《復(fù)數(shù)》知識點總結(jié)

《復(fù)數(shù)》知識點總結(jié)1、復(fù)數(shù)的概念形如a

bi(a,b

R)

的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i

叫做虛數(shù)單位，滿足i2

1

，

a

叫做復(fù)數(shù)的實部，

b

叫做復(fù)數(shù)的虛部.(1)純虛數(shù)：對于復(fù)數(shù)z

a

bi

，當(dāng)a

0且b

0

時，叫做純虛數(shù).(2)兩個復(fù)數(shù)相等：a

bi,

c

di(a、b、c、d

R)

相等的充要條件是a

c且b=d

.復(fù)平面：建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，橫軸為實軸，豎軸除去原點為虛軸.復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)z

a

bi

可以用復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,

b)

表示，向量OZ

的模叫做復(fù)數(shù)z

a

bi

的模，表示為：|

z

||

a

bi

|

a

2

b

2（5）共軛復(fù)數(shù)：兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做共軛復(fù)數(shù).2、復(fù)數(shù)的四則運算（1）加減運算：(a

bi)

(c

di)

(a

c)

(b

d

)i

；（2）乘法運算：(a

bi)

(c

di)

(ac

bd

)

(ad

bc)i

；（3）除法運算：(a

bi)

(c

di)

(ac

bd

)

(bc

ad

)

i(c

di

0)

；c2

d

2 c2

d

2（4）

i

的冪運算：

i4n

1，

i4n1

i

，

i4n2

1，

i4n3

i

.

(n

Z

)（5）

zz|z|2|z|23、

規(guī)律方法總結(jié)（1）對于復(fù)數(shù)

z

a

bi(a,b

R)

必須強調(diào)a,

b

均為實數(shù)，方可得出實部為a

，虛部為b第

1頁復(fù)數(shù)

z

a

bi(a,b

R)

是由它們的實部和虛部唯一確定的，兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的主要方法．對于一個復(fù)數(shù)z

a

bi(a,b

R)

，既要從整體的角度去認(rèn)識它，把復(fù)數(shù)看成一個整體，又要從實部、虛部的角度分解成兩部分去認(rèn)識對于兩個復(fù)數(shù)，若不全是實數(shù)，則不能比較大小，在復(fù)數(shù)集里一般沒有大小之分，但卻有相等與不等之分.數(shù)系擴(kuò)充后，數(shù)的概念由實數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集，實數(shù)集中的一些運算性質(zhì)、概念、關(guān)系就不一定適用了，如絕對值的性質(zhì)、絕對值的定義、偶次方非負(fù)等1、基本概念計算類1 22z例

1．若

z

a

2i,

z

3

4i,

且

z1

為純虛數(shù)，則實數(shù)

a

的值為解：因為，z1

＝

a

2i

(a

2i)(3

4i)

3a

6i

4ia

8

3a

8

(6

4a)i

，z2 3

4i (3

4i)(3

4i) 25 25又

z1

為純虛數(shù)，所以，3a－8＝0，且

6＋4a

0。

a

8z2 32、復(fù)數(shù)方程問題第

2頁2

i例

2．證明：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程|

z

|2

(1

i)z

5

5i

（i

為虛數(shù)單位）無解證明：原方程化簡為|

z

|

(1

i)z

(1

i)z

1

3i,

設(shè)

z＝x＋yi(x、2x

2

y

3x

2

y2

1y

R

)，代入上述方程得

x

2

y

2

2xi

2

yi

1

3i.整理得8x

2

12x

5

0

16

0.方程無實數(shù)解，所以原方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)無解。3、綜合類例

3．設(shè)

z

是虛數(shù)，

z

1

是實數(shù)，且－1<<2z（1）

求|z|的值及

z

的實部的取值范圍；（2）

設(shè)M

1

z

，求證：M

為純虛數(shù)；1

z（3）

求

M

2

的最小值。解：（1）設(shè)

z＝a＋bi（a，b

R,

b

0

）1 a b

(a

)(b

a

bi a2

b

2 a

2

b

2

a

bi

)i, 因為，是實數(shù)，b

02所以，a

2

b

2

1，即|z|＝1，

因為＝2a，－1<<2，

1

a

1所以，z

的實部的取值范圍（－

1

,1

）2（2）

M

1

z

＝

1

a

bi

(1

a

bi)(1

a

bi)

1

a

b

2bi

bi2 21

z 1

a

bi (1

a

bi)(1

a

bi) (1

a)2

b

2 a

1（這里利用了（1）中a

2

b

2

1）。因為

a（－

1

,1

），

b

0

，2所以

M

為純虛數(shù)2a

1a

1

2a

(a

1)21

a

2

2a

(a

1)2b

2（3）

M

2a

1第

3頁2]

3a

1

2[(a

1)a

1

2a

1

因為，a（－

1

,1

），所以，a＋1>0，

所以

M2

2×2－3＝21，當(dāng)

a＋1＝1a

1，即

a＝0

時上式取等號， 所以，

M

2

的最小值是

1。4、創(chuàng)新類例

4．對于任意兩個復(fù)數(shù)z1

x1

y1i,

z2

x2

y2

i(x1

,

x2

,

y1

,

y2

R

)定義運算“⊙”為z1

⊙

z2

＝

x1

x2

y1

y2

，設(shè)非零復(fù)數(shù)1

,2

在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為P1

,

P2

,點

O

為坐標(biāo)原點，若1

⊙2

＝0，則在P1OP2

中，P1OP2的大小為

.解法一：（解析法）設(shè)1

a1

b1i,2

a2

b2

i(a1

,

a2

0)，故得點1 1 1 2 2 2 1

2 1

21 21 2P

(a

,

b

)

，

P

(a

,

b

)

，且a

a

b

b

＝0，即

1a ab b1 2第

4頁a a0從而有k

k ＝

b1

b2

1 故OP

OP

,也即POP

90OP11 OP2

2 1 2 1 2解法二：（用復(fù)數(shù)的模）同法一的假設(shè)，知|

OP

|2

|

|2

a

2

b

2

1 1 1 1|OP|2|

|2

a2

b22

2

2

2|PP|2|

|2|(a

a)(b

b)i

|212 1 2 1 2 1 21 12 2 1

2 1

21 12 2 2 2 2 2 2 22 2＝

a

b

＋

a

b

－2（

a

a

b

b

）＝

a

b

＋

a

b

－2×02 22 2 221 1 2 2 1 2＝

a

b

＋

a

b

＝|

OP

|

＋|

OP

|01 2由勾股定理的逆定理知PO