矩陣及其運(yùn)算

矩陣及其運(yùn)算第一頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日§2.1矩陣

一、矩陣的定義二、幾種特殊矩陣三、同型矩陣與矩陣相等的概念四、小結(jié)第二頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日一、矩陣的定義由個(gè)數(shù)排成的行列的數(shù)表稱為矩陣.簡(jiǎn)稱矩陣.記作第三頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日簡(jiǎn)記為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.第四頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例如是一個(gè)實(shí)矩陣,是一個(gè)復(fù)矩陣,是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣.第五頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例如是一個(gè)3階方陣.二、幾種特殊矩陣(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作第六頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).

稱為對(duì)角矩陣(或?qū)顷嚕?（3）形如的方陣,不全為0第七頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.注意不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如記作第八頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日(5)方陣稱為單位矩陣（或單位陣）.三、同型矩陣與矩陣相等的概念1.兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等時(shí),稱為同型矩陣.全為1第九頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.兩個(gè)矩陣為同型矩陣,并且對(duì)應(yīng)元素相等,即則稱矩陣相等,記作例如為同型矩陣.第十頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日四、小結(jié)(1)矩陣的概念第十一頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日(2)特殊矩陣方陣行矩陣與列矩陣;單位矩陣;對(duì)角矩陣;零矩陣.第十二頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日思考題矩陣與行列式有何區(qū)別?第十三頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日思考題解答

矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別:(1)行列式是一個(gè)算式，一個(gè)數(shù)字行列式經(jīng)過計(jì)算可求得其值，而矩陣僅僅是一個(gè)數(shù)表;(2)行列式的行數(shù)和列數(shù)必須相同，而矩陣的行數(shù)和列數(shù)可以不同.第十四頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日§2.2矩陣的運(yùn)算

一、矩陣的加法、減法二、數(shù)與矩陣相乘三、矩陣與矩陣相乘四、矩陣的轉(zhuǎn)置五、方陣的行列式第十五頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日１、定義一、矩陣的加法、減法設(shè)有兩個(gè)矩陣將矩陣與的和記作，規(guī)定為第十六頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2、矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律第十七頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1、定義二、數(shù)與矩陣相乘第十八頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2、數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣,統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.（設(shè)為矩陣，為實(shí)數(shù)）第十九頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1、定義并把此乘積記作設(shè)是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個(gè)矩陣，其中三、矩陣與矩陣相乘第二十頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例１設(shè)例2第二十一頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日故解第二十二頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日注意

只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘！?。±绮淮嬖?第二十三頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2、矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律（其中為數(shù)）;若A是階方陣，則為A的次冪，即并且第二十四頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日注意

矩陣不滿足交換律?。?！即：例

設(shè)則第二十五頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例3

計(jì)算下列乘積：解第二十六頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例4設(shè)解第二十七頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日3、矩陣相乘的三大特征1、無交換律2、無消去律3、若第二十八頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日定義

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例１、轉(zhuǎn)置矩陣四、矩陣的轉(zhuǎn)置第二十九頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2、轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)第三十頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例4已知解法1：兩矩陣先相乘，然后轉(zhuǎn)置第三十一頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日解法2：兩矩陣分別轉(zhuǎn)置后，再相乘第三十二頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日3、對(duì)稱陣定義設(shè)為階方陣，如果滿足，即那末稱為對(duì)稱陣.對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等說明第三十三頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例5設(shè)列矩陣滿足證明第三十四頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日五、方陣的行列式1、定義由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或2、運(yùn)算性質(zhì)第三十五頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日3、定義行列式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣性質(zhì)證明則稱為矩陣的伴隨矩陣.第三十六頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三十七頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日五、小結(jié)矩陣運(yùn)算加法數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣對(duì)稱陣與伴隨矩陣方陣的行列式第三十八頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日

（2）只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿足交換律.

（1）只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.注意

（3）矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的數(shù)乘運(yùn)算不同.第三十九頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日思考題成立的充要條件是什么?第四十頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日思考題解答答故成立的充要條件為第四十一頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日§2.3逆矩陣一、逆矩陣的概念和性質(zhì)二、逆矩陣的求法三、矩陣的多項(xiàng)式四、小結(jié)第四十二頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日一、逆矩陣的概念和性質(zhì)定義

對(duì)于階矩陣，如果有一個(gè)階矩陣,

則說矩陣是可逆的，并把矩陣稱為的逆矩陣.使得例設(shè)第四十三頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日說明

若是可逆矩陣，則的逆矩陣是唯一的若設(shè)和是的可逆矩陣，則有可得所以的逆矩陣是唯一的,即第四十四頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理1

矩陣可逆的充要條件是，且

證明(1)必要性若可逆，(2)充分性第四十五頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日按逆矩陣的定義得證畢奇異矩陣與非奇異矩陣的定義第四十六頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)第四十七頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日證明第四十八頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日證明第四十九頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第五十頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1求方陣的逆矩陣.解二、逆矩陣的求法(伴隨陣法)第五十一頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日同理可得故第五十二頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例2求下列矩陣的逆，其中解1）依對(duì)角矩陣的性質(zhì)知：第五十三頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日依矩陣的逆的定義，必有易知：解2）即第五十四頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例3求解設(shè)且滿足有而第五十五頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日設(shè)求例4其中為矩陣的伴隨矩陣.解例5解矩陣方程解第五十六頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日所以可逆.由，得例6可逆，并求它們的逆矩陣.由設(shè)方陣滿足方程，證明證明所以可逆.第五十七頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例7第五十八頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日解給方程兩端左乘矩陣第五十九頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日給方程兩端右乘矩陣得第六十頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日給方程兩端左乘矩陣第六十一頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日得給方程兩端右乘矩陣第六十二頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例8

設(shè)第六十三頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第六十四頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日三、利用逆陣解線性方程組

使用矩陣符號(hào)線性方程組寫成其中解為第六十五頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日逆矩陣法與克拉默法則的關(guān)系

當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式時(shí)方程組的解可以表示為（1）（2）二者有什么關(guān)系呢？

第六十六頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日五、矩陣的多項(xiàng)式與變量x的多項(xiàng)式相對(duì)應(yīng)，可以定義矩陣A的多項(xiàng)式：例13中計(jì)算An的方法常被用來計(jì)算A的多項(xiàng)式：（1）如果則從而第六十七頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日（2）如果為對(duì)角陣，則

，從而

第六十八頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日四、小結(jié)逆矩陣的概念及運(yùn)算性質(zhì).逆矩陣的計(jì)算方法逆矩陣存在第六十九頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日§2.4矩陣分塊法一、矩陣的分塊二、分塊矩陣的運(yùn)算法則三、小結(jié)第七十頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日一、矩陣的分塊

對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，經(jīng)常采用分塊法，使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算.具體做法是：將大矩陣用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為大矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.第七十一頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例即第七十二頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日即第七十三頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第七十四頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日二、分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則第七十五頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第七十六頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第七十七頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第七十八頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日分塊對(duì)角矩陣的行列式具有下述性質(zhì):第七十九頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第八十頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第八十一頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1設(shè)解第八十二頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日則第八十三頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日又第八十四頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日于是第八十五頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例2第八十六頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日其中其中第八十七頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第八十八頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第八十九頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第九十