新教材2023年高中數(shù)學(xué)第6章概率5正態(tài)分布課件北師大版選擇性必修第一冊(cè)

第六章概率§5正態(tài)分布課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀1．了解二項(xiàng)分布與正態(tài)曲線的關(guān)系，能借助正態(tài)曲線理解正態(tài)曲線的性質(zhì)．2．掌握正態(tài)分布的定義，會(huì)利用正態(tài)分布解決實(shí)際問(wèn)題．3．了解正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換，能利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率.1．通過(guò)學(xué)習(xí)正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的素養(yǎng)．2．借助正態(tài)分布中的“3σ原則”解題及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)φ(x)的函數(shù)值計(jì)算正態(tài)分布X～N(μ，σ2)在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).必備知識(shí)·探新知關(guān)鍵能力·攻重難課堂檢測(cè)·固雙基必備知識(shí)·探新知知識(shí)點(diǎn)1正態(tài)曲線(2)性質(zhì)：①正態(tài)曲線關(guān)于直線_______對(duì)稱，具有“_________，_________”的特點(diǎn)；②正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形面積為_(kāi)___；③曲線的形態(tài)由參數(shù)σ確定，________，曲線越“胖”；________，曲線越“瘦”．x＝μ

中間高兩邊低1

σ越大σ越小(3)面積：正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間[μ，μ＋σ]內(nèi)所圍面積約為_(kāi)__________，在區(qū)間[μ＋σ，μ＋2σ]內(nèi)所圍面積約為_(kāi)__________，在區(qū)間[μ＋2σ，μ＋3σ]內(nèi)所圍面積約為_(kāi)__________.如圖．0.3413

0.1359

0.0215

(1)定義：一般地，如果隨機(jī)變量X落在區(qū)間[a，b]內(nèi)的概率，總是等于φμ，σ(x)對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間[a，b]內(nèi)圍成的_______，則稱X服從參數(shù)為μ與σ的正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2)，此時(shí)__________稱為X的概率密度函數(shù)，μ是X的_______，σ是X的_________，σ2是X的_______.知識(shí)點(diǎn)2正態(tài)分布面積φμ，σ(x)

均值標(biāo)準(zhǔn)差方差(2)三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__________，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈__________，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈__________.(3)“3σ原則”：由P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%知，正態(tài)變量X在區(qū)間[μ－3σ，μ＋3σ]之外取值的概率約為_(kāi)________(這樣的事件可看成小概率事件)．68.3%

95.4%

99.7%

0.3%

(1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的定義：_____________的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．(2)Φ(a)的概念：如果X～N(0，1)，那么對(duì)于任意a，通常記Φ(a)＝P(X<a)，即Φ(a)表示N(0，1)對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線與x軸的區(qū)間(－∞，a)內(nèi)所圍的面積．(3)Φ(a)的性質(zhì)：Φ(－a)＋Φ(a)＝____.知識(shí)點(diǎn)3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布μ＝0且σ＝1

1

關(guān)鍵能力·攻重難題型探究

設(shè)X～N(10，1)．(1)求證：P(1<X<2)＝P(18<X<19)；(2)若P(X≤2)＝a，求P(10<X<18)．[解析]

(1)證明：∵X～N(10，1)，∴正態(tài)曲線φμ，σ(x)關(guān)于直線x＝10對(duì)稱，而區(qū)間(1，2)和(18，19)關(guān)于直線x＝10對(duì)稱，即P(1<X<2)＝P(18<X<19)．典例1[規(guī)律方法]

正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略(1)充分利用正態(tài)曲線對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.(2)熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?(1)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，則P(－2<ξ<2)＝

(

)A．0.477

B．0.625

C．0.954

D．0.977(2)設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，若P(ξ>c)＝a，則P(ξ>4－c)等于

(

)A．a(chǎn)

B．1－a

C．2a

D．1－2a[解析]

(1)P(－2<ξ<2)＝1－2P(ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954.(2)對(duì)稱軸x＝2，∴P(ξ>4－c)＝1－P(ξ>c)＝1－a.C

B

角度1求給定區(qū)間的概率

數(shù)學(xué)考試試卷滿分是150分，設(shè)在一次考試中，某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)X近似服從正態(tài)分布，且均值為110，標(biāo)準(zhǔn)差為20.求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中分?jǐn)?shù)在90分以上的概率．題型二實(shí)際問(wèn)題中的正態(tài)分布典例2[解析]

由題意可知，分?jǐn)?shù)X～N(110，202)，μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X≥110－20)＝P(X≥μ－σ)，因?yàn)镻(X≤μ－σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)＝2P(X≤μ－σ)＋0.683＝1，所以P(X≤μ－σ)＝0.1585，所以P(X≥90)＝1－P(X≤μ－σ)＝1－0.1585＝0.8415.角度2實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外徑尺寸X～N(4，0.25)．質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機(jī)抽查一件，測(cè)得它的外徑為5.7cm，試問(wèn)該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？[分析]

判斷某批產(chǎn)品是否合格，主要運(yùn)用統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想．欲判定這批零件是否合格，關(guān)鍵是看隨機(jī)抽查的一件產(chǎn)品的外徑尺寸是在(μ－3σ，μ＋3σ)之內(nèi)還是在(μ－3σ，μ＋3σ)之外．典例3[解析]

由于圓柱形零件的外徑尺寸X～N(4，0.25)，由正態(tài)分布的特征可知，X在區(qū)間(4－3×0.5，4＋3×0.5)(即(2.5，5.5))之外取值的概率約為0.0027.而5.7?(2.5，5.5)，這說(shuō)明在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，根據(jù)統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想，認(rèn)為該廠生產(chǎn)的這批產(chǎn)品是不合格的．[規(guī)律方法]

解答正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用題的關(guān)注點(diǎn)(1)方法：轉(zhuǎn)化法，把普通的區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ區(qū)間，由特殊區(qū)間的概率值求出．(2)理論基礎(chǔ)：①正態(tài)曲線的對(duì)稱性；②曲線與x軸之間的面積為1；③P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的概率值．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?

在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)服從一個(gè)正態(tài)分布，即ξ～N(90，100)．(1)試求考試成績(jī)?chǔ)挝挥趨^(qū)間(70，110]內(nèi)的概率；(2)若這次考試共有2000名考生，試估計(jì)考試成績(jī)?cè)?80，100]間的考生大約有多少人．[解析]

∵ξ～N(90，100)，∴μ＝90，σ＝10.(1)在該正態(tài)分布中，μ－2σ＝70，μ＋2σ＝110，∵P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545，∴考試成績(jī)?chǔ)挝挥趨^(qū)間(70，110]內(nèi)的概率為0.9545.(2)μ－σ＝80，μ＋σ＝100，∵P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827，∴考試成績(jī)?chǔ)挝挥趨^(qū)間(80，100]內(nèi)的概率為0.6827.由共有2000名考生，知考試成績(jī)?cè)?80，100]間的考生大約有2000×0.6827≈1365(人)．

在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(70，100)．已知成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生有12名．(1)試問(wèn)此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？(2)若該校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前50名的學(xué)生，試問(wèn)設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線約為多少分？可供查閱的(部分)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表Φ(x0)＝P(x<x0)題型三標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及其應(yīng)用典例4x001234567891.20.88490.88690.8880.890770.89250.89440.89620.89800.89970.90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92780.92920.93060.93161.90.977130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97620.97672.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.98172.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?

設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，1)，(1)求Φ(－3)的值；(2)若Φ(0.42)＝0.6628，求Φ(－0.42)．易錯(cuò)警示對(duì)正態(tài)曲線的性質(zhì)理解不準(zhǔn)確致錯(cuò)

設(shè)ξ～N(1，4)，那么P(5<ξ<7)＝___________.典例50.0214

課堂檢測(cè)·固雙基[解析]

正態(tài)曲線函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝μ>0對(duì)稱，故選D．D

B

3．若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，且P(X≤a)＝P(X>a)，則a的值為

(

)A．0

B．μ

C．－μ

D．σ[解析]

隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，∵P(X≤a)＝P(X>a)，P(X≤a)＋P(X>a)＝1