離散傅里葉變換(DFT)

3.1離散傅里葉變換的定義3.2離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3頻率域采樣3.4DFT的應用舉例第3章離散傅里葉變換(DFT)當前第1頁\共有68頁\編于星期五\11點一.引言3.1離散傅里葉變換的定義

我們已經(jīng)學習了連續(xù)時間傅里葉變換、連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)、離散時間傅里葉變換，他們都是信號處理領域中重要的數(shù)學變換。本章討論離散傅里葉變換(DFT)，其開辟了頻域離散化的道路，使數(shù)字信號處理可以在頻域進行。DFT存在快速算法，使信號的實時處理得以實現(xiàn)。DFT不僅在理論上有重要意義，在各種信號處理中也起著核心作用。當前第2頁\共有68頁\編于星期五\11點二.四種信號傅里葉表示(1)周期為T的連續(xù)時間周期信號FS時域周期頻域離散。頻譜特點:離散非周期譜(2)連續(xù)時間非周期信號FT時域非周期頻域連續(xù)。頻譜特點：連續(xù)非周期譜當前第3頁\共有68頁\編于星期五\11點(3)離散非周期信號DTFT時域離散頻域周期。頻譜特點：周期為2的連續(xù)譜(4)周期為N的離散周期信號時域離散周期頻域周期離散。頻譜特點:周期為N的離散譜DFS當前第4頁\共有68頁\編于星期五\11點四種傅立葉變換:時域頻域1.連續(xù)非周期連續(xù)非周期()FT2.連續(xù)周期

離散非周期

()FS3.離散非周期連續(xù)周期（）DTFT4.離散周期離散周期DFS

？切實理解四種FT之間的對應關系當前第5頁\共有68頁\編于星期五\11點三.離散付里葉級數(shù)(DFS)

為了便于更好地理解DFT的概念，先討論周期序列及其離散傅里葉級數(shù)（DFS）表示。然后討論可作為周期函數(shù)一個周期的有限長序列的離散傅里葉變換(DFT)。周期序列

因為周期序列不滿足條件：。因此它的DTFT不存在。但是，正象連續(xù)時間周期信號可用傅氏級數(shù)表達，周期序列也可用離散的傅氏級數(shù)來表示。(1)DFS定義正變換：反變換：一般記：當前第6頁\共有68頁\編于星期五\11點(2)周期序列的離散傅里葉級數(shù)推導由可以展成傅里葉級數(shù)：？將上式兩邊乘以，并對n在一個周期N上求和得根據(jù)正交定理令k=m當前第7頁\共有68頁\編于星期五\11點令依同樣方法可推出：

所以，時域上周期序列的離散傅里葉級數(shù)在頻域上仍是一個周期序列周期序列的離散傅立葉級數(shù)表明：可將周期為N的序列分解成N個離散的諧波分量的加權和，各諧波的頻率為，幅度為，其中表示其頻譜分布規(guī)律當前第8頁\共有68頁\編于星期五\11點(3)周期序列的傅里葉變換表示

因為周期序列不滿足條件：。因此它的DTFT不存在。但是，通過引入奇異函數(shù)δ其DTFT可以用公式表示。當前第9頁\共有68頁\編于星期五\11點四.離散付里葉變換

周期序列實際上只有有限個序列值才有意義，因而它的離散傅里葉級數(shù)表示式也適用于有限長序列,這就得到有限長序列的傅里葉變換(DFT)。(1)時域周期序列看作是有限長序列x(n)的周期延拓(2)頻域周期序列看作是有限長序列X(k)的周期延拓(3)把周期序列DFS的定義式（時域、頻域）各取主值區(qū)間，就得到關于有限長序列時頻域的對應變換對。（前面已證：時域上周期序列的離散傅里葉級數(shù)在頻域上仍是同周期序列）具體而言，即：當前第10頁\共有68頁\編于星期五\11點(1)周期序列的主值區(qū)間與主值序列

對于周期序列，定義其第一個周期n=0~N-1，為的“主值區(qū)間”，主值區(qū)間上的序列為主值序列x(n)。x(n)與的關系可描述為：數(shù)學表示：表示先對n進行模N運算，然后對所得結(jié)果進行函數(shù)運算7當前第11頁\共有68頁\編于星期五\11點......n0N-1定義從n=0到(N-1)的第一個周期為主值序列或區(qū)間。N-1nx(n)0當前第12頁\共有68頁\編于星期五\11點(2)從DFS到離散傅里葉變換

如果x(n)的長度為N，且，則可寫出的離散傅里葉級數(shù)表示為：

從上式可知，DFS，IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間進行。

因此可得到新的定義，即有限序列的離散傅氏變換(DFT)的定義。有限長序列隱含著周期性。DFT當前第13頁\共有68頁\編于星期五\11點(3)離散傅里葉變換的矩陣方程當前第14頁\共有68頁\編于星期五\11點例3.1.1x(n)=R4(n)，求x(n)的8點和16點DFT。設變換區(qū)間N=8，則解：DFT定義式為：設變換區(qū)間N=16，則當前第15頁\共有68頁\編于星期五\11點比較上面二式可得關系式:(4)DFT和Z變換的關系序列x(n)的N點DFT是x(n)的Z變換在單位圓上的N點等間隔采樣序列x(n)的N點DFT是x(n)的DTFT在[0，2π]上的N點等間隔采樣當前第16頁\共有68頁\編于星期五\11點圖3.1.1X(k)與X(z),X(ejω)的關系當前第17頁\共有68頁\編于星期五\11點3.2離散傅里葉變換的基本性質(zhì)一.基本概念1.序列的圓周移位序列x(n)，長度為N，則x(n)的圓周移位定義為：周期延拓取主值序列左移m位

圓周移位的實質(zhì)是將序列x(n)移位，移出主值區(qū)間的序列值又依次由另一側(cè)進入主值區(qū)。循環(huán)移位過程：circshift(a,[0,-1])當前第18頁\共有68頁\編于星期五\11點圖3.2.1循環(huán)移位過程示意圖當前第19頁\共有68頁\編于星期五\11點2.序列的圓周卷積設和是兩個具有相同長度N的有限長序列(若不等，對序列補零使其為N點，)，定義圓周卷積：圓周卷積過程：周期延拓移位反轉(zhuǎn)相乘相加取主值序列當前第20頁\共有68頁\編于星期五\11點循環(huán)矩陣圓周卷積的矩陣表示：循環(huán)右移當前第21頁\共有68頁\編于星期五\11點圓周卷積與線性卷積比較：

有限長序列x1(n),0≤n≤N1-1;x2(n),0≤n≤N2-1則線性卷積為：N(N≥max(N1,N2))點圓周卷積為：交換求和次序當前第22頁\共有68頁\編于星期五\11點

序列的N點圓周卷積是序列線性卷積(以N為周期)周期延拓序列的主值序列。故，當N≥[N1+N2-1]時，線性卷積與圓周卷積相同。圓周卷積線性卷積是針對DFT引出的一種表示方法信號通過LTI系統(tǒng)時，輸出等于輸入與系統(tǒng)單位脈沖響應的卷積兩序列長度必須等，不等時按要求補零兩序列長度可相等，也可不等卷積結(jié)果長度與兩信號長度相等，皆為N卷積結(jié)果長度N=N1+N2-1當前第23頁\共有68頁\編于星期五\11點圖3.4.2線性卷積與圓周卷積當前第24頁\共有68頁\編于星期五\11點當前第25頁\共有68頁\編于星期五\11點3.有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列分別定義為：當N為偶數(shù)時，將上式中的n換成N/2-n可得到：圖3.2.3共軛對稱與共軛反對稱序列示意圖當前第26頁\共有68頁\編于星期五\11點

任何有限長序列x(n)都可以表示成其共軛對稱分量和共軛反對稱分量之和，即：將上式中的n換成N-n，并取復共軛得：(1)式減(2)式,(1)式加(2)式，并整理得：當前第27頁\共有68頁\編于星期五\11點二.線性性質(zhì)

設x1(n)，x2(n)是長度為N的有限長序列。它們的N點DFT分別為：

若，則y(n)的N點DFT為：三.時域圓周移位定理證明：當前第28頁\共有68頁\編于星期五\11點令n+m=n′周期為N四.頻域圓周移位定理當前第29頁\共有68頁\編于星期五\11點設和是兩個具有相同長度N的有限長序列，五.時域圓周卷積定理證明：交換求和次序令n-m=n′當前第30頁\共有68頁\編于星期五\11點周期為N六.頻域循環(huán)卷積定理當前第31頁\共有68頁\編于星期五\11點七.復共軛序列的DFT若x(n)是實序列,則X(k)是有限長共軛對稱序列;反之亦然時域x(n)取共軛,對應于頻域X(k)取有限長共軛對稱頻域X(k)取共軛,對應于時域x(n)取有限長共軛對稱若X(k)是實序列,則x(n)是有限長共軛對稱序列;反之亦然兩種情況為對偶關系當前第32頁\共有68頁\編于星期五\11點八.DFT的共軛對稱性則：

如果x(n)的DFT為X(k),則x(n)的實部和虛部(包括j)的DFT分別為X(k)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量；而x(n)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量的DFT分別為X(k)的實部和虛部乘以j當前第33頁\共有68頁\編于星期五\11點設x(n)為實序列，X(k)=DFT[x(n)]。則有:(2)若x(n)=x(N-n)，則

X(k)=X(N-k)(3)若x(n)=-x(N-n)，則

X(k)=-X(N-k)

對實序列進行DFT時，利用以上性質(zhì)可減少運算量，提高運算效率。九、Parseval定理證明：交換求和次序(1)

X(k)=X*(N-k)當前第34頁\共有68頁\編于星期五\11點則：

表明：一個序列在時域計算的能量與在頻域計算的能量是相等的當前第35頁\共有68頁\編于星期五\11點3.1離散傅里葉變換的定義3.2離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3頻率域采樣3.4DFT的應用舉例第3章離散傅里葉變換(DFT)當前第36頁\共有68頁\編于星期五\11點3.3頻率域采樣一.引言時域：滿足“時域采樣定理”的采樣頻域：？(1)能否由頻域離散采樣X(k)恢復序列x(n)？(2)能否由頻域抽樣X(k)恢復原頻率函數(shù)或X(z)？(3)若能恢復其條件是什么？與時域采樣相類比，我們提出以下幾個問題？(4)如何推導內(nèi)插恢復公式?

若要回答這些問題，首先讓我們回想下時域樣定理確定采樣頻率的方法？當前第37頁\共有68頁\編于星期五\11點(1)計算時域采樣信號的頻譜(2)分析時域采樣信號頻譜與原信號頻譜關系（以采樣頻率周期延拓）(3)從而確定采樣頻率與被采樣信號頻譜這間關系，得到時域采樣定理

時域采樣從頻域分析，頻域采樣是不是可以從時域分析呢時域采樣對應頻域周期延拓，頻域采樣是不是對應時域周期延拓呢？？二.頻域采樣后能不失真恢復原序列的條件？設的長度為（沒有限制）頻域采樣欲恢復原信號，即頻域采樣序列的離散付立葉逆變換:當前第38頁\共有68頁\編于星期五\11點由該式可知：是原序列的周期延拓，然后取主值結(jié)論：若序列長度為M，頻域采樣點數(shù)（或DFT的長度）為N，且M<N，則頻域采樣后可不失真地恢復原序列；但若M>N，會產(chǎn)生時域混疊頻域采樣后不能不失真地恢復原序列當前第39頁\共有68頁\編于星期五\11點利用頻域采樣X(k)表示X(z)設序列長度為N，由傅里葉變換對得三.內(nèi)插公式為X(k)表示X(z)的內(nèi)插公式稱為內(nèi)插函數(shù)當前第40頁\共有68頁\編于星期五\11點3.1離散傅里葉變換的定義3.2離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3頻率域采樣3.4DFT的應用舉例第3章離散傅里葉變換(DFT)當前第41頁\共有68頁\編于星期五\11點3.4DFT的應用舉例一.引言DFT的應用使數(shù)字信號處理可以在頻域進行，由于DFT的快速算法FFT的出現(xiàn)，使DFT在數(shù)字通信、語言信號處理、圖像處理、功率譜估計、仿真、系統(tǒng)分析、雷達理論、光學、醫(yī)學、地震以及數(shù)值分析等各個領域都得到廣泛應用。然而，各種應用一般都以卷積和相關運算的具體處理為依據(jù)，或者以DFT作為連續(xù)FT的近似為基礎。當前第42頁\共有68頁\編于星期五\11點二、用DFT計算線性卷積(1)DFT計算循環(huán)卷積可用上式計算循環(huán)卷積。從另一方面看：所以，可按下面的計算框圖從頻域計算循環(huán)卷積圖3.4.1用DFT計算循環(huán)卷積當前第43頁\共有68頁\編于星期五\11點

很多情況下需要計算兩個序列的線性卷積，為了提高運算速度，希望用DFT(FFT)計算。而DFT只能直接用來計算循環(huán)卷積，什么時候循環(huán)卷積與線性卷積相等呢？

循環(huán)卷積與線性卷積相等條件：L≥

M+N-1。所以，如果取L=

M+N-1，則可用DFT（FFT）計算線性卷積。計算框圖如下：圖3.4.3用DFT計算線性卷積框圖(2)DFT計算線性卷積當前第44頁\共有68頁\編于星期五\11點(2)長序列的分段卷積

沒有全部進入，如何實現(xiàn)卷積，全部進入再卷積，又如何保證實時實現(xiàn)？

數(shù)字信號處理的優(yōu)勢是“實時實現(xiàn)”，即信號進來后，經(jīng)處理后馬上輸出出去。然而：？

較短（FIR：長度在20～50之間），可能很長，也不適宜直接卷積。另外：解決方法：分段卷積當前第45頁\共有68頁\編于星期五\11點

設序列h(n)長度為N，x(n)為無限長。將x(n)均勻分段，每段長度取M，則:重疊相加法是兩個長度接近且分別為和的序列的線性卷積，可很有效地求其L點的DFT.分段卷積重疊分段卷積相加當前第46頁\共有68頁\編于星期五\11點圖3.4.4重疊相加法卷積示意圖當前第47頁\共有68頁\編于星期五\11點三、用DFT對信號進行譜分析1.用DFT對連續(xù)信號進行譜分析●若信號持續(xù)時間有限長，則其頻譜無限寬。若信號的頻譜有限寬，則其持續(xù)時間無限長。●按采樣定理采樣時，以上兩種情況的采樣序列均應無限長，不滿足DFT條件?！?/p>

所以，對頻譜很寬的信號一般用預濾波法濾除幅度較小的高頻成分。對持續(xù)時間很長的信號只好截取有限點進行DFT?！?/p>

所以，用DFT對連續(xù)信號進行譜分析必然是近似的，近似程序與信號帶寬、采樣頻率和截取長度有關?！?/p>

實際上從工程角度，濾除幅度很小的高頻成分和截去幅度很小的部分時間信號是允許的。當前第48頁\共有68頁\編于星期五\11點

假設xa(t)是經(jīng)過預濾波和截取處理的有限長帶限信號。以下分析連續(xù)信號頻譜特性的DFT近似。設xa(t)持續(xù)時間為Tp，最高頻率為fc。其傅立葉變換為：共采樣N點，則Tp=NT。并對表示Xa(jf)的積分作零階近似(t=nT,dt=T)得：對X(jf)在區(qū)間[0,fs]上等間隔采樣N點,采樣間隔為F。當前第49頁\共有68頁\編于星期五\11點令則f=kF帶入式：得：同理，由可推出連續(xù)信號的頻譜特性可以通過對連續(xù)信號采樣并進行DFT再乘以T來近似。柵欄效應：DFT逼近連續(xù)時間信號的傅里葉變換,其頻譜將不再是連續(xù)函數(shù)。只能看到N個離散采樣點的譜特性。當前第50頁\共有68頁\編于星期五\11點當前第51頁\共有68頁\編于星期五\11點

由以上分析可以看出利用DFT對連續(xù)信號進行譜分析，最主要的兩個問題就是：1、譜分析范圍；2、頻率分辨率。(1)譜分析范圍指信號的最高頻率fc，受采樣定理限制。fc<

fs/2(2)頻率分辨率（物理分辨率，計算分辨率）指將信號中兩個靠的很近的譜峰區(qū)分開的能力，用頻率采樣間隔F描述。F=fs/N（矩形窗情況）(3)譜分析參數(shù)確定N不變，要提高頻率分辨率，必須降低fs，會導致譜分析范圍減小。同時T增大，因NT=Tp，故Tp增大。fs不變，要提高頻率分辨率，必須增加N。因NT=Tp，T=1/fs，故Tp必須增加。因此，若要增加頻率分辨率必須增加信號記錄時間Tp更深入的理解可參閱胡廣書編著教材《數(shù)字信號處理理論、算法和實踐》第二版相應章節(jié)。當前第52頁\共有68頁\編于星期五\11點頻率分辨率：通過頻域窗觀察到的頻率寬度；也可定義為將信號中兩個靠的很近的譜峰區(qū)分開的能力時間分辨率：通過時域窗觀察到的時間寬度；希望：窗函數(shù)的“寬度”越小越好窗口在時域無窮大，在頻域無窮小時域加窗后，窗口由時域窗長決定。在頻域，窗口由主瓣寬度決定，主瓣寬度決定頻率分辨率（物理分辨率）。距離小于主瓣寬度的兩個頻率無法區(qū)分開。當前第53頁\共有68頁\編于星期五\11點例：試確定將三個譜峰分開所需要的數(shù)據(jù)的長度。在本例中，最小的即要想分辨出這三個譜峰，數(shù)據(jù)的長度至少要大于500，從DFT的角度看，若令N=512，則：當前第54頁\共有68頁\編于星期五\11點下圖，N分別等于256和512，可見，N=256時無法分辨三個譜峰。當前第55頁\共有68頁\編于星期五\11點例3.4.1對實信號進行譜分析，要求譜分辨率F≤10Hz，信號最高頻率fc=2.5kHz，試確定最小記錄時間TPmin，最大的采樣間隔Tmax，最少的采樣點數(shù)Nmin。如果fc不變，要求譜分辨率增加一倍，最少的采樣點N和最小的記錄時間是多少?解：譜分辨率增加一倍，F(xiàn)=5Hz當前第56頁\共有68頁\編于星期五\11點2.用DFT對序列進行譜分析

序列x(n)的N點DFT是x(n)的DTFT在[0,2π]上的N點等間隔采樣。因此序列的傅立葉變換可利用DFT來計算。DFT是由周期序列DFS取主值區(qū)間得到的一種變換。因此，DFT可用于周期序列的譜結(jié)構(gòu)分析。DFT進行譜分析的步驟：DFT和線性卷積是信號處理中兩個最重要的基本運算，有快速算法，且二者是“相通”的。當前第57頁\共有68頁\編于星期五\11點周期延拓周期延拓采樣t=nT卷積截短采樣取一個周期周期延拓取一個周期FTDTFTDFTDFSDTFTDFT實現(xiàn)連續(xù)信號譜分析的過程3.用DFT進行譜分析的誤差問題(1)混疊現(xiàn)象(2)柵欄效應(3)截斷效應周期延拓當前第58頁\共有68頁\編于星期五\11點(1)混疊現(xiàn)象●實際應用中，通常取fs=(3~5)fh種。對fs確定情況，一般在采樣前進行預濾波，濾除高于折疊頻率fs

/2的頻率成分，以免發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。●如果采樣頻率fs小于連續(xù)信號最高頻率fh，會在ω=π處發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象，對于模擬頻率，即在fs

/2附近發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象?！裼肈FT對連續(xù)信號進行譜分析，首先要按采樣定理對其采樣。當前第59頁\共有68頁\編于星期五\11點(2)柵欄效應N點DFT是在頻率區(qū)間[0，2π]上對信號的頻譜進行N點等間隔采樣，而采樣點之間頻譜函數(shù)值是不知道的。用DFT計算頻譜,就如通過一個柵欄觀看信號的頻譜情況，僅得到柵欄縫隙中看到的頻譜函數(shù)值。由于柵欄效應，有可能漏掉（擋住）大的頻譜分量?？梢圆捎迷谠蛄形膊垦a零的方法改變DFT變換區(qū)間長度，使原來漏掉的頻譜分量被檢測出來。補零的方法能使柵欄效應得到改善（計算分辨率提高），但不能改變頻率分辨率（物理分辨率），即原來無法分開的兩個頻率，并不能通過補零而分開。當前第60頁\共有68頁\編于星期五\11點(3)截斷效應●序列可能是無限長的，用DFT對其進行譜分析時必須截短成有限長序列?！窠財嗪笮蛄械念l譜與原序列頻譜必然有差別，這種差別對譜分析的影響主要有：①泄漏，原來譜分量為零的地方出現(xiàn)了譜分量②譜間干擾，由于窗旁瓣的存在，引起不同頻率分量間的干擾。