2023年高考數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)第8章8.5直線平面垂直的判定與性質(zhì)

8.5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【考試要求INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.2.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會簡單的應(yīng)用．INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【知識梳理INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,n?α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,a⊥β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥αINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【知識拓展INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】1．三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．2．三垂線定理的逆定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直．INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【思考辨析INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.(×)(2)垂直于同一個平面的兩平面平行．(×)(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面．(×)(4)若直線a⊥平面α，直線b⊥平面α，則直線a∥直線b.(√)INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【教材題改編INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】1．下列命題中錯誤的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β答案D解析對于D，若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)的直線可能不垂直于平面β，即與平面β的關(guān)系還可以是相交、平行或在平面β內(nèi)，其他選項(xiàng)均是正確的．2．“直線a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”是“直線a與平面α垂直”的________條件．答案必要不充分3．在三棱錐P－ABC中，點(diǎn)P在平面ABC上的射影為點(diǎn)O.(1)若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)O是△ABC的________心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點(diǎn)O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，∴OA＝OB＝OC，即O為△ABC的外心．圖1圖2(2)如圖2，延長AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于點(diǎn)H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC?平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB上的高．同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上的高，即O為△ABC的垂心．題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1(2021·全國甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，BF⊥A1B1.(1)求三棱錐F－EBC的體積；(2)已知D為棱A1B1上的點(diǎn)，證明：BF⊥DE.(1)解如圖，取BC的中點(diǎn)為M，連接EM，由已知可得EM∥AB，AB＝BC＝2，CF＝1，EM＝eq\f(1,2)AB＝1，AB∥A1B1，由BF⊥A1B1得EM⊥BF，又EM⊥CF，BF∩CF＝F，所以EM⊥平面BCF，故V三棱錐F－EBC＝V三棱錐E－FBC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)BC×CF×EM＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×1＝eq\f(1,3).(2)證明連接A1E，B1M，由(1)知EM∥A1B1，所以ED在平面EMB1A1內(nèi)．在正方形CC1B1B中，由于F，M分別是CC1，BC的中點(diǎn)，所以由平面幾何知識可得BF⊥B1M，又BF⊥A1B1，B1M∩A1B1＝B1，所以BF⊥平面EMB1A1，又DE?平面EMB1A1，所以BF⊥DE.INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【備選INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.證明∵AB⊥平面PAD，AE?平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵M(jìn)N⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵M(jìn)N⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.思維升華證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練1(2019·全國Ⅱ)如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)證明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱錐E－BB1C1C的體積．(1)證明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1?平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1＝90°.由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.如圖，作EF⊥BB1，垂足為F，則EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以四棱錐E－BB1C1C的體積V＝eq\f(1,3)×3×6×3＝18.題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2(12分)(2021·全國乙卷)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM.(1)證明：平面PAM⊥平面PBD;[切入點(diǎn)：線面垂直](2)若PD＝DC＝1，求四棱錐P－ABCD的體積.[(1)問關(guān)鍵點(diǎn)：找平面PAM或平面PBD的垂線；(2)問關(guān)鍵點(diǎn)：底面矩形面積的計算]INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【備選INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】(2020·全國Ⅰ)如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn)，∠APC＝90°.(1)證明：平面PAB⊥平面PAC；(2)設(shè)DO＝eq\r(2)，圓錐的側(cè)面積為eq\r(3)π，求三棱錐P－ABC的體積．(1)證明∵D為圓錐頂點(diǎn)，O為底面圓心，∴OD⊥平面ABC，∵P在DO上，OA＝OB＝OC，∴PA＝PB＝PC，∵△ABC是圓內(nèi)接正三角形，∴AC＝BC，△PAC≌△PBC，∴∠APC＝∠BPC＝90°，即PB⊥PC，PA⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，PC?平面PAC，∴平面PAB⊥平面PAC.(2)解設(shè)圓錐的母線為l，底面半徑為r，圓錐的側(cè)面積為πrl＝eq\r(3)π，rl＝eq\r(3)，OD2＝l2－r2＝2，解得r＝1，l＝eq\r(3)，AC＝2rsin60°＝eq\r(3)，在等腰直角三角形APC中，AP＝eq\f(\r(2),2)AC＝eq\f(\r(6),2)，在Rt△PAO中，PO＝eq\r(AP2－OA2)＝eq\r(\f(6,4)－1)＝eq\f(\r(2),2)，∴三棱錐P－ABC的體積為VP－ABC＝eq\f(1,3)PO·S△ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(6),8).思維升華(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時要注意“平面內(nèi)的直線”．②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面．跟蹤訓(xùn)練2如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E為AD的中點(diǎn)．(1)求證：PE⊥BC；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD.證明(1)因?yàn)镻A＝PD，E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD.因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AB⊥AD.又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又因?yàn)镻A⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.題型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例3在四棱錐P－ABCD中，△PAD是等邊三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)在AD上是否存在一點(diǎn)M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，請證明；若不存在，請說明理由；(2)若△PCD的面積為8eq\r(7)，求四棱錐P－ABCD的體積．解(1)存在，當(dāng)M為AD的中點(diǎn)時，平面PCM⊥平面ABCD.證明：取AD的中點(diǎn)M，連接CM，PM，由△PAD是等邊三角形，可得PM⊥AD，由平面PAD⊥平面ABCD，PM?平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，可得PM⊥平面ABCD，由PM?平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD.(2)設(shè)AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a，可得MC＝AB＝MD＝a，則CD＝eq\r(2)a，PD＝2a，PM＝eq\r(3)a，由PM⊥MC，可得PC＝eq\r(PM2＋MC2)＝eq\r(3a2＋a2)＝2a，由S△PCD＝eq\f(1,2)·eq\r(2)a·eq\r(4a2－\f(1,2)a2)＝eq\f(\r(7),2)a2＝8eq\r(7)，可得a＝4，所以四棱錐P－ABCD的體積V＝eq\f(1,3)S四邊形ABCD·PM＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(4＋8)×4×4eq\r(3)＝32eq\r(3).INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【教師備選INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】如圖，在四棱錐S－ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD為正三角形．側(cè)面SAD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱AD，SB的中點(diǎn)．(1)求證：AF∥平面SEC；(2)求證：平面ASB⊥平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一點(diǎn)M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求eq\f(BM,BS)的值；若不存在，請說明理由．(1)證明如圖，取SC的中點(diǎn)G，連接FG，EG，∵F，G分別是SB，SC的中點(diǎn)，∴FG∥BC，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)BC，∵四邊形ABCD是菱形，E是AD的中點(diǎn)，∴AE∥BC，AE＝eq\f(1,2)BC，∴FG∥AE，F(xiàn)G＝AE，∴四邊形AFGE是平行四邊形，∴AF∥EG，又AF?平面SEC，EG?平面SEC，∴AF∥平面SEC.(2)證明∵△SAD是等邊三角形，E是AD的中點(diǎn)，∴SE⊥AD，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ACD是等邊三角形，又E是AD的中點(diǎn)，∴AD⊥CE，又SE∩CE＝E，SE，CE?平面SEC，∴AD⊥平面SEC，又EG?平面SEC，∴AD⊥EG，又四邊形AFGE是平行四邊形，∴四邊形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，又SA＝AB，F(xiàn)是SB的中點(diǎn)，∴AF⊥SB，又FG∩SB＝F，F(xiàn)G?平面SBC，SB?平面SBC，∴AF⊥平面SBC，又AF?平面ASB，∴平面ASB⊥平面CSB.(3)解存在點(diǎn)M滿足題意．假設(shè)在棱SB上存在點(diǎn)M，使得BD⊥平面MAC，連接MO，BE，則BD⊥OM，∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD為正三角形，∴BE＝eq\r(7)，SE＝eq\r(3)，BD＝2OB＝2eq\r(3)，SD＝2，SE⊥AD，∵側(cè)面SAD⊥底面ABCD，側(cè)面SAD∩底面ABCD＝AD，SE?平面SAD，∴SE⊥平面ABCD，∴SE⊥BE，∴SB＝eq\r(SE2＋BE2)＝eq\r(10)，∴cos∠SBD＝eq\f(SB2＋BD2－SD2,2SB·BD)＝eq\f(3\r(30),20)，∴eq\f(OB,BM)＝eq\f(3\r(30),20)，∴BM＝eq\f(2\r(10),3)，∴eq\f(BM,BS)＝eq\f(2,3).思維升華對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證．跟蹤訓(xùn)練3如圖(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖(2)．(1)求證：DE∥平面A1CB；(2)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ？請說明理由．(1)證明因?yàn)镈，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，所以DE∥BC.又因?yàn)镈E?平面A1CB，BC?平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)解線段A1B上存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如圖，分別取A1C，A1B的中點(diǎn)P，Q，連接PD，PQ，QE，則PQ∥BC.因?yàn)镈E∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即為平面DEQP.因?yàn)镈E⊥A1D，DE⊥DC，A1D∩DC＝D，A1D，DC?平面A1DC，所以DE⊥平面A1DC，又A1C?平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因?yàn)镻是等腰△DA1C底邊A1C的中點(diǎn)，所以A1C⊥DP.因?yàn)镈E∩DP＝D，DE，DP?平面DEQP，所以A1C⊥平面DEQP.從而A1C⊥平面DEQ.故線段A1B上存在點(diǎn)Q，使得A1C⊥平面DEQ.課時精練1．(2022·哈爾濱模擬)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α是平面，m，n不在α內(nèi)，下列結(jié)論中錯誤的是()A．m⊥α，n∥α，則m⊥nB．m⊥α，n⊥α，則m∥nC．m⊥α，m⊥n，則n∥αD．m⊥n，n∥α，則m⊥α答案D解析對于A，∵n∥α，由線面平行的性質(zhì)定理可知，過直線n的平面β與平面α的交線l平行于n，∵m⊥α，l?α，∴m⊥l，∴m⊥n，故A正確；對于B，若m⊥α，n⊥α，由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得m∥n，故B正確；對于C，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，又n?α，∴n∥α，故C正確；對于D，若m⊥n，n∥α，則m∥α或m與α相交或m?α，而m?α，則m∥α或m與α相交，故D錯誤．2．已知m，l是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列可以推出α⊥β的是()A．m⊥l，m?β，l⊥αB．m⊥l，α∩β＝l，m?αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．l⊥α，m∥l，m∥β答案D解析對于A，有可能出現(xiàn)α，β平行這種情況，故A錯誤；對于B，會出現(xiàn)平面α，β相交但不垂直的情況，故B錯誤；對于C，m∥l，m⊥α，l⊥β?α∥β，故C錯誤；對于D，l⊥α，m∥l?m⊥α，又由m∥β?α⊥β，故D正確．3.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內(nèi)部答案A解析由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1?平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.因?yàn)锳C?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上．4.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列命題中正確的是()A．AC與B1C是相交直線且垂直B．AC與A1D是異面直線且垂直C．BD1與BC是相交直線且垂直D．AC與BD1是異面直線且垂直答案D解析如圖，連接AB1，則△AB1C為等邊三角形，則AC與B1C是相交直線且所成角為60°，故A錯誤；因?yàn)锳1D∥B1C，所以AC與A1D是異面直線且所成角為60°，故B錯誤；連接CD1，因?yàn)锽C⊥平面CDD1C1，所以BC⊥CD1，所以BD1與BC所成角為∠D1BC，為銳角，故C錯誤；連接BD，因?yàn)锳C⊥BD，AC⊥DD1，且BD∩DD1＝D，BD，DD1?平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1，則AC⊥BD1，則AC與BD1是異面直線且垂直，故D正確．5.如圖，在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個結(jié)論不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC答案D解析因?yàn)锽C∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，故選項(xiàng)A正確；在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE?平面PAE，所以BC⊥平面PAE，因?yàn)镈F∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF?平面PDF，從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項(xiàng)B，C均正確．6．(2021·新高考全國Ⅱ改編)如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足MN⊥OP的是()A．①② B．①③C．②③ D．③④答案C解析設(shè)正方體的棱長為2，對于①，如圖(1)所示，連接AC，則MN∥AC，圖(1)故∠POC(或其補(bǔ)角)為異面直線OP，MN所成的角，在Rt△OPC中，OC＝eq\r(2)，CP＝1，故tan∠POC＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故MN⊥OP不成立．對于②，如圖(2)所示，取AN的中點(diǎn)B，連接PB，OB，圖(2)則OP＝eq\r(12＋\r(2)2)＝eq\r(3)，PB＝eq\r(2)，OB＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，所以O(shè)P2＋PB2＝OB2，所以O(shè)P⊥PB，又PB∥MN，所以O(shè)P⊥MN.對于③，如圖(3)所示，取AD的中點(diǎn)C，連接OC，PC，BD，因?yàn)镻，C分別是DE，AD的中點(diǎn)，所以CP⊥BD，又OC⊥平面ADEB，BD?平面ADEB，圖(3)所以O(shè)C⊥BD，又OC∩CP＝C，OC，CP?平面OCP，所以BD⊥平面OCP，所以BD⊥OP，又BD∥MN，所以O(shè)P⊥MN.對于④，如圖(4)所示，取AN的中點(diǎn)B，ME的中點(diǎn)F，連接PB，BF，OF，圖(4)若OP⊥MN，又OF⊥平面MENA，所以O(shè)F⊥MN，所以MN⊥平面OFBP，所以MN⊥BF，顯然，MN與BF不可能垂直，所以O(shè)P⊥MN不成立．7．已知△ABC在平面α內(nèi)，∠A＝90°，DA⊥平面α，則直線CA與DB的位置關(guān)系是________．答案垂直解析∵DA⊥平面α，CA?平面α，∴DA⊥CA，在△ABC中，∵∠A＝90°，∴AB⊥CA，且DA∩BA＝A，DA，BA?平面DAB，∴CA⊥平面DAB，又DB?平面DAB，∴CA⊥DB.8.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足____________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認(rèn)為正確的條件即可)答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，連接AC(圖略)，則BD⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.9.如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.證明(1)在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳B⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因?yàn)镋F?平面ABC，AB?平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因?yàn)锳D?平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB，BC?平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因?yàn)锳C?平面ABC，所以AD⊥AC.10.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，側(cè)面PAD為等邊三角形．(1)求證：AD⊥PB；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)E為PB的中點(diǎn)，求三棱錐P－ADE的體積．(1)證明如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OB，OP，BD，因?yàn)椤鱌AD為等邊三角形，O是AD的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AD，因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠BAD＝60°，所以△ABD是等邊三角形，OB⊥AD，因?yàn)镺P∩OB＝O，OP，OB?平面POB，所以AD⊥平面POB，因?yàn)镻B?平面POB，所以AD⊥PB.(2)解因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為2的菱形，△PAD為等邊三角形，所以PA＝PD＝AD＝2，PO＝eq\r(3)，底面ABCD的面積為2eq\r(3)，因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，所以PO⊥平面ABCD，因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以VP－ADE＝VB－ADE＝eq\f(1,2)VP－ABD＝eq\f(1,4)VP－ABCD＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\r(3)×2eq\r(3)＝eq\f(1,2).11.《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”．在如圖所示的四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點(diǎn)，則圖中的鱉臑有()A．2個 B．3個C．4個 D．5個答案C解析由題意，因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥DC，PD⊥BC，又四邊形ABCD為正方形，所以BC⊥CD，因?yàn)镻D∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD，BC⊥PC，所以四面體P－DBC是一個鱉臑，因?yàn)镈E?平面PCD，所以BC⊥DE，因?yàn)镻D＝CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DE⊥PC，因?yàn)镻C∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC，可知四面體E－BCD的四個面都是直角三角形，即四面體E－BCD是一個鱉臑，同理可得，四面體P－ABD和F－ABD都是鱉臑．12．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)．現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H.那么，在這個空間圖形中必有()A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF答案B解析根據(jù)折疊前、后AH⊥HE，AH⊥HF不變，∴AH⊥平面EFH，B正確；∵過A只有一條直線與平面EFH垂直，∴A不正確；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，AG，GH?平面HAG，∴EF⊥平面HAG，又EF?平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，過點(diǎn)H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內(nèi)，∴C不正確；由條件證不出HG⊥平面AEF，∴D不正確．13.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，當(dāng)?shù)酌鍭1B1C1滿足條件________時，有AB1⊥BC1.(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況)答案A1C1⊥B1C1解析當(dāng)?shù)酌鍭1B1C1滿足條件A1C1⊥B1C1時，有AB1⊥BC1.理由如下：∵AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，∴四邊形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，∵CC1∥AA1，∴A1C1⊥CC1.又A1C1⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，CC1，B1C1?平面BCC1B1，∴A1C1⊥平面BCC1B1，∵AC∥A1C1，∴AC⊥平面BCC1B1，∵BC1?平面BCC1B1，∴BC1⊥AC，∵AC∩B1C＝C，AC，B1C?平面ACB1，∴BC1⊥平面ACB1，∴又AB1?平面ACB1，∴AB1⊥BC1.14．(2022·廣州模擬)如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面四邊形ABCD為矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q分別是線段BS，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)R在線段SD上．若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，則AR＝______.答案eq\f(4\r(5),5)解析如圖，取SA的中點(diǎn)E，連接PE，QE.∵SA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴SA⊥AB，而AB⊥AD，AD∩SA＝A，AD，SA?平面S