電路方程的矩陣形式

第一頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日重點(diǎn)關(guān)聯(lián)矩陣、割集矩陣、基本回路矩陣和基本割集矩陣的概念回路電流方程、結(jié)點(diǎn)電壓方程和割集電壓方程的矩陣形式返回第二頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日15.1割集下頁上頁割集Q連通圖G中支路的集合，具有下述性質(zhì)：把Q中全部支路移去，圖分成二個(gè)分離部分。任意放回Q

中一條支路，仍構(gòu)成連通圖。876543219割集：(196)(289)(368)(467)(578)(36587),(3628)是割集嗎？問題返回第三頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日基本割集只含有一個(gè)樹枝的割集。割集數(shù)＝n-1連支集合不能構(gòu)成割集。下頁上頁注意876543219屬于同一割集的所有支路的電流應(yīng)滿足KCL。當(dāng)一個(gè)割集的所有支路都連接在同一個(gè)結(jié)點(diǎn)上，則割集的KCL方程變?yōu)榻Y(jié)點(diǎn)上的KCL方程。返回第四頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁注意對(duì)應(yīng)一組線性獨(dú)立的KCL方程的割集稱為獨(dú)立割集，基本割集是獨(dú)立割集，但獨(dú)立割集不一定是單樹支割集。返回第五頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日15.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣圖的矩陣表示是指用矩陣描述圖的拓?fù)湫再|(zhì)，即KCL和KVL的矩陣形式。有三種矩陣形式：下頁上頁1.圖的矩陣表示結(jié)點(diǎn)支路關(guān)聯(lián)矩陣回路支路回路矩陣割集支路割集矩陣返回第六頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁2.關(guān)聯(lián)矩陣A用矩陣形式描述結(jié)點(diǎn)和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)。n個(gè)結(jié)點(diǎn)b條支路的圖用nb的矩陣描述：Aa=nb支路b結(jié)點(diǎn)

n每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)結(jié)點(diǎn)，每一列對(duì)應(yīng)一條支路。矩陣Aa的每一個(gè)元素定義為：注意ajkajk=1

支路k與結(jié)點(diǎn)j

關(guān)聯(lián)，方向背離結(jié)點(diǎn)；ajk=-1

支路k與結(jié)點(diǎn)j關(guān)聯(lián)，方向指向結(jié)點(diǎn)；ajk=0

支路k與結(jié)點(diǎn)j無關(guān)。返回第七頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁例1２３６５４①②④③特點(diǎn)每一列只有兩個(gè)非零元素，一個(gè)是+1，一個(gè)是-1，Aa的每一列元素之和為零。Aa=1234123456支結(jié)-1-1100000-1-1011001100100-1-1矩陣中任一行可以從其他n-1行中導(dǎo)出，即只有n-1行是獨(dú)立的。返回第八頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁Aa=1234123456支結(jié)-1-1100000-1-1011001100100-1-1降階關(guān)聯(lián)矩陣A特點(diǎn)

A的某些列只具有一個(gè)+1或一個(gè)－1，這樣的列對(duì)應(yīng)與劃去結(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的一條支路。被劃去的行對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)可以當(dāng)作參考結(jié)點(diǎn)。Aa=(n-1)

b支路b結(jié)點(diǎn)n-1返回第九頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁關(guān)聯(lián)矩陣A的作用用關(guān)聯(lián)矩陣A表示矩陣形式的KCL方程；設(shè):以結(jié)點(diǎn)④為參考結(jié)點(diǎn)[A][i]=-1-1100000-1-101100010n-1個(gè)獨(dú)立方程矩陣形式的KCL:

[A][i]=0返回第十頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁用矩陣[A]T表示矩陣形式的KVL方程。設(shè):返回第十一頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁2.回路矩陣B獨(dú)立回路與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用回路矩陣B描述。[B]=lb支路b獨(dú)立回路

l注意每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立回路，每一列對(duì)應(yīng)一條支路。矩陣B的每一個(gè)元素定義為：bij1

支路j

在回路i中，且方向一致；-1

支路j

在回路i中，且方向相反；0

支路j

不在回路i中。返回第十二頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁例1２３６５４①②④③123取網(wǎng)孔為獨(dú)立回路，順時(shí)針方向給定B可以畫出對(duì)應(yīng)的有向圖。123[B]=123456支回011001000-11-11-100-10注意基本回路矩陣Bf獨(dú)立回路對(duì)應(yīng)一個(gè)樹的單連枝回路得基本回路矩陣[Bf]返回第十三頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日支路排列順序?yàn)橄冗B支后樹支，回路順序與連支順序一致。下頁上頁連支電流方向?yàn)榛芈冯娏鞣较?；?guī)定例選2、5、6為樹，連支順序?yàn)?、3、4

。1２３６５４①②④③231123[B]=134256支回100-1-100101010010-11BtBl=[1Bt

]返回第十四頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁回路矩陣[B]的作用用回路矩陣[B]表示矩陣形式的KVL方程；設(shè)ulut[B][u]=100-1-100101010010-11l個(gè)獨(dú)立KVL方程矩陣形式的KVL：[B][u]=0返回第十五頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日[Bf][u]=0ul+Btut=0ul=-

Btut設(shè)：連支電壓可以用樹支電壓表示。用回路矩陣[B]T表示矩陣形式的KCL方程下頁上頁注意獨(dú)立回路電流返回第十六頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁1２３６５４①②④③231矩陣形式的KCL：[B]T[il]=[i]注意樹支電流可以用連支電流表出。返回第十七頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁3.基本割集矩陣[Qf]割集與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用割集矩陣描述，這里主要指基本割集矩陣。[Q]=(n-1)b支路b割集數(shù)注意每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)基本割集,每一列對(duì)應(yīng)一條支路.矩陣Q的每一個(gè)元素定義為：qij1

支路j

在割集i中，且與割集方向一致；-1

支路j

在割集i中，且與割集方向相反；0

支路j

不在割集i中。返回第十八頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁規(guī)定割集方向?yàn)闃渲Х较?；支路排列順序先樹支后連支；割集順序與樹支次序一致?；靖罴仃嘯Qf]例1２３６５４①②④③選1、2、3支路為樹Q1:{1,4,5}Q2:{2,5,6}Q3:{3,4,6}返回第十九頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日QlQt下頁上頁[Qf]=123456支割集Q1Q2Q3100110

0100-1-1

00110-11２３６５４①②④③基本割集矩陣[Qf]的作用用基本割集矩陣[Qf]表示矩陣形式的KCL方程。設(shè)返回第二十頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日矩陣形式的KCL：[Qf

][i]=0下頁上頁[Qf

][i]=100110

0100-1-1

00110-11２３６５４①②④③n-1個(gè)獨(dú)立KCL方程返回第二十一頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日設(shè)樹枝電壓（或基本割集電壓）：ut=[u1u2u3]T用[Qf]T表示矩陣形式的KVL方程矩陣形式的KVL：[Qf

]T[ut]=[u]下頁上頁返回第二十二頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日連支電壓可以用樹支電壓表示。下頁上頁注意小結(jié)QABKCLKVL[A][i]=0[B]

T[

il]

=[i]ul=-

Btut[B][u]=0[Qf][i]=0[Q]T[

ut]=[u]返回第二十三頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日對(duì)同一有向圖，支路排列次序相同時(shí)，滿足：三個(gè)矩陣從不同角度表示同一網(wǎng)絡(luò)的連接性質(zhì)，它們之間自然存在著一定的關(guān)系。15.3*

矩陣A、Bf、Qf

之間的關(guān)系1.A與B

之間的關(guān)系下頁上頁返回第二十四頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日對(duì)同一有向圖，任選一樹，按先樹枝后連枝順序有：2.Bf與Qf之間的關(guān)系下頁上頁對(duì)同一有向圖，支路排列次序相同時(shí)，滿足：返回第二十五頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日對(duì)同一有向圖，任選一樹，按先樹枝后連枝順序?qū)懗鼍仃嚕?.A與Qf之間的關(guān)系下頁上頁返回第二十六頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁例已知：12345[Bf]=10100-11010-10001求基本割集矩陣，并畫出網(wǎng)絡(luò)圖。解1２３５４①②③返回第二十七頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日15.4回路電流方程的矩陣形式反映元件性質(zhì)的支路電壓和支路電流關(guān)系的矩陣形式是網(wǎng)絡(luò)矩陣分析法的基礎(chǔ)。

1.復(fù)合支路下頁上頁規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)支路Zk(Yk)+-+-返回第二十八頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁復(fù)合支路特點(diǎn)支路的獨(dú)立電壓源和獨(dú)立電流源的方向與支路電壓、電流的方向相反；支路電壓與支路電流的方向關(guān)聯(lián)；支路的阻抗（或?qū)Ъ{）只能是單一的電阻、電容、電感，而不能是它們的組合。Zk(Yk)+-+-返回第二十九頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日復(fù)合支路定義了一條支路最多可以包含的不同元件數(shù)及連接方法，但允許缺少某些元件。下頁上頁注意(ZkYk）(ZkYk）+-返回第三十頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁Zk(Yk)=0+-Zk(Yk)+-Zk(Yk)=0Zk(Yk)=0返回第三十一頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日2.支路阻抗矩陣形式

電路中電感之間無耦合下頁上頁如有b條支路，則有：Zk(Yk)+-+-返回第三十二頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日設(shè)[Z]=diag[Z1Z2……Zb]支路電流列向量支路電壓列向量電壓源的電壓列向量電流源的電流列向量下頁上頁阻抗矩陣返回第三十三頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日整個(gè)電路的支路電壓、電流關(guān)系矩陣：bb階對(duì)角陣下頁上頁返回第三十四頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁電路中電感之間有耦合M*+-+-*+-+-返回第三十五頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁返回第三十六頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁如1支路至g支路間均有互感……………Z不是對(duì)角陣返回第三十七頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁返回第三十八頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日電路中有受控電壓源下頁上頁

[Z]的非主對(duì)角元素將有與受控電壓源的控制系數(shù)有關(guān)的元素。Zk(Yk)+-+-+-返回第三十九頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日例下頁上頁寫出圖示電路的阻抗矩陣返回

+R1R51/jCjL2R6

-jL3M第四十頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日3.回路電流方程的矩陣形式回路電流[il](b-n+1)1階下頁上頁支路方程：返回第四十一頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日回路電壓源向量回路阻抗陣，主對(duì)角線元素為自阻抗，其余元素為互阻抗?；芈肪仃嚪匠滔马撋享摲祷氐谒氖?，共七十一頁，編輯于2023年，星期日從已知網(wǎng)絡(luò)，寫出回路分析法的步驟：求出列出回路方程求出由KCL解出根據(jù)支路方程解出下頁上頁小結(jié)返回第四十三頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日例下頁上頁用矩陣形式列出電路的回路電流方程。解做出有向圖，選支路1，2，5為樹枝。15243121234512

+R11/jC5jL4R2

-jL3返回第四十四頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁

把上式各矩陣代入回路電流方程的矩陣形式返回第四十五頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日1.支路導(dǎo)納矩陣形式下頁上頁15.5結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式電路中不含互感和受控源Zk(Yk)+-+-返回第四十六頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁返回第四十七頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日bb階對(duì)角陣下頁上頁返回第四十八頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁電路中電感之間有耦合M*+-+-*+-+-返回第四十九頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁返回第五十頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁電路中有受控電源Zk(Yk)+-+-返回第五十一頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁Zk(Yk)+-+-返回第五十二頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日考慮b個(gè)支路時(shí)：下頁上頁若：kjkjg返回第五十三頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁若：kjjkjYb返回第五十四頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日KCL下頁上頁2.結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式支路方程：KVL返回第五十五頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日[Yn]結(jié)點(diǎn)導(dǎo)納陣獨(dú)立電源引起的流入結(jié)點(diǎn)的電流列向量下頁上頁返回第五十六頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日結(jié)點(diǎn)分析法的步驟第一步：把電路抽象為有向圖下頁上頁5V13A1A+-0.550.521小結(jié)1①23456②③④返回第五十七頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日第二步：形成矩陣[A]123[A]=123456

110001

0-11100

00-101-1下頁上頁1①23456②③④第三步：形成矩陣[Y]第四步：形成[US]、[IS][US]=[-500000]T[IS]=[000-130]T返回第五十八頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日第五步：用矩陣乘法求得結(jié)點(diǎn)方程下頁上頁返回第五十九頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日例下頁上頁用矩陣形式列出電路的結(jié)點(diǎn)電壓方程。解做出有向圖52431２3１0返回iS5guauaG5C3G4+-**ML2L1第六十頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁52431２3１0注意g的位置iS5guauaG5C3G4+-**ML2L1返回第六十一頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日代入下頁上頁返回第六十二頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日下頁上頁*15.6割集電壓方程的矩陣形式割集電壓是指由割集劃分的兩分離部分之間的一種假想電壓。以割集電壓為電路獨(dú)立變量的分析法稱為割集電壓法。復(fù)合支路用導(dǎo)納表示的支路方程：Zk(Yk)+-+-返回第六十三頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期日結(jié)合以上方程有：下頁上頁以樹支電壓為未知量返回第六十四頁，共