的概念和幾何意義

10.二次型的定義，正定、負(fù)定、不定的二次型

11.正交變換

12.特征根、特征向量

13.二次型變換成對角型的方法

第二部分練習(xí)題

■選擇題

1.下列結(jié)論成立的是（）.

A,如果T=o,則A=O

B.如果如果矩陣A2=A并且A不是單位矩陣，那么A不可逆。

C.如果則A=E或A=。

D.如果矩陣42=。，則E+A不可逆

2.下列說法正確的是（）.

A.零矩陣一定是方陣B.可轉(zhuǎn)置的矩陣一定是方陣

C.可逆矩陣一定是方陣D.若A與A可進行乘法運算，則A一定

是方陣

3.下列說法正確的是（）

A.用對角線法則可以計算〃階行列式

B.對行列式的行成立的性質(zhì)，對列也成立

C.只有同階行列式之間可以進行運算

D.只有行和列數(shù)都相同時,兩個矩陣才能進行乘法運算

4.下列結(jié)論正確的是（）.

A.對角矩陣是數(shù)量矩陣B.數(shù)量矩陣是對稱矩陣

C.可逆矩陣是單位矩陣D.對稱矩陣是可逆矩陣

5.設(shè)4B為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（）

A.(A6')T=*(6'尸B.(AB)'=B'A'

C.(A8)'=A'8'D.=AT—)'

13

6.設(shè)A，8為同階可逆方陣，則下列說法正確的是（）.

A(叫7=83B.(W=

C.r(A+6)=?A)+，?⑻D.若A6=E,則必有A=E或6=￡

8=(—13),

7.設(shè)A=d2),E是單位矩陣，則A3-E=（）.

-13、一2、-2一2、(-23、

A.B.C.D.

26)36J135J-25J

8.設(shè)A為n階矩陣，考慮以下命題:1）A與A'有相同的特征值與特征向量⑵若

則A,B有相同的特征值與特征向量;3）若A,B有相同的特征值，則A,B一定相似于

同一個對角矩陣;4）若A,8有相同的特征值，則（旬=”切.成立的命題有（）

A.1個B.2個C.3個D.0個

9.設(shè)A為機X”階矩陣，考慮以下命題：①4尸0只有零解；②Ax=b有唯一解;

③A的行向量組線性無關(guān)；④A的列向量組線性無關(guān).則有（）

A.①=>②=④.B.②=①=④.

C.④=①=③.D.③=>②=>①.

f13-210、

10?的秩是()

10.矩陣

100

(01000>

A.1B.2C.3D.4

11.二次型/（石,々,_）=—x；+4「%—2石二一4々2+4.v-七2是（)

A.正定B.負(fù)定c.半負(fù)定D.不定

二填空題

1.已知

4020、

，abcd)0011066、

92j0100—119

J484,

、0010,

、

31’79

2.若矩陣A=B=,AX=B,YA=B,則乂=,Y=

5-1

7J77

3.設(shè)A=(%)“*”,(〃N2),A的伴隨矩陣A*的秩為1,且f%=0(i=l,2,…

j=l

則Ax=0的通解為.

14

'0-2-2、

4.已知-2是4=2x-2的特征值，其中b為不等于零的任意常數(shù)，則

「22b,

x=.

'313、

5.設(shè)A=11-2以A為矩陣的二次型為

、3-2-2,

,460、

6.設(shè)A=-3-50，矩陣A的特征值為，特征向量為.

、-3-6L

三計算題

(I.2、(30)

1.設(shè)矩陣A,8滿足矩陣方程AX=8,其中A=,B=，求X.

-1002

2.設(shè)向量組%=(1,1,1,3)',%=(-1,-3,5,1)>3=(3,2-1,p+2),,

%=(-2,—6,10,p)'.

(1)p為何值時，該向量組線性無關(guān)？并在此時將向量。=(4,1,6,10丫用

線性表出;

(2)p為何值時，該向量組線性相關(guān)？并在此時求出它的秩和一個極大線性無

關(guān)組.

3.已知4為三階矩陣，為Ax=0的基礎(chǔ)解系，又AB=2B,8為三階非零矩

陣.

(1)計算行列式|A+E|；(2)求秩“A-2?；(3)求矩陣2A+3E的特征值.

-3

4.設(shè)矩陣A=0-2,B-,計算(BA)”.

5.解下列線性方程組

玉一4+%3一%4二2

*%1-X2-X3+X4=0

%1一%2—2.+2尤4=—1

6.求下列矛盾方程組的最小二乘解。

15

x1+x2=4

<%+2X2=7

x,-x2=2

7.設(shè)二次型/（X1%與+3x；-2西々+4工2工3，寫出它的矩陣及矩陣表達式。

8.求二次型/=5芯2+4中2+2々2的正交矩陣

第三部分參考答案

一選擇題

1.B2.C3.B4.B5.B6.A7.D8.D

9.B

Ax=Z?有唯一-解，知"4）=r（A?=〃，于是Ax=O只有零解，進而可推知A的列

向量組線性無關(guān)，故應(yīng)選B

10.C

將矩陣化成階梯形矩陣后，有3個非0行，故該矩陣的秩為3.

11.C

可寫成=—（王一2々+不）2<0,當(dāng)X]—2々+%3=0時，/（%,%2，毛）=°，

'-12-P

因此，/（和9,馬）半負(fù)定，其對應(yīng)的矩陣2-42是半負(fù)定矩陣。

、一12一1,

二填空題

1.［解］由

q020、

bcdy0011_(ac2〃+b+d066、

4廠〔1984,

492)0100一［198

W010,

所以，a=\h=6,c=0,d=—2,

16

<13

2.［解］X=［；J）；K=II

<2-2>

3」解］由題設(shè)，秩“*=〃-/,于是Ax=O的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為〃-“*=1,

而f囪=0（，=1,2「?,〃）表明人犬=0有解（1,1,一、1）',故Ax=O的通解為火（1,1,---,D,.

六1

-222

4.［解］由題設(shè)，有2E—川=—2-2-x2=%（4+x）=0,知x=-4.

2-2-2-b

5.［解］/（X］,%2，X3）=3x；+2X］》2+6x/3+X；—4尤2工3—2x；

6.［解］第一步：求A的特征值

2-4-60

因為同一川=32+50="+2*/1—1尸=0

362-1

所以A的特征值為4=-24=4=1（二重根）

第二步：求A的特征向量

-6xj—6%2=0

對于4=-2對應(yīng)的齊次線性方程組為<3網(wǎng)+3々=0

3斗+6X2-3X3=0

它的基礎(chǔ)解系為力=1，故女內(nèi)（女尸0）是A的對應(yīng)于4=-2的全部特征

向量。

—3%|-6%2=0

對于4=%=1對應(yīng)的齊次線性方程組為<3芯+6々=0

3再+6X2=0

，-2、

它的基礎(chǔ)解系為V2-1故七X2+A3X3（左2女3不全為零）是A

的對應(yīng)于丸2=4=1的全部特征向量。

三計算題

17

1.［解］思路：若A可逆，則乂=4一組.

先求

100

1210、T210、-r

因為(4/)=->]_1

-10021101

、°722>

,0-]、

所以A—11

52,

-2、

0、fo

X=A-'B=1=3

1

J2>5

-13-24、

-4-3

2.[解](%，a,a?，。4，00]

201

、000p—21—p,

(1)當(dāng)P*2時，向量組囚,。2，。3，。4線性無關(guān)，此時設(shè)

a=xxay+x2a2+x3a}+x4a4,解得x}=2,x2=――-,x3=l,x4=-—―

p-2、p—2

，

(2)當(dāng)p=2時，向量組％,。2。3。4線性相關(guān)，此時向量組的秩為3,al,a2,ai

為其一個極大線性無關(guān)組.

3.［解］由題設(shè)，%,%是4的屬于特征值0的兩個線性無關(guān)的特征向量，又由

A8=2B,8為三階非零矩陣，不妨設(shè)8的第一列々非零，則仇是A的屬于特征值2

<0、

的特征向量，于是令P=(a”。2，伉)，則有P%P=0

I2,

‘0]、

⑴A+E~0+E=1,于是|A+E|=3.

、2j、%

18

-2

(2)A-2E--2—2E)=2

0J

(3)矩陣2A+3E的特征值為3,3,7.

’11、

12—3、-5-3、

4.［解］因為區(qū)40-2

0-1242,

730>

-5-310、11、

(BAI)=->

2020

3、

101

11-12

0-2455

701

3、

1

所以(AAV=2

_5

-2

-2>

-11-12

5.［解］(A,b)=f00-22-2

、00-33-37

1-11-12、

->00-11-1

00000>

1-1001

—>00-11-1

000007

取X2，M為自由未知量,得到：Xi=\+X2,Xj=l+X^o

令X2=C|,X4=C2，方程組的一般解為：

1+C］、

ci

x=

1+C?

19

%=X]+々-4

6.［解］令u2=%+2X2-7

%=玉一々-2

2

(P(X1X2)=M,+〃；+

——(%|+%2—4)~+(X]+2%2-7)2+(%—x2—2)2

d(p

2(3X|+2%2—13)=0

,胡

由

d(p

=2(2x,+6X2-16)=0

dx2

3芭+2X=13

得法方程組2

2x}+6X2=16

23n

解得X.=—

'7-T

ii

所以最小二乘解為玉”X

727

-10、

7.［解］它的矩陣為A=-132

J20,

1-1oY修

X],)=(X]

它的矩陣表達式為f(x2,x3x2x3-132X2

02o>

52

8.［解］二次型/的矩陣為A=

22

2-5-2

A的特征方程為|〃-川==(A—6)(2—1)=0

-22-2

特征值為4=6，%=1

當(dāng)4=6時，解齊次線性方程組(6/-A加=0,得其基礎(chǔ)解系為

，把X1單位化，得/?］=

當(dāng)4=1時，解齊次線性方程組仆*x=。,得其基礎(chǔ)解系為

20

把X2單位化得“2=

zl

令尸=（%,尸卡弋，則P為正交矩陣

、亞Vs/

第三章數(shù)據(jù)分析方法與參數(shù)統(tǒng)計推斷

第一部分學(xué)習(xí)目的和要求

在計量經(jīng)濟學(xué)的分析和推斷中主要是根據(jù)觀察到的數(shù)據(jù)進行整理和分析，并

作出判斷。通過本章的學(xué)習(xí)，要求讀者掌握以下幾點。

1、掌握算術(shù)平均、加權(quán)算術(shù)平均和幾何平均數(shù)的計算；

2、能夠用移動平均法修正時間序列數(shù)據(jù)，并對未來數(shù)據(jù)進行估計；

3、掌握一次指數(shù)平滑法，對二次指數(shù)平滑法有所了解；

4、掌握矩估計法和極大似然估計法；

5、熟悉極大極小估計，掌握貝葉斯估計；

6、掌握使用U統(tǒng)計量，t統(tǒng)計量，/統(tǒng)計量和F統(tǒng)計量進行假設(shè)檢驗的方法；

7、掌握單因素試驗的方差分析方法。

第二部分練習(xí)題

1、從1986?2005年，我國萬元GDP石油消耗列于下表（單位：噸）。從表中可

以看到我國單位GDP石油消耗呈明顯下降趨勢，但是并非單調(diào)下降。試計算下

表中時間序列的5項算術(shù)移動平均數(shù)，并利用該方法估計2006年我國萬元GDP

石油消耗？（填空題）

表1：1986?2005年我國萬元GDP石油消耗（單位：噸）

年份1986198719881989199019911992199319941995

萬元GDP1.27821.2144,117411.17811.12501.11091.04860.99840.89110.8588

21

石油消耗

移動平均

年份1996199719981999200020012002200320042005

萬元GDP

0.84330.86510.79500.77780.75570.70420.69480.68690.67310.6253

石油消耗

移動平均

注：GDP使用國家統(tǒng)計局修正后數(shù)據(jù)，且折算成1978年不變價格。

2、1990?2005年我國每年石油消費量如下。已知平滑系數(shù)a取值空間為{0.3,0.6,

0.9},估計誤差用絕對偏差函數(shù)來定義。試用二次指數(shù)平滑法對2006

年石油消費數(shù)量進行估計。一次、二次指數(shù)平滑初始值都取第一期觀察值。

【備注】二次指數(shù)平滑法是在一次指數(shù)平滑值基礎(chǔ)上再作一次指數(shù)平滑，然

后利用兩次指數(shù)平滑值，建立預(yù)測模型確定預(yù)測值的方法，它解決了一次指數(shù)平

滑不能用于有明顯趨勢變動的市場現(xiàn)象的預(yù)測的問題。二次指數(shù)平滑法預(yù)測公式

為：

￡任=+（l-a）猾

式中，￡°）代表第t期二次指數(shù)平滑值；即）代表第t期一次指數(shù)平滑值；a

為平滑系數(shù)。

表2：1990?2005年我國每年石油消費量（單位：萬噸）

19901991199219931994199519961997

1148612423133731432114956160651743619692

19981999200020012002200320042005

1981821073224392283824780271262938331700

3、設(shè)總體X在［a,b］上服從均勻分布，參數(shù)a,b未知。現(xiàn)從該總體中抽取一組

樣本如下。試用矩估計法和極大似然估計法分別求參數(shù)a和b的估計量？

樣本Xi-Xio的值如下：3.2395,3.0763,3.9172,4.7397,4.8685,3.5289,

22

3.3206,4.7457,3.4758,4.2917。

4、設(shè)總體X服從正態(tài)分布，均值為〃，方差為b?,均存在卻未知?，F(xiàn)從該總體

中抽取一組樣本如下，試用矩估計法和極大似然估計法分別求參數(shù)〃和/的估

計量？樣本Xi?Xio的值如下：2.6266,4.4516,1.8234,7.3664,2.7272,

3.2279,5.1335,3.1186,2.8087,1.3353。

5、設(shè)總體X服從貝塔分布，參數(shù)分別是e和4，均未知?，F(xiàn)從該總體中抽取一

組樣本如下，試求參數(shù)a和尸的矩估計量？

樣本X|~X,o的值肛~町0如下：0.3166,0.3704,0.7331,0.6096,0.1034,0.0098,

0.8526,0.0733,0.5922,0.04720

Beta函數(shù)為：8(a,/7)=卜［T(1—x)"a>0,夕>0

Beta概率密度函數(shù)為：-—0—)-,0<x<l

均值公式為：〃=三

?+/?