2006年四川初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初二組決賽試卷

2006年四川省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（初二組）決賽試卷一、選擇題（共6小題，每小題7分，滿分42分）TOC\o"1-5"\h\z1、若a+b=10，a3+b3=100，貝Ua2+b2=（ ）A、20B、30 C、40 D、502、使得3n+81為完全平方數(shù)的正整數(shù)n的值為（ ）A、2B、3 C、4 D、53、設(shè)m,n是自然數(shù)，并且19n2-98n-m=0,則m+n的最小值是（ ）A、100 B、102 C、200D、不能確定4、滿足方程x3+6x2+5x=27y3+9y2+9y+1的正整數(shù)對(duì)（x,丫）有（ ）A、0對(duì) B、1對(duì)C、3對(duì) D、無數(shù)對(duì)5、在同一直角坐標(biāo)系中，解析式為y=kx+b（kW0,其中k,b為實(shí)數(shù)）的直線有無數(shù)條，在這些直線中不論怎樣抽取，問至少要取多少條直線才能保證其中有兩條直線經(jīng)過完全相同的象限（）A、4條B、5條 C、6條 D、7條6、在RtAABC中，斜邊c=10,兩直角邊aW8,bN8,則a+b的最大值是（ ）A、10V2 B、14 C、3</13D、16二、填空題（共4小題，每小題7分，滿分28分）7、設(shè)a1,a2,…，ak為k個(gè)互不相同的正整數(shù)，且a1+a2+???+ak=1995,那么k的最大值是 .8、二次多項(xiàng)式x2+2kx-3k2能被x-1整除，那么k的值是 . 黑9、如圖所示，在4ABC中，NBAC=120°, = =10v'%,m,一動(dòng)點(diǎn)P /從B向C以每秒2cm的速度移動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)秒時(shí)，PA與腰垂直. // \*10、已知a+2b+3c=6,則a2+2b2+3c2的取值范圍是. p三、解答題（共3小題，滿分70分）11、根據(jù)《中華人民共和國個(gè)人所得稅》規(guī)定四川省從2006年起實(shí)施新的個(gè)人所得稅征收方案，公民的月工資、薪金所得不超過1600元的部分不必納稅，超過1600元的部分為全月應(yīng)納稅所得額.些項(xiàng)稅款按下表（《第華西都市報(bào)》2005年10月22日）累進(jìn)計(jì)算：個(gè)人所得稅稅率表：（工資、薪金所得適用）級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率（％）1不超過500元的部分52超過500元至2000的部分103超過2000元至5000的部分154超過5000元至20000的部分205超過2000元至40000的部分256超過40000元至60000的部分307超過60000元至80000的部分358超過80000元至100000的部分40超過100000的部分45（應(yīng)納稅稅額=應(yīng)納稅所得額X對(duì)應(yīng)的稅率）按此規(guī)定解答下列問題：(1)設(shè)某人的月工資、薪金所得為X元(1900Vx<3600),需要交的所得稅款為y元，試寫出y與x的關(guān)系式；(2)若某人當(dāng)月繳納的所得稅款為405元，那么他當(dāng)月的工資、薪金是多少元？(結(jié)果保留到個(gè)位)12、已知正整數(shù)m,n都是質(zhì)數(shù)，并且7m+n,mn+11也是質(zhì)數(shù)，試求(mn)n+(nm)m的值.13、如圖，正方形ABCD和正方形CGEF(CG>BC),連接AE,取線段AE的中點(diǎn)M.證明：FMLMD,且FM二MD.1、考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用；代數(shù)式求值分析：利用立方和公式因式分解a3+b3得出a2+b2與ab的關(guān)系，再利用a+b=10求出a2+b2的值.解答：解：^.^a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=100,又?「a+b=10,，a2-ab+b2=10,又（a+b）2=a2+b2+2ab=100,，a2+b2= = =40.故選C.點(diǎn)評(píng)：考查了立方和公式與因式分解的應(yīng)用，同時(shí)還隱含了整體的數(shù)學(xué)思想和正確運(yùn)算的能力.2、考點(diǎn)：完全平方數(shù)專題：計(jì)算題分析：分別討論n<4及n>4的情況，然后提取公因式后將各選項(xiàng)代入即可判斷出答案.解答：解：當(dāng)n<4時(shí)，沒有整數(shù)解；當(dāng)n>4時(shí)，3n+81=34(3n-4+1),...只需3n-4+1是完全平方數(shù)即可.代入可得n=5時(shí)符合題意.故選D.點(diǎn)評(píng)：本題考查完全平方數(shù)的知識(shí)，難度較大，注意仔細(xì)地分析，然后利用因式分解的知識(shí)解答.3、考點(diǎn)：二次函數(shù)的最值專題：計(jì)算題分析：根據(jù)19n2-98n-m=0,m=19n2-98n,貝Um+n=19n2-98n+n,根據(jù)配方法即可得出答案.解答：解：使19n2-98n〉0且最小時(shí)的n的較小正整數(shù)根，此時(shí)m=19n2-98n,m+n取得最小值，可作函數(shù)圖象y=19x2-98x〉0,使用不等式逼近，解得n=6,m=96,Am+n最小值=6+96=102.故選B.點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的最值，難度較大，做題的關(guān)鍵是運(yùn)用不等式逼近解出m,n的值.4、考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用專題：計(jì)算題；分類討論分析：觀察方程x3+6x2+5x=27y3+9y2+9y+1可發(fā)現(xiàn)27y3+9y2+9y+1=3(9y3+3y2+3y)+1,假設(shè)3(9y3+3y2+3y)+1=3k+1,則可知3(9y3+3y2+3y)+1為奇數(shù).分別分x=3n+1,x=3n+2,討論x(x+5)(x+1)的結(jié)果是不是等于奇數(shù).進(jìn)而求出滿足條件的正整數(shù)對(duì)(x,y).解答：解：x(x+5)(x+1)=3(9y3+3y2+3y)+1=3k+1,首先，x(x+5)(x+1)必須不是3的倍數(shù)，令x=3n+1,則x+5=3n+6為3的倍數(shù)，令x=3n+2,則x+1=3n+3為3的倍數(shù)，所以，滿足此方程的x必須既不是3的倍數(shù)，不能等于3n+1,也不能等于3n+2.故此題無正整數(shù)解.故選A.點(diǎn)評(píng):本題考查因式分解.做好本題的關(guān)鍵是對(duì)『”兩邊的式子進(jìn)行因式分解，并假設(shè)等式成立，就x取值，討論27y3+9y2+9y+1的存在性.5、考點(diǎn)：函數(shù)的圖象專題：分類討論分析：找到所有直線的可能情況總數(shù)即可.解答：解：若k〉0,b〉0,則函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限；若k>0,b<0,則函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限；若k>0,b=0,則函數(shù)經(jīng)過一三象限；若k<0,b>0,則函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限；若k<0,b<0,則函數(shù)經(jīng)過二、三、四象限；若k<0,b=0,則函數(shù)經(jīng)過二、四象限；共有6種情況，...至少要取7條直線才能保證其中有兩條直線經(jīng)過完全相同的象限，故選D.點(diǎn)評(píng)：考查一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)；根據(jù)k和b的取值得到可能的情況總數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.6、考點(diǎn)：勾股定理分析：已知一斜邊的長，分別假設(shè)兩直角為8,然后根據(jù)勾股定理求得另一直角邊的長，再結(jié)合題意進(jìn)行分析從而求解.解答：解：..?在Rt^ABC中，斜邊c=10,兩直角邊a<8,b>8....①當(dāng)a=8時(shí)，b=『''102—]*=6<8,不符合題意，故舍去;②當(dāng)b=8時(shí)，a=V'l02—22=6<8,符合題意；...a+b的最大值=6+8=14.故選B.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理的理解及運(yùn)用，注意由勾股定理求的值要代入條件看是否符合題意.7、考點(diǎn)：函數(shù)最值問題專題：計(jì)算題帥+1)分析：根據(jù)題意可設(shè)a1Va2<…<ak.則1+2+3+…+k<a1+a2+…+2/即一<一<1995,解關(guān)于k的不等式即可.解答：解：設(shè)a1Va2<…<ak.Va1,a2，…，ak為k個(gè)互不相同的正整數(shù)，Aa1>1,%>2,…ak>k,.1+2+3+…+k<a1+a2+…+2/即 < <1995,解得，1<k<62；.k的最大值是62.故答案為：62.點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的最值問題.解答此題時(shí)，不要忽略已知條件“a1,a2,…，ak為k個(gè)互不相同的正整數(shù)”中的“互不相同”這一條件.8、考點(diǎn)：整式的除法專題：計(jì)算題分析：由于多項(xiàng)式x2+2kx-3k2能被x-1整除，就說明x=1能使多項(xiàng)式x2+2kx-3k2,等于0,把x=1代入多項(xiàng)式，得到關(guān)于k的一元二方程，解即可.解答：解：?.?多項(xiàng)式x2+2kx-3k2能被x-1整除，，x-1就是多項(xiàng)式x2+2kx-3k2的因式，，x-1=0,即x=1就是多項(xiàng)式x2+2kx-3k2的解，，12+2k-3k2=0,解關(guān)于k的一元二次方程得1k1=1,k2=三，1故答案是：k=1或k=-3.點(diǎn)評(píng)：本題考查的是多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，注意理解整除的含義，比如A被B整除，另外一層意思也就是說，B是A的公因式，使公因式B等于0的值，必是A的一個(gè)解.9、考點(diǎn)：含30度角的直角三角形專題：應(yīng)用題分析：在^ABC中，NBAC=120°,AB=AC,可得/8=/。=30°,過點(diǎn)A作ADXBC于D,即可得出BC的長，本題主要分兩種情況，①當(dāng)PALAC,即有PC=2AP,利用勾股定理即可得出PC的長，即可得出BP；②當(dāng)PA垂直AB時(shí)，解答同①.解答：解：過點(diǎn)A作ADXBC于點(diǎn)D,根據(jù)題意，可得BD=15,即BC=30；①當(dāng)PA±AC,即PC=2AP,在RtAPAC中，可得PC=20,BP=10,即此時(shí)點(diǎn)P經(jīng)過5秒.②當(dāng)PAXAB時(shí)，即PB=2AP,在RtAPAB中，可得PB=20,即點(diǎn)P已經(jīng)經(jīng)過0秒.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查是解含有30°角的直角三角形，要求學(xué)生能夠熟練應(yīng)用.10、考點(diǎn)：拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配方、待定系數(shù)法分析：根據(jù)代入法將a=6-2b-3c代入a2+2b2+3c2,即可求出b,c的式子，再利用配方法得出完全平方公式，即可得出答案.解答：解：?.?a+2b+3c=6,，a=6-2b-3c,，(6-2b-3c)2+2b2+3c2=36+4b2+9c2-24b-36c+12bc+2b2+3c2=6(b2+2c2-4b-6c+2bc+6)=6[(b2+2bc+c2-4b-4c+4)+(c2-2c+1)+1]=6[(b+c-2)2+(c-1)2+1]=6(b+c-2)2+6(c-1)2+6>6,...a2+2b2+3c2的取值范圍是：大于等于6.故答案為：大于等于6.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配方法的綜合應(yīng)用，根據(jù)已知得出關(guān)于b,c的完全平方公式是解題關(guān)鍵.11、考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題列一次函數(shù)關(guān)系式；一元一次方程的應(yīng)用專題：計(jì)算題分析：(1)：1900<x<3600,，300<x-1600<2000,根據(jù)圖表即可列U出等式；(2)根據(jù)405=(x-2000)x15%+(2000-500)x10%+500x5%即可求出某人當(dāng)月繳納的所得額，從而可求出他當(dāng)月的工資、薪金.解答：解：(1)—1900<x<3600,.\300<x-1600<2000,...y=(x-1600-500)x10%+500x5%,即y=0.1x-105；(2)某人當(dāng)月繳納的所得額x應(yīng)在2000至5000之間，即405=(x-2000)x15%+(2000-500)x10%+500x5%,解得：x=3533,.?.他當(dāng)月的工資、薪金是1600+3533=5133元.點(diǎn)評(píng)：解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解.12、考點(diǎn)：質(zhì)數(shù)與合數(shù)專題：分類討論分析：先根據(jù)已知條件判斷出mn為偶數(shù)，再由m、n為質(zhì)數(shù)可知m,n中至少有一個(gè)為2,再分m=n=2、m=2、m=2三種情況進(jìn)行討論，求出符合條件的m、n的值，再代入所求代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算.解答：解：?.,mn+11為質(zhì)數(shù)，且mn+11>11,Amn+11為奇質(zhì)數(shù)，故mn為偶數(shù)，又m,n為質(zhì)數(shù)，所以m,n中至少有一個(gè)為2.(5分)(1)當(dāng)m=n=2時(shí)，mn+11=15不為質(zhì)數(shù)，矛盾.(10分)(2)當(dāng)m=2,n#2時(shí)，由n+14,2n+11均為質(zhì)數(shù)可知n=3,否則，當(dāng)n=3k+1(k為正整數(shù))時(shí)，n+14=3k+15=3(k+5)為合數(shù)，矛盾；當(dāng)n=3k+2時(shí)，2n+11=6k+15=3(2k+5)為合數(shù)，矛盾；故n=3,此時(shí)，mn+11=17,7m+n=17均為質(zhì)數(shù)，符合題意.(15分)(3)當(dāng)n=2時(shí)，mn+11=2m+11,7m+n=7m+2,它們均為質(zhì)數(shù)，此時(shí)必有m=3,否則令m=3k+1,mn+11=6k+12=6(k+2)為合數(shù)，矛盾;令m=3k+2,7m+n=21k+9=3(7k+3)為合數(shù)，矛盾；故m=3.(20分)所以(m,n)=(2,3),(3,2).所以(mn)n+(nm)m=593.(25分)故答案為：593.點(diǎn)評(píng)：本題考查的是質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念，解答此題的關(guān)鍵是熟知2既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)這一知識(shí)點(diǎn).13、考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)專題：證明題分析：過點(diǎn)E作AD的平行線分別交DM、DC的延長線于N、H,連接DF、FN.求證4AMD絲AEMN,根據(jù)正方形ABCD和CGEF證明NDCF=N5=NNEF,進(jìn)而求證ADCF絲ANEF,求證NCFN=90°.解答： 。證明：如圖，過點(diǎn)E作AD的平行線分別交DM、DC的延長線于N、H,連接DF、FN.AZADC=ZH,Z3=Z4.VAM=ME,Z1=Z2,「.△AMD絲AEMN，DM=NM,AD=EN.「ABCD和C