空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖

空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖第一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日第二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日1.多面體的結(jié)構(gòu)特征多面體結(jié)構(gòu)特征棱柱棱柱的側(cè)棱都_____且_____，上下底面是_____且_____的多邊形棱錐棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個_________的三角形棱臺棱臺可由_______棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面是_____且_____的多邊形平行相等平行全等公共頂點平行于平行相似第三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征圓柱圓柱可由_____繞其任意一邊旋轉(zhuǎn)得到圓錐圓錐可以由直角三角形繞其_______旋轉(zhuǎn)得到圓臺圓臺可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由_____于圓錐底面的平面截圓錐得到球球可以由半圓或圓繞_____旋轉(zhuǎn)得到矩形直角邊平行直徑第四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日3.三視圖(1)名稱:幾何體的三視圖有:_______、_______、_______.(2)畫法:①畫三視圖時，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線；②三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的_____方、_____方、_____方觀察幾何體得到的正投影圖.(3)規(guī)則:①畫法規(guī)則：長對正、高平齊、寬相等；②擺放規(guī)則：側(cè)視圖在正視圖的右側(cè)，俯視圖在正視圖的下方.正視圖側(cè)視圖俯視圖正前正左正上第五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日4.空間幾何體的直觀圖的畫法空間幾何體的直觀圖常用_______畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中,x′軸、y′軸的夾角為______________，z′軸與x′軸和y′軸所在平面_____.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中________________，平行于x軸和z軸的線段長度在直觀圖中長度_____，平行于y軸的線段長度在直觀圖中長度為___________.斜二測45°(或135°)垂直仍平行于坐標(biāo)軸原來的一半不變第六頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”).(1)有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.()(2)有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.()(3)一個棱柱至少有5個面,面數(shù)最少的一個棱錐有4個頂點,頂點最少的一個棱臺有3條側(cè)棱.()第七頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日(4)用斜二測畫法畫水平放置的∠A時,若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A=90°，則在直觀圖中,∠A=45°.()(5)正方體、球、圓錐各自的三視圖中,三視圖均相同.()【解析】(1)錯誤.盡管幾何體滿足了兩個面平行且其他各面都是平行四邊形,但不能保證每相鄰兩個側(cè)面的公共邊互相平行.如圖,該幾何體并不是棱柱.第八頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日(2)錯誤.盡管幾何體滿足了一個面是多邊形,其余各面都是三角形,但不能保證三角形具有公共頂點.(3)正確.面數(shù)最少的棱柱為三棱柱,有5個面;面數(shù)最少的棱錐為三棱錐,有4個頂點;頂點最少的棱臺為三棱臺,有3條側(cè)棱.(4)錯誤.∠A應(yīng)為45°或135°.(5)錯誤.正方體的三視圖由于正視的方向不同,其三視圖的形狀可能不同,圓錐的側(cè)視圖與俯視圖顯然不相同.答案:(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×

第九頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日1.下列結(jié)論中正確的是()(A)各個面都是三角形的幾何體是三棱錐(B)以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐(C)棱錐的側(cè)棱長與底面正多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐(D)圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的連線都是母線第十頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【解析】選D.當(dāng)一個幾何體由具有相同的底面且頂點在底面兩側(cè)的兩個三棱錐構(gòu)成時，盡管各面都是三角形，但它不是三棱錐，故A錯誤；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直線，所得幾何體就不是圓錐，故B錯誤；以正六邊形為底面，則棱長必然要大于底面邊長，故C錯誤，所以選D.第十一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日2.用任意一個平面截一個幾何體,各截面都是圓面,則這個幾何體一定是()(A)圓柱(B)圓錐(C)球體(D)圓柱、圓錐、球體的組合體【解析】選C.由幾何體的結(jié)構(gòu)特征可知,該幾何體一定是球體.

第十二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日3.一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示,則這個幾何體的俯視圖不可能是()第十三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【解析】選D.∵該幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是正方形,∴其可能為正方體、底面直徑與高相等的圓柱體及底面是等腰直角三角形且其腰長等于棱柱高的直三棱柱,但不可能是一個底面長與寬不相等的長方體.第十四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日4.用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖是如圖所示的一個正方形,則原來的圖形是()第十五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【解析】選A.由直觀圖的畫法規(guī)則可知,平行于x軸的線段長度不變,平行于y軸的線段長度減半.第十六頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日5.若一個三棱柱的三視圖如圖所示,其俯視圖為正三角形,則這個三棱柱的高和底面邊長分別為________,________.第十七頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【解析】由三視圖的畫法可知,該三棱柱的高為2,底面正三角形的高為,則底面邊長為4.答案:24第十八頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日考向1

空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【典例1】(1)給出下列命題:①棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面都是全等的平行四邊形;②用一個平面去截棱錐,棱錐底面與截面之間的部分是棱臺;③若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則其三個側(cè)面也兩兩垂直;④若四棱柱有兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱;第十九頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日⑤存在每個面都是直角三角形的四面體;⑥棱臺的側(cè)棱延長后交于一點.其中正確命題的序號是()(A)①②③④(B)②③④⑤(C)③④⑤⑥(D)①②③④⑤⑥第二十頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日(2)給出下列命題:①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓柱的母線;②在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓臺的母線;③圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的.其中正確命題的序號是()(A)①②(B)②③(C)①③(D)③第二十一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【思路點撥】(1)根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺的定義或借助常見的幾何模型作出判斷.(2)根據(jù)母線的定義和性質(zhì)作出判斷.【規(guī)范解答】(1)選C.①錯誤,因為棱柱的側(cè)面不一定是全等的平行四邊形;②錯誤，必須用平行于底面的平面去截棱錐,才能得到棱臺;③正確,根據(jù)面面垂直的判定定理判斷;④正確,因為兩個過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱,又垂直于底面;第二十二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日⑤正確,如圖所示,正方體AC1中的三棱錐C1-ABC,四個面都是直角三角形;⑥正確,由棱臺的概念可知.因此,正確命題的序號是③④⑤⑥.(2)選D.根據(jù)圓柱、圓臺的母線的定義和性質(zhì)可知,只有③是正確的,所以選D.第二十三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【拓展提升】解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的技巧(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.(2)通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.第二十四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【變式訓(xùn)練】(1)如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等,就稱它為“等腰四棱錐”,四條側(cè)棱稱為它的腰,以下4個命題中,是假命題的是()(A)等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等(B)等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補(C)等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓(D)等腰四棱錐的各頂點必在同一球面上第二十五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【解析】選B.因為“等腰四棱錐”的四條側(cè)棱都相等,所以它的頂點在底面上的射影到底面的四個頂點的距離相等,故A,C正確,且在它的高上必能找到一點到各個頂點的距離相等,故D正確,B不正確,如底面是一個等腰梯形時結(jié)論就不成立.第二十六頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日(2)下列命題中，正確的是()(A)有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱(B)側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐(C)側(cè)面都是矩形的四棱柱是長方體(D)底面為正多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱第二十七頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【解析】選D.認識棱柱一般要從側(cè)棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形狀兩方面去分析，故A,C都不準(zhǔn)確，B中對等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明，故也不正確.第二十八頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日考向2

空間幾何體的三視圖【典例2】(1)(2012·湖南高考)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示,則該幾何體的俯視圖不可能是()第二十九頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日(2)(2013·深圳模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PC與底面垂直.若該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖都是腰長為1的等腰直角三角形,則該四棱錐中最長的棱的長度為()(A)1(B)(C)(D)2第三十頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【思路點撥】(1)可根據(jù)正視圖與側(cè)視圖相同逐項排除.(2)根據(jù)三視圖的畫法求出四棱錐P-ABCD中最長棱的長度.【規(guī)范解答】(1)選C.由于該幾何體的正視圖和側(cè)視圖相同,且上部分是一個矩形,矩形中間無虛線.因此俯視圖不可能是C.(2)選C.在四棱錐P-ABCD中,連接AC,由正視圖和側(cè)視圖可得PC=BC=CD=1,故最長的棱為第三十一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【互動探究】若本例題(2)中的四棱錐P-ABCD為正四棱錐,且正視圖和側(cè)視圖是邊長為1的正三角形,求該四棱錐的側(cè)棱長.【解析】如圖,由條件知,正四棱錐的底邊AB=1,高PO=.則在正方形ABCD內(nèi),OB=AB=,故側(cè)棱長第三十二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【拓展提升】三視圖的畫法技巧(1)畫幾何體的三視圖可以想象自己站在幾何體的正前方、正左方和正上方觀察，它的輪廓線是什么，然后再去畫圖.(2)對于簡單幾何體的組合體的三視圖,①要確定正視、側(cè)視、俯視的方向;②要注意組合體是由哪些幾何體組成,弄清楚它們的生成方式；③注意它們的交線的位置.第三十三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【變式備選】(1)已知正三棱柱的側(cè)棱長與底面邊長都是2,給出以下a,b,c,d四種不同的三視圖,其中可以正確表示這個正三棱柱的三視圖的有()(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個第三十四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【解析】選D.根據(jù)正三棱柱的位置,以及畫三視圖的規(guī)則,容易得出4種不同的三視圖都正確.第三十五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日(2)一個幾何體的正視圖和俯視圖如圖所示,則其側(cè)視圖的面積為()(A)7(B)(C)6(D)第三十六頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【解析】選B.由分析可知其側(cè)視圖如圖所示,其上面是一個兩直角邊均為1的直角三角形,則側(cè)視圖的面積為第三十七頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日考向3

空間幾何體的直觀圖【典例3】(1)如圖是一個幾何體的三視圖，用斜二測畫法畫出它的直觀圖.第三十八頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日(2)如圖所示，△A′B′C′是△ABC的直觀圖，且△A′B′C′是邊長為a的正三角形,求△ABC的面積.第三十九頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【思路點撥】(1)先由三視圖確定幾何體的結(jié)構(gòu)，然后畫出直觀圖.(2)根據(jù)斜二測畫法，作出△ABC的邊AB上的高在平面直觀圖中所對應(yīng)的線段，并用平面幾何的知識求其長度即可求得原△ABC的面積.第四十頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【規(guī)范解答】(1)該幾何體類似棱臺，先畫底面矩形，中心軸，然后畫上底面矩形，連線即成.畫法：如圖，先畫軸，依次畫x′,y′,z′軸，三軸相交于點O′，使∠x′O′y′=45°，∠x′O′z′=90°.在z′軸上取O′O″=8cm,再畫x″,y″軸.在坐標(biāo)系x′O′y′中作直觀圖ABCD，使得AD=20cm，AB=8cm；在坐標(biāo)系x″O″y″中作直觀圖A1B1C1D1，使第四十一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日得A1D1=12cm，A1B1=4cm.連接AA1,BB1,CC1,DD1，即得到所求直觀圖.(2)如圖所示，△A′B′C′是邊長為a的正三角形，作C′D′∥A′B′交y′軸于點D′，則D′到x′軸的距離為，∵∠D′A′B′=45°，∴A′D′=第四十二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日由斜二測畫法的法則知，在△ABC中，AB=A′B′=a，AB邊上的高是A′D′的二倍，即為∴S△ABC=第四十三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【互動探究】本例題(2)若改為“已知△ABC是邊長為a的等邊三角形，求其直觀圖△A′B′C′的面積”,則如何求解?【解析】如圖所示,△A′B′C′為△ABC的直觀圖,O′為A′B′的中點.由直觀圖的畫法知A′B′=a,∴即邊長為a的等邊三角形的直觀圖的面積為第四十四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【拓展提升】直觀圖的畫法直觀圖的斜二測畫法的關(guān)鍵之處在于將圖中的關(guān)鍵點轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中的水平方向與垂直方向的坐標(biāo)長度，然后運用“水平長不變，垂直長減半”的方法確定出點，最后連線即得直觀圖.【提醒】畫直觀圖時注意被遮擋的部分畫成虛線.第四十五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【變式備選】如圖,矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,其中O′A′=6cm,O′C′=2cm,則原圖形是()(A)正方形(B)矩形(C)菱形(D)一般的平行四邊形第四十六頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【解析】選C.將直觀圖還原得?OABC,∵O′D′=O′C′=(cm),∴OD=2O′D′=(cm),∵C′D′=O′C′=2(cm),∴CD=2(cm),∴∴OA=O′A′=6(cm)=OC,故原圖形為菱形.第四十七頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【易錯誤區(qū)】三視圖畫法中的易錯點【典例】(2012·陜西高考)將正方體(如圖1所示)截去兩個三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為()第四十八頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【誤區(qū)警示】本題易出現(xiàn)的錯誤為實虛不分致誤,不能正確區(qū)別哪些棱為可見,哪些棱為不可見,從而畫錯實虛線導(dǎo)致錯誤.第四十九頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【規(guī)范解答】選B.圖2所示的幾何體的側(cè)視圖可由點A，D，D1,B1確定其外形為正方形，判斷的關(guān)鍵是兩條對角線AD1和B1C是一實一虛，且要把AD1和B1C區(qū)別開來，故選B.第五十頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【思考點評】畫三視圖應(yīng)注意的問題(1)在繪制三視圖時,分界線和可見輪廓線都用實線畫出,被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來,即“眼見為實,不見為虛”.(2)在三視圖的判斷與識別中要特別注意其中的“虛線”.第五十一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日1.(2013·鄭州模擬)如圖1，已知E,F,G,H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1D1，B1C1，CC1，DD1的中點,平面EFGH將正方體截去一個三棱柱后,得到圖2所示的幾何體,則此幾何體的正視圖和側(cè)視圖是()第五十二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日【解析】選C.由三視圖的畫法規(guī)則可知,在正視圖中HG應(yīng)為虛線.第五十三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日2.(2012·福建高考)一個幾何體的三視圖形狀都相同,大小均相等,那么這個幾何體不可以是()(A)球(B)三棱錐(C)正方體(D)圓柱【解析】選D.圓柱的三視圖，分別為矩形，矩形，圓，不可能三個視圖都一樣,而球的三視圖都是圓,三棱錐的三視圖可以都是三角形,正方體的三視圖可以都是正方形.第五十四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日3.(2013·宿州模擬)已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的組成為()第五十五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日(A)上面為棱臺，下面為棱柱(B)上面為圓臺，下面為棱柱(C)上面為圓臺，下面為圓柱(D)上面為棱臺，下面為圓柱【解析】選C.由三視圖可知此幾何體的上面為圓臺，下面為圓柱，故選