2015高考福建理科數(shù)試題及答案(word解析)

年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（福建卷）數(shù)學(xué)（理科）第Ⅰ卷（選擇題共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．（1）【2015年福建，理1，5分】若集合（是虛數(shù)單位），，則等于（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由已知得，故，故選C．（2）【2015年福建，理2，5分】下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；和是偶函數(shù)；是奇函數(shù)，故選D．（3）【2015年福建，理3，5分】若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，則等于（）（A）11（B）9（C）5（D）3【答案】B【解析】由雙曲線定義得，即，解得，故選B．（4）【2015年福建，理4，5分】為了解某社區(qū)居民的家庭年收入所年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入（萬(wàn)元）8.28.610.011.311.9支出（萬(wàn)元）6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得回歸直線方程，其中，據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶收入為15萬(wàn)元家庭年支出為（）（A）11.4萬(wàn)元（B）11.8萬(wàn)元（C）12.0萬(wàn)元（D）12.2萬(wàn)元【答案】B【解析】由已知得（萬(wàn)元），（萬(wàn)元），故，所以回歸直線方程為，當(dāng)社區(qū)一戶收入為15萬(wàn)元家庭年支出為（萬(wàn)元），故選B．（5）【2015年福建，理5，5分】若變量滿足約束條件，則的最小值等于（） （A）（B）（C）（D）2【答案】A【解析】畫(huà)出可行域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)變形為，當(dāng)最小時(shí)，直線的縱截距最大，故將直線經(jīng)過(guò)可行域，盡可能向上移到過(guò)點(diǎn)時(shí)，取到最小值，最小值為，故選A．（6）【2015年福建，理6，5分】閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果為（）（A）2（B）1（C）0（D）-1【答案】C【解析】程序在執(zhí)行過(guò)程中的值依次為：；；；；；，程序結(jié)束，輸出，故選C．（7）【2015年福建，理7，5分】若是兩條不同的直線，垂直于平面，則“”是“”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，因?yàn)榇怪庇谄矫?，則或，若，又垂直于平面，則，所以“”是“”的必要不充分條件，故選B．（8）【2015年福建，理8，5分】若是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則的值等于（）（A）6（B）7（C）8（D）9【答案】D【解析】由韋達(dá)定理得，，則，當(dāng)適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時(shí)，必為等比中項(xiàng)，故，．當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時(shí)，必不是等差中項(xiàng)，當(dāng)是等差中項(xiàng)時(shí)，，解得；當(dāng)是等差中項(xiàng)時(shí)，，解得，綜上所述，，所以，故選D．（9）【2015年福建，理9，5分】已知，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于（）（A）13（B）15（C）19（D）21【答案】A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，即，所以，，因此，因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)取等號(hào)，的最大值等于13，故選A．（10）【2015年福建，理10，5分】若定義在上的函數(shù)滿足，其導(dǎo)函數(shù)滿足，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由已知條件，構(gòu)造函數(shù)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，故，所以，，所以結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是C，選項(xiàng)D不確定；構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即，，選項(xiàng)A，B無(wú)法判斷，故選C．第Ⅱ卷（非選擇題共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．（11）【2015年福建，理11，5分】的展開(kāi)式中，的系數(shù)等于（用數(shù)字填寫(xiě)答案）．【答案】80所以．解法二：（1）同解法一．（2）（i）同解法一．（ii）因?yàn)?，是方程在區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)不同的解，所以，，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以于是．（20）【2015年福建，理20，14分】已知函數(shù)，．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）證明：當(dāng)時(shí)，存在，使得對(duì)任意的恒有；（3）確定的所以可能取值，使得存在，對(duì)任意的，恒有．解：解法一：（1）令，則有，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，．（2）令，則有，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，，故對(duì)任意正實(shí)數(shù)均滿足題意當(dāng)時(shí)，令，得，取，對(duì)任意，有，從而在單調(diào)遞增，所以，即．綜上，當(dāng)時(shí)，總存在，使得對(duì)任意，恒有．（3）當(dāng)時(shí)，由（1）知，對(duì)于，故．令，則有故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故，即．所以滿足題意的不存在，當(dāng)時(shí)，由（2）知，存在，使得當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，令，則有，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故，即．記與中的較小者為，則當(dāng)時(shí)，恒有，故滿足題意的不存在．當(dāng)時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，令，則有，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故，故當(dāng)時(shí)，恒有，此時(shí)，任意正實(shí)數(shù)均滿足題意，綜上，．解法二：（1）解法一．（2）解法二．（3）當(dāng)時(shí)，由（1）知，對(duì)于，故，令，解得．從而得到，當(dāng)時(shí)，對(duì)于，恒有，故滿足題意的不存在．當(dāng)時(shí)，取，從而，由（2）知，存在，使得，此時(shí)，令，解得，，記與的較小者為，當(dāng)時(shí)，恒有，故滿足題意的不存在．當(dāng)時(shí)，由（1）知，，令，則有，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故．故當(dāng)時(shí)，恒有，此時(shí)，任意正實(shí)數(shù)均滿足題意，綜上，．本題設(shè)有三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答．滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分，作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上所選題目對(duì)應(yīng)題號(hào)右邊的方框涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中．（21）【2015年福建，理21（1），7分】（選修4-2：矩陣與變換）已知矩陣．（1）求的逆矩陣；（2）求矩陣，使得．解：（1）因?yàn)?，所以．?）由得，故．（21）【2015年福建，理21（2），7分】（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在平面直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．在極坐標(biāo)系（與平面直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為極軸）中，直線的方程為．（1）求圓的普通方程及直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)圓心到直線的距離等于2，求的值．解：（1）消去參數(shù)，得到圓的普通方程為，由，得，所以直線的直角坐標(biāo)方程為．（2）依題意，圓心到直線的距離等于2，即