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文檔簡介

排列排列數(shù)(15分鐘30分)1.(2021·湘潭高二檢測)從甲、乙、丙三人中選出兩人并站成一排的全部站法為()A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲B.甲乙丙、乙丙甲C.甲乙、甲丙、乙丙、乙甲、丙甲、丙乙D.甲乙、甲丙、乙丙【解析】選C.假設(shè)選出的是甲、乙,那么站法有甲乙、乙甲;假設(shè)選出的是甲、丙,那么站法有甲丙、丙甲;假設(shè)選出的是乙、丙,那么站法有乙丙、丙乙.2.乘積m(m+1)(m+2)…(m+19)(m+20)(m∈N+)可表示為()A.Aeq\o\al(\s\up1(21),\s\do1(m+20))B.Aeq\o\al(\s\up1(21),\s\do1(m))C.Aeq\o\al(\s\up1(20),\s\do1(m+20))D.Aeq\o\al(\s\up1(20),\s\do1(m))【解析】選A.由于最大數(shù)為m+20,所以共有21個連續(xù)自然數(shù)相乘,依據(jù)排列公式可得meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m+1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m+2))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m+19))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m+20))=Aeq\o\al(\s\up1(21),\s\do1(m+20)).3.三人相互傳球,由甲開頭發(fā)球,并作為第一次傳球,經(jīng)過5次傳球后,球仍回到甲手中,那么不同的傳球方式共有()A.6種B.10種C.8種D.16種【解析】選B.記另外兩人為乙、丙,假設(shè)甲第一次把球傳給乙,那么不同的傳球方式有其中經(jīng)過5次傳球后,球仍回到甲手中的有5種,同理假設(shè)甲第一次把球傳給丙也有5種不同的傳球方式,共有10種傳球方式.4.計算:Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))-6Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))+5Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))=________.【解析】原式=Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))-Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))+Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))=Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))=5×4×3×2×1=120.答案:120【加練·固】計算:eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(8))+Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)),Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(9))-Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(9)))=________.【解析】eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(8))+Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)),Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(9))-Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(9)))=eq\f(8×7×6×5×4+8×7×6×5,9×8×7×6×5×4-9×8×7×6×5)=eq\f(5,27).答案:eq\f(5,27)5.8個人排成一排.(1)共有多少種不同的排法?(2)8個人排成兩排,前后兩排各4人,共有多少種不同的排法?(3)8個人排成兩排,前排3人,后排5人,共有多少種不同的排法?【解析】(1)由排列的定義知共有Aeq\o\al(\s\up1(8),\s\do1(8))種不同的排法.(2)8人排成前后兩排,相當(dāng)于排成一排,從中間分成兩局部,其排列數(shù)等于8人排成一排的排列數(shù)Aeq\o\al(\s\up1(8),\s\do1(8)).也可以分步進行,第一步:從8人中任選4人放在前排共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8))種排法,其次步:剩下的4人放在后排共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))種排法,由分步乘法計數(shù)原理知共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8))×Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))=Aeq\o\al(\s\up1(8),\s\do1(8))種排法.(3)同(2)的分析可知,共有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8))×Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))=Aeq\o\al(\s\up1(8),\s\do1(8))(種).(30分鐘60分)一、單項選擇題(每題5分,共20分)1.(2021·濟南高二檢測)18×17×16×…×9×8=()A.Aeq\o\al(\s\up1(9),\s\do1(18))B.Aeq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(18))C.Aeq\o\al(\s\up1(11),\s\do1(18))D.Aeq\o\al(\s\up1(12),\s\do1(18))【解析】選C.由于18×17×16×…×9×8是從18開頭,表示11個數(shù)字的乘積的一個式子,所以18×17×16×…×9×8=Aeq\o\al(\s\up1(11),\s\do1(18)).2.現(xiàn)有排成一列的5個花盆,要將甲、乙兩種花分別栽種在其中的2個花盆里,假設(shè)要求沒有3個空花盆相鄰,那么不同的種法總數(shù)是()A.6B.14C.16D.20【解析】選B.由題知,沒有限制的種花種數(shù)為:Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))=20種,其中三個空花盆相鄰的狀況有:Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))=6種,那么沒有3個空花盆相鄰的種數(shù)為:20-6=14種.3.(2021·滄州高二檢測)用紅、黃、藍三種顏色給如下圖的六個相連的圓涂色,假設(shè)每種顏色只能涂兩個圓,且相鄰兩個圓所涂顏色不能相同,那么不同的涂色方案的種數(shù)是()A.12B.24C.30D.36【解析】選C.將六個圓從左到右依次標(biāo)序號為1,2,3,4,5,6,由于每種顏色只能涂兩個圓,所以只有五種涂法:(1,3),(2,5),(4,6);(1,4),(2,5),(3,6);(1,4),(2,6),(3,5);(1,5),(2,4),(3,6);(1,6),(2,4),(3,5).每種涂法中安排顏色有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))=6種方法,故不同的涂色方案的種數(shù)是5×6=30.4.(2021·濰坊高二檢測)從甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中選派三人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項不同的工作,假設(shè)乙和丙只能從事前兩項工作,其余三人均能從事這三項工作,那么不同的選派方案有()A.36種B.12種C.18種D.24種【解析】選A.利用分類加法計數(shù)原理,分三種狀況:(1)選派乙和丙2人從事翻譯、導(dǎo)游工作,再從剩下的3人中選1人從事禮儀工作,那么排法種數(shù)是3Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2));(2)選派乙、丙中的1人從事翻譯或?qū)в沃械囊豁椆ぷ?,再從剩下?人中選派2人從事余下的兩項工作,那么排法種數(shù)是2×2×Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3));(3)乙和丙都沒有被選派,三項工作安排給甲、丁、戊三人,那么排法種數(shù)是Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)).綜上所述,不同的選派方案共有3Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))+2×2×Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))+Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))=36種.【加練·固】從a,b,c,d,e5個人中選出1名組長和1名副組長,但a不能當(dāng)副組長,那么不同的選法種數(shù)是()A.20B.16C.10D.【解析】選B.不考慮限制條件有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))種選法,假設(shè)a當(dāng)副組長,有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))種選法,故a不當(dāng)副組長,有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))-Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))=16種不同的選法.二、多項選擇題(每題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得2分,有選錯的得0分)5.給出以下四個關(guān)系式,其中正確的選項是()A.n!=eq\f(〔n+1〕!,n+1) B.Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))=nAeq\o\al(\s\up1(m-1),\s\do1(n-1))C.Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))=eq\f(n!,〔n-m〕!) D.Aeq\o\al(\s\up1(m-1),\s\do1(n-1))=eq\f(〔n-1〕!,〔m-n〕!)【解析】選ABC.由Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))=eq\f(n!,〔n-m〕!)可知:Aeq\o\al(\s\up1(m-1),\s\do1(n-1))=eq\f(〔n-1〕!,〔n-m〕!),故D不正確.6.有四名男生,三名女生排隊照相,七個人排成一排,那么以下說法正確的有()A.假如四名男生必需連排在一起,那么有720種不同排法B.假如三名女生必需連排在一起,那么有576種不同排法C.假如女生不能站在兩端,那么有1440種不同排法D.假如三個女生中任何兩個均不能排在一起,那么有1440種不同排法【解析】選中,假如四名男生必需連排在一起,將這四名男生“捆綁〞,形成一個“大元素〞,此時,共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))=242=576種不同的排法,A選項錯誤;B中,假如三名女生必需連排在一起,將這三名女生“捆綁〞,形成一個“大元素〞,此時,共有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))=6×120=720種不同的排法,B選項錯誤;C中,假如女生不能站在兩端,那么兩端支配男生,其他位置的支配沒有限制,此時,共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))=12×120=1440種不同的排法,C選項正確;D中,假如三個女生中任何兩個均不能排在一起,將女生插入四名男生所形成的5個空中,此時,共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))=24×60=1440種不同的排法,D選項正確.三、填空題(每題5分,共10分)7.eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(n))-Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(n)),Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(n)))=89,那么n的值為________.【解析】依據(jù)題意,eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(n))-Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(n)),Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(n)))=89,那么eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(n)),Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(n)))=90,變形可得Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(n))=90Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(n)),那么有eq\f(n!,〔n-7〕!)=90×eq\f(n!,〔n-5〕!),變形可得:(n-5)(n-6)=90,解得:n=15或n=-4(舍),故n=15.答案:158.現(xiàn)將4輛車停放在8個并排的泊車位上,要求停放的車輛相鄰,那么不同的泊車方案有________種.(用數(shù)字作答)【解析】從8個車位里選擇4個相鄰的車位,共有5種方式,將4輛車相鄰?fù)7?,有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))=24種方式,那么不同的泊車方案有5×24=120種.答案:120四、解答題(每題10分,共20分)9.從1到9這9個數(shù)字中取出不同的5個數(shù)進行排列.問:(1)奇數(shù)的位置上是奇數(shù)的有多少種排法?(2)取出的奇數(shù)必需排在奇數(shù)位置上有多少種排法?【解析】(1)奇數(shù)共5個,奇數(shù)位置共有3個;偶數(shù)共有4個,偶數(shù)位置有2個.第一步先在奇數(shù)位置上排上奇數(shù)共有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))種排法;其次步再排偶數(shù)位置,4個偶數(shù)和余下的2個奇數(shù)可以排,排法為Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))種,由分步乘法計數(shù)原理知,排法種數(shù)為Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))·Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))=1800種.(2)由于偶數(shù)位置上不能排奇數(shù),故先排偶數(shù)位,排法為Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))種,余下的2個偶數(shù)與5個奇數(shù)全可排在奇數(shù)位置上,排法為Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))種,由分步乘法計數(shù)原理知,排法種數(shù)為Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))·Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))=2520種.10.(1)將A,B,C,D四名同學(xué)按肯定挨次排成一行,要求自左向右,且A不排在第一,B不排在其次,C不排在第三,D不排在第四,寫出全部可能的排法;(2)由1,2,3,4,5構(gòu)成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中,寫出相鄰兩個數(shù)字的差的肯定值不超過2的全部狀況.【解析】(1)樹形圖為(如圖):由樹形圖知,全部排法為BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA,共有9種排法.(2)當(dāng)個位數(shù)字為1時,符合的五位數(shù)是:54321,45321,53421,35421,54231,24531共6種;當(dāng)個位數(shù)字為2時,符合的五位數(shù)是:54312,45312,13542共3種;當(dāng)個位數(shù)字為3時,符合的五位數(shù)是:54213,12453共2種;當(dāng)個位數(shù)字為4時,符合的五位數(shù)是:53124,12354,21354共3種;當(dāng)個位數(shù)字為5時,符合的五位數(shù)是:12435,42135,12345,21345,31245,13245共6種;合計符合條件的共有20種.1.化簡:eq\f(1,2!)+eq\f(2,3!)+eq\f(3,4!)+…+eq\f(9,10!)=__________.【解析】由于eq\f(n-1,n!)=eq\f(n,n!)-eq\f(1,n!)=eq\f(1,〔n-1〕!)-eq\f(1,n!),所以eq\f(1,2!)+eq\f(2,3!)+eq\f(3,4!)+…+eq\f(9,10!)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,2!)))+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2!)-\f(1,3!)))+…+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9!)-\f(1,10!)))=1-eq\f(1,10!).答案:1-eq\f(1,10!)2.規(guī)定Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(x))=x(x-1)…(x-m+1),其中x∈R,m為正整數(shù),且Aeq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(x))=1,這是排列數(shù)Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))(n,m是正整數(shù),m≤n)的一種推廣.(1)按題中的規(guī)定,求Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(-9))的值;(2)排列數(shù)的兩共性質(zhì):①Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))=nAeq\o\al(\s\up1(m-1),\s\do1(n-1));②Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))+mAeq\o\al(\s\up1(m-1),\s\do1(n))=Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n+1))(其中n,m是正整數(shù))是否都能推廣到Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(x))(x∈R,m是正整數(shù))的情形?假設(shè)能推廣,寫出推廣的形式并賜予證明;假設(shè)不能,那么說明理由.【解析】(1)Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(-9))=(-9)×(-10)×(-11)=-990;(2)性質(zhì)①、②均可推廣,推廣的形式分別是:①Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(x))=xAeq

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