第三節(jié)樣條曲線

第三節(jié)樣條曲線第一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一分段參數(shù)多項(xiàng)式曲線分析Hermit曲線分段插值曲線全局控制曲線多項(xiàng)式次數(shù)與頂點(diǎn)數(shù)相關(guān)Bezier曲線全局控制曲線多項(xiàng)式次數(shù)與頂點(diǎn)數(shù)相關(guān)拼接要求不易滿足局限性：全局控制2023/6/42第二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一B-樣條曲線概念2023/6/43B-樣條曲線B-樣條基函數(shù)控制多邊形控制頂點(diǎn)第三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一控制頂點(diǎn)作用的局部化０次(1階)曲線2023/6/440次基函數(shù)：t１次？２次？…？titi+1第四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一續(xù)1次曲線（2階）2023/6/452次基函數(shù)：Ni,2(t)t2次？3次？…，k+1次基函數(shù)？第五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一B-樣條基函數(shù)的定義deBoor-Cox定義：(約定：0/0=0)2023/6/46第六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一關(guān)于遞推定義的系數(shù)2023/6/47ttiti+1ti+k-1ti+kttiti+1ti+k-1tti+1ti+k-1ti+k第七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一基函數(shù)的影響范圍2023/6/48[t0,t1][t1,t2][t2,t3][t3,t4][t4,t5]Ni,k(t)的支撐區(qū)間為：[ti,ti+k]第八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一支撐區(qū)間…2023/6/49第九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一曲線段及控制點(diǎn)2023/6/410[t0,t1][t1,t2][t2,t3][t3,t4][t4,t5][t4,t5]第十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一B-樣條曲線的定義2023/6/411B-樣條曲線示例共n-k+2段第十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一1階B-樣條基函數(shù)2023/6/412K=1時(shí)的基函數(shù)第十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一K=1時(shí)定義的曲線示例2023/6/413第十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一2階B-樣條基函數(shù)K=2時(shí)的基函數(shù)2023/6/414第十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一2023/6/415K=２時(shí)定義的曲線示例第十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一3階B-樣條基函數(shù)K=3時(shí)的基函數(shù)2023/6/416第十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一續(xù)前頁：2023/6/417第十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一續(xù)前頁：2023/6/418第十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一續(xù)前頁：2023/6/419第十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一2023/6/420第二十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一3階B-樣條基函數(shù)圖形2023/6/421第二十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一3階B樣條曲線示例2023/6/422T=[t0,t1,…,tn+1,tn+2,tn+3]第二十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一知其然，知其所以然…階數(shù)與次數(shù)頂點(diǎn)數(shù)節(jié)點(diǎn)矢量與定義區(qū)間段數(shù)控制點(diǎn)及其影響域2023/6/423第二十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一上節(jié)要點(diǎn)回顧Bezier曲線Bernstain基函數(shù)Bezier曲線定義及性質(zhì)有理Bezier曲線B-樣條曲線B-樣條基函數(shù)（節(jié)點(diǎn)矢量）B-樣條曲線定義階數(shù)/次數(shù)頂點(diǎn)數(shù)定義區(qū)間段數(shù)2023/6/424第二十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一B-樣條基函數(shù)的性質(zhì)局部性權(quán)性連續(xù)性2023/6/425第二十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一B-樣條基函數(shù)的局部性2023/6/426在每一個(gè)區(qū)間上至多只有k個(gè)基函數(shù)非零，它們是：第二十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一B-樣條基函數(shù)的權(quán)性2023/6/427上式右端根據(jù)遞推公式展開并化簡得到：第二十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一B-樣條基函數(shù)的連續(xù)性2023/6/428第二十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一問題：3階B樣條曲線生成已知6個(gè)控制頂點(diǎn)，請(qǐng)定義出節(jié)點(diǎn)矢量均勻的2次B樣條曲線，并回答以下問題。定義區(qū)間是什么?曲線分為幾段？給出第二段曲線的表達(dá)式2023/6/429第二十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一B-樣條曲線的分類根據(jù)節(jié)點(diǎn)矢量的不同形式分類均勻B樣條曲線準(zhǔn)均勻B樣條曲線分段Bezier曲線非均勻B樣條曲線2023/6/430第三十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一均勻B-樣條曲線均勻節(jié)點(diǎn)矢量：所有節(jié)點(diǎn)區(qū)間長度為大于0的常數(shù)均勻B-樣條基：在均勻節(jié)點(diǎn)矢量上定義的B-樣條基均勻B-樣條曲線：在均勻B-樣條基上定義的曲線2023/6/431第三十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一例：三次均勻B樣條曲線（1）2023/6/432第三十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一三次均勻B樣條曲線（2）2023/6/433第三十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一2023/6/434三次均勻B樣條曲線（3）基函數(shù)的平移性第三十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一三次均勻B樣條曲線（4）第三十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一2023/6/436P(3)P(4)P(5)第三十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一練習(xí)：推導(dǎo)出區(qū)間上3次均勻B樣條曲線的矩陣表達(dá)式。2023/6/437第三十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一準(zhǔn)均勻B-樣條曲線（1）節(jié)點(diǎn)矢量：在首末端點(diǎn)處有k次重復(fù)度，中間節(jié)點(diǎn)區(qū)間長度為大于0的常數(shù)，即：2023/6/438第三十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一準(zhǔn)均勻B樣條曲線（2）端點(diǎn)位置矢量的計(jì)算2023/6/439特點(diǎn)：曲線首末點(diǎn)與控制頂點(diǎn)重合第三十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一３次均勻B－樣條示例2023/6/440第四十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一３次準(zhǔn)均勻B－樣條示例2023/6/441第四十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一B樣條曲線到分段Bezier曲線的轉(zhuǎn)換節(jié)點(diǎn)矢量：兩端節(jié)點(diǎn)具有重復(fù)度k，所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)重復(fù)度為k-12023/6/442注：基函數(shù)：以上節(jié)點(diǎn)矢量定義分段的Bernstein基函數(shù)第四十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一分段Bezier曲線各曲線段相對(duì)獨(dú)立性：移動(dòng)曲線段內(nèi)的一個(gè)控制頂點(diǎn)只影響該曲線段的形狀，對(duì)其它曲線段的形狀沒有影響B(tài)ezier曲線的算法都可以原封不動(dòng)地采用其它類型的B樣條曲線可通過插入節(jié)點(diǎn)的方法轉(zhuǎn)換成分段Bezier曲線類型缺點(diǎn)：增加了定義曲線的數(shù)據(jù)，至多增加k-1倍2023/6/443第四十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一非均勻B-樣條曲線節(jié)點(diǎn)矢量：節(jié)點(diǎn)序列非遞減，兩端節(jié)點(diǎn)重復(fù)度≤k，內(nèi)節(jié)點(diǎn)重復(fù)度≤k-1非均勻B樣條基：上述節(jié)點(diǎn)矢量上的基函數(shù)2023/6/444B-樣條曲線示例第四十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一2023/6/445第四十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一B-樣條曲線的性質(zhì)局部性凸包性分段參數(shù)多項(xiàng)式連續(xù)性幾何及仿射不變性2023/6/446第四十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一B-樣條曲線的性質(zhì)（1）局部性2023/6/447第四十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一2023/6/448第四十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一B-樣條曲線的性質(zhì)（2）凸包性2023/6/449第四十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一2023/6/450第五十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一B-樣條曲線的性質(zhì)（３）平面B-樣條曲線的保型性保凸性變差縮減性2023/6/451第五十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一B-樣條曲線的性質(zhì)（４）分段參數(shù)多項(xiàng)式在每一區(qū)間上都是次數(shù)不高于k-1的參數(shù)t的多項(xiàng)式在定義區(qū)間上是參數(shù)t的k-1次分段多項(xiàng)式

2023/6/452第五十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一2023/6/453第五十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一B-樣條曲線的性質(zhì)（５）2023/6/454連續(xù)性導(dǎo)數(shù)曲線第五十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一關(guān)于B-樣條曲線連續(xù)性的說明2023/6/455三點(diǎn)共線：1階幾何連續(xù)五點(diǎn)共面：2階幾何連續(xù)當(dāng)最大節(jié)點(diǎn)重?cái)?shù)為1時(shí)：K=1的曲線退化為控制點(diǎn)K=2的曲線為控制多邊形K=3的曲線為一階連續(xù)的第五十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一B-樣條曲線造型的靈活性用B樣條曲線可以構(gòu)造直線段尖點(diǎn)切線等特殊情況

2023/6/456第五十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一B-樣條曲線造型的靈活性（1）直線段的構(gòu)造

對(duì)于四階（三次）B樣條曲線若要在其中得到一條直線段，只要四點(diǎn)位于一條直線上，則對(duì)應(yīng)的曲線即為一條直線，且和控制點(diǎn)所在的直線重合2023/6/457第五十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一B-樣條曲線造型的靈活性（2）尖點(diǎn)的構(gòu)造：三重頂點(diǎn)可使曲線過該控制點(diǎn)（尖點(diǎn)），重節(jié)點(diǎn)也可得到類似效果2023/6/458第五十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一B-樣條曲線造型的靈活性（3）指定切線條件的滿足：三點(diǎn)共線且重?cái)?shù)不大于22023/6/459第五十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一？繪制算法？2023/6/460第六十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一B-樣條曲線的離散生成自學(xué):deBoor-Cox算法（）三次B樣條的Bezier表示

可參考清華大學(xué)出版社教材2023/6/461第六十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一非均勻有理B-樣條曲線

可精確表示拋物線以外的其它二次曲線定義有理B-樣條基及NURBS曲線的齊次坐標(biāo)表示權(quán)因子的作用NURBS曲線的修改2023/6/462第六十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一2023/6/463非均勻有理B樣條曲線第六十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一NURBS方法的主要優(yōu)點(diǎn)既為標(biāo)準(zhǔn)解析形狀又為自由型曲線曲面的精確表示與設(shè)計(jì)提供了一個(gè)公共的數(shù)學(xué)形式修改控制頂點(diǎn)和權(quán)因子，為各種形狀設(shè)計(jì)提供了充分的靈活性具有明顯的幾何解釋和強(qiáng)有力的幾何配套技術(shù)(包括節(jié)點(diǎn)插入、細(xì)分、升階等)對(duì)幾何變換和投影變換具有不變性非有理B樣條、有理與非有理Bezier方法是其特例

2023/6/464第六十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一NURBS中難以解決的問題需要更多的存儲(chǔ)空間，如空間圓需7個(gè)參數(shù)(圓心、半徑、法矢)，而NURBS定義空間圓需38個(gè)參數(shù)權(quán)因子選擇不當(dāng)會(huì)引起畸變對(duì)搭接、重疊形狀的處理很麻煩反求曲線曲面上點(diǎn)的參數(shù)值的算法，存在數(shù)值不穩(wěn)定問題2023/6/465第六十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一有理B-樣條基引入k階有理基函數(shù)2023/6/466則有理B-樣條曲線表示為：第六十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一有理B-樣條基性質(zhì)與B-樣條基函數(shù)性質(zhì)類似局部支撐性權(quán)性可微性等2023/6/467第六十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一有理B-樣條曲線性質(zhì)與B-樣條曲線有類似性質(zhì)局部性質(zhì)變差減小性質(zhì)凸包性仿射不變性可微性如果某個(gè)權(quán)因子為零，那么相應(yīng)控制頂點(diǎn)對(duì)曲線沒有影響；若權(quán)