概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件講

則稱X為連續(xù)型隨機變量,稱f(x)

為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度

.一、連續(xù)型隨機變量及其概率密度,使

X取值于任一區(qū)間(a,b]的概率都可以表示為,

對于隨機變量X,如果存在非負可積函數(shù)f(x),

定義§2.3

連續(xù)型隨機變量與隨機變量的分布函數(shù)故

X在某點x的概率密度值f(x),恰好是X落在區(qū)間上的平均概率在時的的極限.對f(x)的進一步理解:表示隨機變量X

取值于的概率近似等于.若不計高階無窮小,有注:概率密度的性質(zhì)1o2o【注】這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù)f(x)是否為某隨機變量X的概率密度的充要條件0xf(x)面積為1幾何意義:特征性質(zhì):可計算X落在(a,b]內(nèi)的概率對于任意區(qū)間(a,b],有0xf(x)ab1)其他性質(zhì)：幾何意義:令，

連續(xù)型隨機變量取任一指定實數(shù)值a的概率均為0.即這是因為：2)即得由P(B)=1,不能推出

B=Ω由P(A)=0,不能推出結(jié)論：對連續(xù)型隨機變量X,有3)0xf(x)ab幾何意義:解先求待定常數(shù)a：例1：

再求X在區(qū)間上取值的概率：1.均勻分布則稱X服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布，二、常見的連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)若隨機變量X的概率密度為：記作X～均勻分布的意義：即：X落在區(qū)間[a,b]的任意子區(qū)間[c,d]內(nèi)的概率只與區(qū)間長度有關(guān)而與區(qū)間所在位置無關(guān)。X在區(qū)間[a,b]中“等可能”地取值。

又如公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等.均勻分布常見于下列情形：

如在數(shù)值計算中，對小數(shù)點后第一位小數(shù)進行四舍五入時產(chǎn)生的誤差（舍入誤差）一般認為服從[-0.5,0.5]上的均勻分布；例2

某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時刻有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間X

是7:00到7:30之間的均勻隨機變量,試求他候車時間不多于5分鐘的概率.解:依題意，以7:00為起點0，以分為單位X～為使候車時間少于5分鐘，乘客到達車站的時間X必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間.故所求概率為：即乘客候車時間不多于5分鐘的概率是1/3.可靠性統(tǒng)計研究中，如元件壽命.2.指數(shù)分布

若隨機變量X具有概率密度為為常數(shù),則稱X

服從參數(shù)為的指數(shù)分布.

記作：X～指數(shù)分布常見于：例3

設某類日光燈管的使用壽命X(單位:小時).

服從參數(shù)為λ=0.0002的指數(shù)分布。任取一只這種燈管,求能正常使用3000小時以上的概率.

解:P{X>3000}X～3.正態(tài)分布

若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為其中和(>0)都是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布或高斯分布.記作X～事實上：

注：

必有下述性質(zhì)：

正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖形與性質(zhì)關(guān)于x=

對稱；（-，）升，（，+）降，單調(diào)性對稱性拐點中間高兩邊低y-+x在處有拐點：漸近線當時，曲線以x軸為漸近線。μ，σ對密度曲線的影響１2由兩個參數(shù)μ和σ唯一確定.正態(tài)分布:標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布是的正態(tài)分布，是最重要的一種正態(tài)分布。若X服從標準正態(tài)分布，則記作：X～的密度函數(shù)常用表示：標準正態(tài)分布記則

事實上，為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)。即的關(guān)系式：的性質(zhì):

注：書末附有標準正態(tài)分布的分布函數(shù)Φ(x)在x>0時的函數(shù)值表，故Φ(x)的計算可完全解決：x>0時,Φ(x)的值查表可得.x<0時,Φ(x)的值可由得到。x=0時,(3)若X～N(0,1),則注：標準正態(tài)分布的概率計算問題可由Φ(x)解決。正態(tài)分布的概率計算定理1若X～，則對任任意a,b(a＜b),有結(jié)論：定理1證明：則注:若則：

一般正態(tài)分布的概率計算問題也可以由Φ(x)解決.定理1證明例5已知某臺機器生產(chǎn)的螺栓長度X（單位：厘米）服從參數(shù)的正態(tài)分布。規(guī)定螺栓長度在內(nèi)為合格品，試求螺栓為合格品的概率。根據(jù)假設X～N（10.05,0.062），b=10.05+0.12,則=2×0.9772-1=0.9544=Φ(2)-Φ(-2)=2Φ(2)-1記a=10.05-0.12，X

～

,求該地區(qū)成年男性的身高超過175厘米的概率。例6

假定某地區(qū)成年男性的身高(單位：厘米)即該地區(qū)成年男性的身高超過175厘米的概率為0.2578根據(jù)假設X

～P{成年男性的身高超過175厘米},故解P(X≥h)≤0.01故即例7

公共汽車車門的高度是按男子在車門碰頭的機會在0.01以下來設計的.設男子身高X～N(170,62),問車門的最低高度應為多少?設車門高度為hcm,按設計要求因為X～N(170,62),查表得(2.33)=0.9901因而≥

2.33,即

h≥170+13.98184因而車門的最低高度應為184厘米.標準正態(tài)分布的上分位點設若數(shù)滿足條件則稱點為標準正態(tài)分布的上分位點.注：若為標準正態(tài)分布的上分位點.則四、分布函數(shù)分布函數(shù)

F(x)的值就是

X落在區(qū)間內(nèi)的概率.設

X

是一個隨機變量，稱為X

的分布函數(shù)

,記作F

(x)

.=P{X≤b}-P{X≤a

}(1)在分布函數(shù)的定義中,X是隨機變量,x是自變量.(2)

對任意實數(shù)a<b，隨機點落在區(qū)間(a,b

]內(nèi)的概率為：P{a<X≤b}

因此，只要知道了隨機變量X的分布函數(shù)F(X),它取值的規(guī)律也可得到解決。=F(b)-F(a)請注意:分布函數(shù)的性質(zhì)(1)事實上:(2)

且(3)F(x)右連續(xù)，即

以上三條隨機變量的分布函數(shù)的特征性質(zhì).設離散型隨機變量X的分布律是P{X=xk

}=pk,

k=1,2,3,…

F(x)=P(X

x)=

即F(x)的值是X

取的諸值xk

的概率之和.則其分布函數(shù)離散型隨機變量的分布函數(shù)

當x<0時，當

0x<1時，F(xiàn)(x)=P{X

x}=P{X=0}=F(x)=P{X≤x}解:例1設隨機變量X的分布律為X求X

的分布函數(shù)F(x).,故F(x)=0,故當1x<2時，F(xiàn)(x)=P{X=0}+P{X=1}=F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1當x2時，故圖形如下：連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)

(1)若已知連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)f(x),則(2)若已知連續(xù)型隨機變量X分布函數(shù)F(x),則在其可導點處,有由此知連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x)是一個連續(xù)函數(shù).設連續(xù)隨機變量的概率密度求：解：根據(jù)概率密度的性質(zhì)，有即常數(shù)的值；隨機變量落在區(qū)間內(nèi)的概率；隨機變量的分布函數(shù).(1)(3)(2)(1)例2由此得隨機變量的概率密度為于是,所求概率(3)(2)隨機變量的分布