2013年清華大學(xué)金秋數(shù)學(xué)營(yíng)試題及解答

2013年清華大學(xué)金秋數(shù)學(xué)體驗(yàn)營(yíng)試題及其解答第一題(1)分別記口也。為一個(gè)直角三角形的兩直角邊的邊長(zhǎng)和斜邊的邊長(zhǎng),記目為直角頂點(diǎn)到斜邊的高線的長(zhǎng)度,求證2+上=上$儀.匕，a(2)試給出一個(gè)CD中方程無(wú)窮多個(gè)整解的一般公式(1)證明由勾股定理知/+/=，，又因直角三角形面積為￥=1故2 2口工班=/，那么絲=一從而/+/=J=//于是士+±=土『證畢d a aoa<7=15?⑵解取，石=20f(fE陽(yáng))即可得無(wú)窮多個(gè)整數(shù)解￡i=nt第二題設(shè)su荻是一個(gè)非空的有限子集，定義BI為s中元素個(gè)數(shù),切⑻=52>jS=/匚S；d=0}J證明對(duì)5)=用作)注：本題有錯(cuò)誤,當(dāng)3中某兩個(gè)子集的平均值相同時(shí)結(jié)論未必成立心此處僅根據(jù)出題人思路給出解答口證明考察S中每個(gè)兀素工對(duì)祝伊)和我(9的貢獻(xiàn)，對(duì)汨(S)貢獻(xiàn)為病下計(jì)算對(duì)北㈤的貢獻(xiàn)：易知工在5的臉i個(gè)不同的左元子集中出現(xiàn)過(1<^<|5|)1|4c*一i \-\cA］叱一1,如對(duì)硝的貢獻(xiàn)為■%二島漏=］所以每個(gè)元素工對(duì)7M(3］和TM⑶的貢獻(xiàn)相同，則明⑶二次㈤第三題（1）證明：多項(xiàng)式伏月=^—駐41有三個(gè)實(shí)根口《小七j（2）證明：若K=f為中的一^14艮，則*=產(chǎn)一2也是p的一"H艮5⑶定義映射/二核也0->{o也。}"T產(chǎn)一2F求?。ㄑ甁（3）J?⑴證明p（T>=—1,忒。）=1,尸①=—LM2）=3,而產(chǎn)⑴為多項(xiàng)式是連續(xù)函數(shù),由零點(diǎn)存在定理知加力在［-2⑼,（0：1）；［L2）內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，而E力為m次多項(xiàng)式至多有3個(gè)根，故這三個(gè)根為雙耳全部的根（2）證明若K=f為中的一個(gè)根，則F—五+1=0,則可得p—2=l—1t則p（p_2）='_：）-3i-^+i=4-（y_iy_3（/_產(chǎn)）十/=/（%-1一1］=0,故工=產(chǎn)一2也是戶的一個(gè)根（3）ft由前面關(guān)于零點(diǎn)的討論知口匕（-NO、匕《QI）,右七（L2）,由前一題的結(jié)論〃句J?J㈤均是加瓦》的元素,而混（04）,故f㈤武—J—1）,那么必有“可=&,而Od?故/mJ,從而護(hù)一—2,貝」a=f（^）<f（c）!則/（。=5或〃匚］=仁，若，（心）=心則可得白=2-1,矛盾aef-2,-|；5七（史》則f㈤則只能『㈤=。就f而了就f而了綜上/(仃)=Cjf(b)=aff(c)=b

第四題設(shè)了二口是一八連笠圖數(shù)，如果」?jié)M足：近仕結(jié)工￥七〔。二十8）,都有:二8）=/（PP］成立‘求證/（亞）『（忘/（亞）『（忘）二f，*+'：：-+「就任給正整數(shù)*和任給正實(shí)數(shù)西二西二…二五成立訐明隹目反向國(guó)內(nèi)法；先證明對(duì)千汗意的F整第k常題對(duì)咒=M成記首先打―刎口寸命迤已成立,靛趣空打一于成立，則打—不+十寸『（質(zhì)＞ 八日）+八五）j—f（耳3?凡后口4〃歷二）.…+八亞二）故一命題用產(chǎn)故一命題用產(chǎn)=工2也成立一由歸納原理，對(duì)于任意的正整匏化，畝題刈行二y或"又蒼畬趣方丁某又蒼畬趣方丁某個(gè)網(wǎng)33成立，貝L對(duì)?。ァ揠p冊(cè)）+/（&）+…+/（￡）+4卜F：:郭曲命題對(duì)西—1郭曲命題對(duì)西—1成立3底二由述，由歸綱好理，對(duì)一切不小于2的正整數(shù)"，命題或立第五題婦下定尺一個(gè)初列｛4｝：0￡泣1石（河31）,q三q<mod3）證明:上外歸…/…是一個(gè)無(wú)理數(shù)證明要:正0嗎叼…％…為無(wú)理數(shù)簍■由于證明0巧叼…％…是無(wú)限不揩環(huán)小數(shù)百先1止明，時(shí)十仔意I卜整軸酬，之理=3"寸，（3.C^）=1一三口1日_I2'，卻—各突+k一得/+防「千153_1卻因?yàn)椋?一37門廣目丁=?q丁，對(duì)于1/_3-1可以設(shè)化二贄4（。三1三期—1,m稗除&]，那么^^=3；：1=31乜k3&A茄（尸T）人而。；”=-^― :顯然分子不為3整除，所M3不整除Cf廣」7 J—J. -aJIBx-l然后證明，時(shí)于?壬邕洽定正整數(shù)匕，存在無(wú)窮多整數(shù)川，使%-=%?+]=qv+1=-=%+：=。首先..即€=-；《.5ct….（>+l）C;；這皂申活云表示取最小公倍數(shù)｝詛$_變?其中j不被3整等，而后取鼠=皿或物十2,4,則對(duì)「任意的制三“，有州二=1,I?訪明此，時(shí)有4K-&+i—4州-：—■■■—公討-口百生，謂=與士仁二"島與院.口陽(yáng)3]心￡，G=oN^ ^ 3+1 ,r?.2士小+i4A'+24.V+64.V+4A;-2 白工N1■備-1又寸，有考工「6- ---一---2"C^vrT———4+町fV+1第門V+fc▲皆N+i...12V-2/-1-v 3漠十2：-r<n-—■由于，附之則顯然對(duì)于1/二也有V2N+工 i.]3?+2i+12i+l<3-,月陷3m+2i中素因子鼻的中次等于2i中3睡丸二十1+1中素因子7的ii號(hào)次等于1+1中3的幕心那么琮;為耳素因子3的糕K等于三片；耳扁中3的早友’等于立五工I中3的晟友'而臉口島二小段，故嗯曄.1 -1 ". Z因千3手福夕姜十C1中3的嘉封底云:絲2=（林+11Ci.4J3呂厚次，而網(wǎng)）（2尢41）其IS，則。無(wú)+1）&巾3的度次不定過3rt2的京次.印不超過口，從而■卜于陽(yáng)iiii噫中3的黑蚊三少人陰，從方區(qū)3.中系囚子3的嘉％至少為1則31邛焉3M在，f）,故0V=@v+]=口上記=…=qv+i=?；氐皆}，假設(shè)。外叼…/…為循環(huán)小數(shù)（有限視為口循環(huán)腦循環(huán)節(jié)長(zhǎng)為L(zhǎng)從第?“位起開始循環(huán)，由于，為正整數(shù)，故存在無(wú)窮多整數(shù)-V，使Rv=°.v-i=ax+i=■■-=aN+-=0從而存在一個(gè)A「'＞、:使得Ovr=0V1-1—0V--—"'—t?vr-'—0，而循環(huán)節(jié)長(zhǎng)為，那么可知對(duì)于心不，有％="取一個(gè)貝心廿》乂，但三不整除O從而％W=。，矛盾，證畢第六題：設(shè)數(shù)列｛/加下定義（n之21an=rl+21+小+4d孔〃（1）證明廠這個(gè)數(shù)列嚴(yán)格單調(diào)遞增且有上界3-（2）求lim/。+-'lit匹"解答：我們先求1也3n…令『反)=1-I-k14(JiJl)q1+(工-j-2},工心…則].W；=11-j-2J143q1+441 ;對(duì)f&）=1+定1+（工+u,1+以+2）711二^邊同時(shí)平方得：產(chǎn)（劃=14x1+(x+1)1+<x-1-2)11+(x+3)^1+■,■=i+;cf{x+1),日.L、、,產(chǎn)0}=1+龍4-1) (1)+J)I 一廠——又因?yàn)閒(x)=1+x11+(xH-1)J1+(x+2)v'iH '〉ix^lx^'xv'' =f[xj=1+x1+(x+1)11-F(x+2)V1+…<(x+1)!(k+2)、,'(工+3)、,, / x+2?aa. y 七"所以川TOC\o"1-5"\h\zx<.fCx)<x-3-2 (所以京+Kf(x-+1)<工+3,代入(1)式得:f2(x)=1+xf(x+1)J>1+K■(x4-1)=>f(x)>x4-75f2(x)=1+xf(x+1)<1+K(X+3>Uf(x)<x+-o所以+Jx+7<f(x)<x4-7 (.3).：+'2 2所以雙+彳<f(x+1)<X+，代入，(1)式得：-：fS(K)=1+xf(x+1)>1+X*[*+-I=>+-5f3(x)=1+Kf(K+1)<1+萬(wàn)G+74f(K)<S+-?;p斤以+J4 \ 2/ 4x+-<f(x)<x+- (4)+14f 4依此類推，可知對(duì)于任意正整數(shù)通都有心fnT r口ITx+—<fCx)<x^— (5)<2n 、/ mn當(dāng)nf+mfl寸，則有笈+1Mf(X)至笈:1,0fl?Jj(K)=x+lo+J于是知11111^=1+2」[十W[十*TT==f⑵=3…ElTDO q 汽再證明[%)單調(diào)遞增.事實(shí)上，,注意到Jw+5+i)>L所以4i -an=1+211+3J1+4J…、,口+n"一、、＜：1+21+31+4 ：1++(n+1)=〃Q』K于是如數(shù)列1G單調(diào)遞增。又?jǐn)?shù)列區(qū)3單調(diào)遞增且有極限n故必有上界。命題得證口裂注：本題即為拉馬努金恒等式：1+xJ1+(x+1)J1+Cx+2KT+^=x+1.第實(shí)上，根據(jù)完全