章經(jīng)典傅里葉變換講解

優(yōu)選章經(jīng)典傅里葉變換講解當(dāng)前第1頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)傅里葉1768年生于法國,1807年提出“任何周期信號(hào)都可用正弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示”,1822年在“熱的分析理論”一書中再次提出。1829年狄里赫利給出傅里葉變換收斂條件。傅里葉變換得到大規(guī)模的應(yīng)用，則是到了上世紀(jì)60年代之后。3.1傅里葉變換的產(chǎn)生傅里葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)：（1）“周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和”;（2）“非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示”.當(dāng)前第2頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)三角函數(shù)就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的兩兩正交的函數(shù)空間。它滿足下列完備正交函數(shù)的三個(gè)條件：3.2周期信號(hào)的傅里葉分析1.歸一化：2.歸一正交化：3.歸一化完備性：可以用其線性組合表示任意信號(hào)當(dāng)前第3頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)周期的終點(diǎn)

設(shè)三角函數(shù)的完備函數(shù)集為：其中三角函數(shù)集也可表示為：3.2.1傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式基頻

周期

周期的起點(diǎn)

當(dāng)前第4頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)時(shí)，有（2）“單位”常數(shù)性，即當(dāng)

滿足：（1）正交性：函數(shù)集中的任意函數(shù)兩兩相正交，有

當(dāng)前第5頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)可以將“任意”周期函數(shù)在這個(gè)正交函數(shù)集中展開為系數(shù)稱為傅里葉級(jí)數(shù)

當(dāng)前第6頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)同上式

傅里葉級(jí)數(shù)的三角展開式

另一種形式

直流分量

n=1n>1基波分量

n次諧波分量

當(dāng)前第7頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)可展開為傅里葉級(jí)數(shù)的條件：（2）在區(qū)間內(nèi)有有限個(gè)間斷點(diǎn)；（1）絕對(duì)可積，即：（3）在區(qū)間內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)。Direchlet條件傅里葉級(jí)數(shù)存在的充要條件式中，

為n次諧波振幅。

為n次諧波初始相位。！并非任意周期信號(hào)都能進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開！

當(dāng)前第8頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)1.從三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)推導(dǎo)3.2.2傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式利用歐拉公式:式中幅度相位

復(fù)指數(shù)

幅度

當(dāng)前第9頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)的具體求法如下：2.直接從復(fù)變正交函數(shù)集推導(dǎo)中展開，有在復(fù)變正交函數(shù)空間將原函數(shù)當(dāng)前第10頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)式中例求的指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)和三角傅里葉級(jí)數(shù)。已知沖激序列…-T0

O

T02T0t…當(dāng)前第11頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)的三角傅里葉級(jí)數(shù)為：又解當(dāng)前第12頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)求下圖中三角波的三角傅里葉級(jí)數(shù)。則為的周期延拓，即

將去除直流分量，則僅剩交流分量在內(nèi)的函數(shù)記為（1）將周期函數(shù)例解A-T0OT0

2T0t當(dāng)前第13頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)

故當(dāng)前第14頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)（2）利用直接法求解故

當(dāng)前第15頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)常稱為f(t)的截?cái)喔道锶~級(jí)數(shù)表示式。用MATLAB的符號(hào)積分函數(shù)int()可表示上式。格式為：（1）intf=int(f,v)；

給出符號(hào)表達(dá)式f對(duì)指定變量v的（不帶積分常數(shù)）不定積分；（2）intf=int(f,v,a,b)；

給出符號(hào)表達(dá)式f對(duì)指定變量v的定積分。3.2.3傅里葉級(jí)數(shù)的MATLAB仿真實(shí)現(xiàn)當(dāng)前第16頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)3.3周期信號(hào)的對(duì)稱性1．縱軸對(duì)稱性

（1）如果原函數(shù)是偶函數(shù)，則其傅里葉級(jí)數(shù)中只有直流和余弦分量（即偶函數(shù)之和仍然是偶函數(shù)）。（2）如果原函數(shù)是奇函數(shù)，則其傅里葉級(jí)數(shù)中只有正弦分量（即奇函數(shù)之和仍然是奇函數(shù)）。滿足的周期為T的函數(shù)；即平移半個(gè)周期后的信號(hào)與原信號(hào)關(guān)于橫軸對(duì)稱。定義：奇諧函數(shù)偶諧函數(shù)滿足的周期為T的函數(shù)；即平移半個(gè)周期后信號(hào)與原信號(hào)重合。當(dāng)前第17頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)2．橫軸對(duì)稱性（2）偶諧函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中只有偶次諧波分量。（1）奇諧函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中只有奇次諧波分量。如果原信號(hào)既不是奇諧函數(shù)也不是偶諧函數(shù)，那么其傅里葉級(jí)數(shù)展開式中就會(huì)既包含有奇次諧波分量也包含有偶次諧波分量。！利用奇諧函數(shù)、偶諧函數(shù)性質(zhì)的時(shí)候，最好將其直流分量去掉，以免發(fā)生誤判。當(dāng)前第18頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)已知奇諧函數(shù)：例解當(dāng)前第19頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)3.4常見周期信號(hào)的頻譜3.4.1頻譜的概念頻譜圖表示信號(hào)含有的各個(gè)頻率分量的幅度值。其橫坐標(biāo)為頻率（單位為赫茲），縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)各頻率分量的幅度值。

振幅頻譜（幅頻特性圖）表示信號(hào)含有的各個(gè)頻率分量的相位。其橫坐標(biāo)為頻率；縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)各頻率分量的相位（單位常用度或弧度）。

相位頻譜（相頻特性圖）當(dāng)前第20頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)例，求頻譜解（1）單邊頻譜：

當(dāng)前第21頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)（2）雙邊頻譜：包絡(luò)線頻譜圖隨參數(shù)的變化規(guī)律：

1）周期T不變，脈沖寬度變化當(dāng)前第22頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)第一個(gè)過零點(diǎn)：譜線間隔情況1：第一個(gè)過零點(diǎn)為n=4。

在有值（譜線）當(dāng)前第23頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)第一個(gè)過零點(diǎn)n=8

情況2：脈沖寬度縮小一倍第一個(gè)過零點(diǎn)增加一倍譜線間隔不變幅值減小一倍當(dāng)前第24頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)第一個(gè)過零點(diǎn)為n=16。情況3：脈沖寬度再縮小一倍示意圖第一個(gè)過零點(diǎn)再增加一倍譜線間隔不變幅值再減小一倍當(dāng)前第25頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)

由大變小，F(xiàn)n

第一過零點(diǎn)頻率增大，即所以稱為信號(hào)的帶寬，確定了帶寬。由大變小，頻譜的幅度變小。由于T

不變，譜線間隔不變，即不變。結(jié)論當(dāng)前第26頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)

第一個(gè)過零點(diǎn)情況1：時(shí)，譜線間隔2）脈沖寬度不變,周期T變化

示意圖第一個(gè)過零點(diǎn)譜線間隔幅值:

當(dāng)前第27頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)

第一個(gè)過零點(diǎn)

情況2：時(shí)，譜線間隔周期T擴(kuò)展一倍示意圖譜線間隔減小一倍第一個(gè)過零點(diǎn)不變幅值減小一倍

當(dāng)前第28頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)

第一個(gè)過零點(diǎn)情況3：時(shí)，譜線間隔周期T再擴(kuò)展一倍示意圖譜線間隔再減小一倍幅值再減小一倍

第一個(gè)過零點(diǎn)不變當(dāng)前第29頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)不變，F(xiàn)n的第一個(gè)過零點(diǎn)頻率不變，即帶寬不變。T

由小變大，諧波頻率成分豐富，且頻譜幅度變小。

T

時(shí)，譜線間隔0，這時(shí)：周期信號(hào)非周期信號(hào)；離散頻譜連續(xù)頻譜結(jié)論當(dāng)前第30頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)典型周期信號(hào)的頻譜分析，可利用傅里葉級(jí)數(shù)或傅里葉變換。典型周期信號(hào)如下：1.周期矩形脈沖信號(hào)2.周期對(duì)稱方波信號(hào)3.周期鋸齒脈沖信號(hào)4.周期三角脈沖信號(hào)5.周期半波余弦信號(hào)6.周期全波余弦信號(hào)3.4.2常見周期信號(hào)的頻譜當(dāng)前第31頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)1.周期矩形脈沖信號(hào)

(1)周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解設(shè)周期矩形脈沖：脈寬為，脈沖幅度為E，周期為T1當(dāng)前第32頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)當(dāng)前第33頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)（2）周期矩形脈沖信號(hào)的幅度、相位譜相位譜幅度譜當(dāng)前第34頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)復(fù)數(shù)頻實(shí)數(shù)頻譜幅度譜與相位譜合并當(dāng)前第35頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)

周期對(duì)稱方波信號(hào)是周期矩形信號(hào)的一種特殊情況，對(duì)稱方波信號(hào)有兩個(gè)特點(diǎn)：(1)是正負(fù)交替的信號(hào)，其直流分量a0等于零；(2)它的脈寬恰等于周期的一半，即t

=T1/2。2.周期對(duì)稱方波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)當(dāng)前第36頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)當(dāng)前第37頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)幅度譜相位譜當(dāng)前第38頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)3.周期鋸齒脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期鋸齒脈沖信號(hào)，是奇函數(shù)故，可求出傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)bn。如何求bn留作思考！當(dāng)前第39頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：此信號(hào)的頻譜只包含正弦分量，諧波的幅度以1/n的規(guī)律收斂。當(dāng)前第40頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)4.周期三角脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期三角脈沖信號(hào)，是偶函數(shù)，故，可求出傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)a0

、an。如何求bn留作思考！當(dāng)前第41頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)此信號(hào)的頻譜只包含直流、基波及奇次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂。其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：當(dāng)前第42頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)5.周期半波余弦信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期半波余弦信號(hào)，是偶函數(shù)，故，可求出傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)a0

、an。如何求bn留作思考！當(dāng)前第43頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)此信號(hào)的頻譜只包含直流、基波及偶次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂。其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：當(dāng)前第44頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)6.周期全波余弦信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期全波余弦信號(hào)，是偶函數(shù)。令余弦信號(hào)為則，全波余弦信號(hào)為：當(dāng)前第45頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)此信號(hào)的頻譜只包含直流、基波及偶次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂。其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：當(dāng)前第46頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)

如果用有限傅里葉級(jí)數(shù)代替無窮傅里葉級(jí)數(shù)表示信號(hào)，必然引進(jìn)一個(gè)誤差。如果完全逼近，則n=∞.

實(shí)際中，n=N,N是有限整數(shù)。 如果N愈接近n

，則其均方誤差愈小 若用2N＋1項(xiàng)逼近，則3.4.3吉布斯效應(yīng)當(dāng)前第47頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)誤差函數(shù)和均方誤差誤差函數(shù)均方誤差當(dāng)前第48頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)對(duì)稱方波,是偶函數(shù)且奇諧函數(shù)。所以其只有奇次諧波的余弦項(xiàng)。例-E/2T1/4-T1/4tE/2o當(dāng)前第49頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)對(duì)稱方波有限項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)

（N=1、2、3時(shí)的逼近波形）（3）N=3:（1）N=1:（2）N=2:-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81當(dāng)前第50頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)有限項(xiàng)的N越大，誤差越小例如:N=9-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81當(dāng)前第51頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)N越大，越接近方波快變信號(hào)，高頻分量，主要影響跳變沿；慢變信號(hào)，低頻分量，主要影響頂部；任一分量的幅度或相位發(fā)生相對(duì)變化時(shí)，波形將會(huì)失真；有吉伯斯現(xiàn)象發(fā)生。結(jié)論當(dāng)前第52頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)以周期矩形脈沖為例：只需修改上面程序(3.2.3節(jié))中函數(shù)CTFShchsym.m的內(nèi)容，需注意：因周期信號(hào)頻譜是離散的，故在繪制頻譜時(shí)采用stem而非plot命令。諧波階數(shù)取還需用到MATLAB的反褶函數(shù)fliplr來實(shí)現(xiàn)頻譜的反褶。上機(jī)練習(xí)！3.4.4周期信號(hào)的MATLAB仿真實(shí)現(xiàn)當(dāng)前第53頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)對(duì)周期矩形脈沖信號(hào)，有3.5非周期性信號(hào)的頻譜3.5.1從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換當(dāng)前第54頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)譜線間隔ˉ譜線間隔0?

從物理概念考慮：信號(hào)的能量存在，其頻譜分布的規(guī)律就存在。由于1．從周期信號(hào)到非周期信號(hào)——從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換當(dāng)前第55頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)信號(hào)的頻譜分布是不會(huì)隨著信號(hào)的周期的無限增大而消失的。T→∞時(shí)，信號(hào)的頻譜分布仍然存在。

結(jié)論無限多個(gè)無窮小量之和仍可等于一個(gè)有限量。

從數(shù)學(xué)角度來看：當(dāng)前第56頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)所以，傅里葉級(jí)數(shù)展開為：為頻譜密度函數(shù)。定義當(dāng)前第57頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)周期信號(hào)：頻譜是離散的，且各頻率分量的復(fù)振幅為有限值。非周期信號(hào)：頻譜是連續(xù)的，且各頻率分量的復(fù)振幅為無限小量。

所以，對(duì)非周期信號(hào)來說，僅僅去研究那無限小量是沒有意義的，其頻譜不能直接引用復(fù)振幅的概念。！當(dāng)前第58頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)2．傅里葉逆變換——怎樣用計(jì)算當(dāng)前第59頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)當(dāng)前第60頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)3.

正、逆傅里葉變換反變換正變換!傅里葉變換對(duì)的形式并不唯一傅里葉變換存在的充分條件:用廣義函數(shù)的概念，允許奇異函數(shù)也能滿足上述條件，因而象階躍、沖激一類函數(shù)也存在傅里葉變換。當(dāng)前第61頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)4．傅里葉變換的另外幾種形式當(dāng)前第62頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)當(dāng)前第63頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)

本節(jié)主要介紹以下幾種典型的非周期信號(hào)的頻譜。1.單邊指數(shù)信號(hào)6.符號(hào)函數(shù)2.雙邊指數(shù)信號(hào)7.沖激函數(shù)傅里葉變換對(duì)3.奇雙邊指數(shù)信號(hào)8.沖激偶的傅里葉變換4.矩形脈沖信號(hào)9.階躍信號(hào)的傅里葉變換5.鐘形脈沖信號(hào)10.復(fù)正弦信號(hào)3.5.2常見信號(hào)的傅里葉變換當(dāng)前第64頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)1.單邊指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換

其傅里葉變換為：當(dāng)前第65頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)利用傅里葉變換定義公式當(dāng)前第66頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)時(shí)域波形單邊指數(shù)信號(hào)的頻譜如下：頻域頻譜當(dāng)前第67頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)2.

雙邊指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換

其傅里葉變換為：（正實(shí)函數(shù)）當(dāng)前第68頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)利用傅里葉變換定義公式求解過程當(dāng)前第69頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)時(shí)域波形雙邊指數(shù)信號(hào)的頻譜如下：頻域頻譜相位當(dāng)前第70頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)3.奇雙邊指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換當(dāng)前第71頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)頻域頻譜時(shí)域波形頻譜如下：當(dāng)前第72頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)4.矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換實(shí)函數(shù)當(dāng)前第73頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)時(shí)域有限的矩形脈沖信號(hào)，在頻域上是無限分布。常認(rèn)為信號(hào)占有頻率范圍（頻帶B）為當(dāng)前第74頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)5.鐘形脈沖信號(hào)的傅里葉變換

（高斯脈沖）其傅里葉變換為：（正實(shí)函數(shù)）當(dāng)前第75頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)因?yàn)殓娦蚊}沖信號(hào)是一正實(shí)函數(shù)，所以其相位頻譜為零。時(shí)域波形頻域頻譜當(dāng)前第76頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)6.符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換其傅里葉變換為：（純虛數(shù)函數(shù)）當(dāng)前第77頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)

符號(hào)函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件，但它卻存在傅里葉變換。

采用符號(hào)函數(shù)與雙邊指數(shù)衰減函數(shù)相乘，求出奇雙邊指數(shù)的頻譜，再取極限，從而求得符號(hào)函數(shù)的頻譜。當(dāng)前第78頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)7.沖激函數(shù)傅里葉變換對(duì)直流信號(hào)的傅里葉變換是沖激函數(shù)！當(dāng)前第79頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)均勻譜或白色譜1Oto1OtO當(dāng)前第80頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)8.沖激偶的傅里葉變換

記為

同理，有當(dāng)前第81頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)9.階躍信號(hào)的傅里葉變換

幅頻特性

相頻特性

u(t)Ot1O當(dāng)前第82頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)10．復(fù)正弦信號(hào)的傅里葉變換為一位于且強(qiáng)度為的沖激函數(shù)。結(jié)論O當(dāng)前第83頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)升余弦脈沖信號(hào)的傅里葉變換

補(bǔ)充升余弦脈沖信號(hào)：其傅里葉變換為：（實(shí)數(shù)）其頻譜由三項(xiàng)構(gòu)成，均為矩形脈沖頻譜，只是有兩項(xiàng)沿頻率軸左、右平移了當(dāng)前第84頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)利用傅里葉變換定義公式化簡得：求解過程當(dāng)前第85頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)3.5.3MATLAB仿真實(shí)現(xiàn)MATLAB數(shù)學(xué)工具箱SymbolicMathToolbox提供了能直接求解傅氏變換及逆變換的函數(shù)fourier()和ifourier()。（1）傅里葉變換調(diào)用格式1）F=fourier(f)

2）F=fourier(f,v)

3）F=fourier(f,u,v)

當(dāng)前第86頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)（2）傅里葉逆變換調(diào)用格式1）f=ifourier(F)

2）f=ifourier(F,u)

3）f=ifourier(F,v,u)

在調(diào)用fourier()和ifourier()之前，要用syms命令對(duì)所用到的變量進(jìn)行說明，即將這些變量說明成符號(hào)變量。對(duì)fourier()中的函數(shù)f及ifourier()中的函數(shù)F也要用符號(hào)定義符syms將f或F說明為符號(hào)表達(dá)式；若f或F是MATLAB中的通用函數(shù)表達(dá)式，則不必用syms加以說明。

！書中例題可上機(jī)練習(xí)當(dāng)前第87頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)時(shí)間函數(shù)頻譜某種運(yùn)算變化變化運(yùn)算3.6傅里葉變換的性質(zhì)1.傅里葉變換的唯一性傅里葉變換的唯一性表明了信號(hào)的時(shí)域和頻域是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。！當(dāng)前第88頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)2.對(duì)稱性（頻域、時(shí)域呈現(xiàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系）若，則即證明證畢當(dāng)前第89頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)如沖激和直流函數(shù)的頻譜的對(duì)稱性就是一例子：！若為偶函數(shù)，則或即f(t)為偶函數(shù)，則時(shí)域和頻域完全對(duì)稱。F(ω)ωOOOOF(t)ωtt（1）沖激函數(shù)當(dāng)前第90頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)（2）直流函數(shù)1OO1OO當(dāng)前第91頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)FT對(duì)稱性t

換成ωf換成F1換成當(dāng)前第92頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)例解當(dāng)前第93頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)

3.線性（疊加性、均勻性）

相加信號(hào)頻譜＝各個(gè)單獨(dú)信號(hào)的頻譜之和證明推論當(dāng)前第94頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)求f(t)的傅里葉變換例解當(dāng)前第95頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)4.奇偶虛實(shí)性無論f(t)是實(shí)函數(shù)還是復(fù)函數(shù)，下面四式均成立:時(shí)域反摺頻域也反摺時(shí)域共軛頻域共軛并且反摺更廣泛地講，函數(shù)f(t)是t的復(fù)數(shù)；令虛部實(shí)部當(dāng)前第96頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)整理上式得出：當(dāng)前第97頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)把式（2）、（3）代入式（1）整理得：當(dāng)前第98頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)性質(zhì)1實(shí)數(shù)函數(shù)設(shè)f(t)是t的實(shí)函數(shù),則的實(shí)部與虛部將分別等于f2(t)=0，f(t)=f1(t)，則有特殊情況討論：從上式可以得出結(jié)論:當(dāng)前第99頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)實(shí)信號(hào)的頻譜具有很重要的特點(diǎn)，正負(fù)頻率部分的頻譜是相互共軛的.特點(diǎn)偶函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)前第100頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)性質(zhì)2虛函數(shù)設(shè)f(t)是純虛函數(shù)則反之也正確.因而是的奇函數(shù),而是的偶函數(shù)。當(dāng)前第101頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)性質(zhì)3實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)的傅里葉變換仍為實(shí)偶函數(shù)結(jié)論反之，若一實(shí)函數(shù)f(t)的傅里葉積分也是實(shí)函數(shù)，則f(t)必是偶函數(shù)。推論設(shè)f(t)是t的實(shí)偶函數(shù)，則當(dāng)前第102頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)例解tOf(t)F(ω)tO當(dāng)前第103頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)性質(zhì)4奇實(shí)函數(shù)設(shè)f(-t)=-f(t)，則：反之，若一實(shí)函數(shù)f(t)付里葉積分是一純虛函數(shù)，則f(t)必是奇函數(shù)。實(shí)奇函數(shù)的傅里葉變換則為虛奇函數(shù)結(jié)論推論當(dāng)前第104頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)例解tOf(t)ωO|F(ω)|ωOF(ω)ωOφ(ω)π/2-π/2當(dāng)前第105頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)同理可以推出：若是虛函數(shù)且還是偶函數(shù)，則的傅里葉變換為虛偶函數(shù)。性質(zhì)5：性質(zhì)6：若是虛函數(shù)且還是奇函數(shù)，則的傅里葉變換為實(shí)奇函數(shù)。讀者可以仿照性質(zhì)3、性質(zhì)4給予簡單證明當(dāng)前第106頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)如果將按照奇偶來劃分當(dāng)前第107頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)當(dāng)前第108頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)

由此可看出，此時(shí)F(ω)是虛函數(shù)且是ω的奇函數(shù)。對(duì)于f(t)為虛函數(shù)的情況，分析方法同上，結(jié)論相反。上述討論的結(jié)果如下:f(t)F(ω)實(shí)一般實(shí)部偶、虛部奇、幅頻偶、相頻奇偶實(shí)部偶奇虛部奇虛偶虛部偶奇實(shí)部奇當(dāng)前第109頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)5.尺度變換特性時(shí)間波形的擴(kuò)展和壓縮,將影響頻譜的波形對(duì)于一個(gè)實(shí)常數(shù)a，其關(guān)系為令x=at，則dx=adt，代入上式可得則證明時(shí)域壓縮則頻域展寬；展寬時(shí)域則頻域壓縮。結(jié)論當(dāng)前第110頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)時(shí)域中的壓縮（擴(kuò)展）等于頻域中的擴(kuò)展（壓縮）f(t/2)縮tO縮f(2t)縮tO縮1展展O展展O當(dāng)前第111頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)尺度變換變換后語音信號(hào)的變化f(t)f(1.5t)f(0.5t)0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

一段語音信號(hào)(“對(duì)了”)。抽樣頻率=22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)例當(dāng)前第112頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)定義若高度為的矩形與的面積相等，則稱矩形寬度為等效頻帶寬度。等效頻帶寬度若高度為的矩形與的面積相等，則稱矩形寬度為等效脈沖寬度。等效脈沖寬度當(dāng)前第113頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)信號(hào)的等效脈沖寬度和占有的等效頻帶寬度成反比。結(jié)論當(dāng)前第114頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)(2)脈寬×頻寬＝常數(shù)(1)函數(shù)f(at)表示函數(shù)f(t)在時(shí)間刻度上壓縮a倍，同樣

表示函數(shù)在頻率刻度上擴(kuò)展a倍，因此比例性表明，在時(shí)間域的壓縮等于在頻率域中的擴(kuò)展反之亦然。上述反比特性的物理意義：當(dāng)前第115頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)6.時(shí)移特性若

則證明令則當(dāng)前第116頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)同理可推得：帶有尺度變換的時(shí)移特性令a<0時(shí)加絕對(duì)值當(dāng)前第117頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)單矩形脈沖的頻譜為有如下三脈沖信號(hào)：其頻譜為求三脈沖信號(hào)的頻譜例解當(dāng)前第118頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)頻移特性與時(shí)移特性對(duì)稱（這里ω0為實(shí)常量）7.頻移特性證明當(dāng)前第119頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)若則同理可得當(dāng)前第120頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)矩形脈沖信號(hào)f(t)與余弦信號(hào)cosω0

t相乘后信號(hào)的頻譜函數(shù)。利用頻移特性可得寬度為的矩形脈沖信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)為例解當(dāng)前第121頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)0A2/tt2/t-)(tfowF(ω)F(ω)oww0-w02/tAt2/t-ttfcos)(w0當(dāng)前第122頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)8.微分特性

（1）時(shí)域（2）頻域，則若若，則證明（略）當(dāng)前第123頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)9.積分特性若（1）時(shí)域積分則,則若當(dāng)前第124頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)(2)頻域積分若則當(dāng)前第125頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)10.卷積定理（1）時(shí)域卷積定理

設(shè)有兩個(gè)時(shí)間函數(shù)f1(t)和f2(t)，它們分別對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)為F1(ω)和F2(ω)：若則可簡記為當(dāng)前第126頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)證明式中當(dāng)前第127頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)（2）頻域卷積定理若則可簡記為當(dāng)前第128頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)1.用頻移特性3.7周期信號(hào)的傅里葉變換

3.7.1正、余弦信號(hào)的傅里葉變換令

由頻移特性當(dāng)前第129頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)oo余弦信號(hào)頻譜

正弦信號(hào)頻譜當(dāng)前第130頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)2.用極限方法有限長余弦看成矩形乘以。對(duì)求極限即可得到無限長余弦信號(hào)。當(dāng)前第131頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)1-1當(dāng)前第132頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)3.7.2一般周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)式中當(dāng)前第133頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)

求單位沖激序列的傅里葉變換

例解當(dāng)前第134頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)FSFTOO(1)O1O當(dāng)前第135頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)小結(jié)周期信號(hào)傅里葉變換的特點(diǎn)：

(1)周期信號(hào)可求取傅里葉變換和傅里葉級(jí)數(shù)，但非周期信號(hào)則只能求傅里葉變換；(2)非周期信號(hào)的頻譜是連續(xù)譜，它的大小是有限值；(3)周期信號(hào)的頻譜是離散譜，其幅值是無窮大（含譜密度概念），它的大小用沖激表示；是的包絡(luò)的倍；是單個(gè)復(fù)諧波成份的復(fù)振幅，而是單位帶寬內(nèi)所有復(fù)諧波成分的合的復(fù)振幅值；（6）的單位是伏特或安培，而的單位則是(伏特/赫，安培/赫)；(7)代表的是信號(hào)的功率分配,而代表了信號(hào)的能量分布。

當(dāng)前第136頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)3.8抽樣定理取樣目的及所遇到的問題：數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)簡單框圖當(dāng)前第137頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)（1)取樣后離散信號(hào)的頻譜是什么樣的？它與未被取樣的連續(xù)信號(hào)的頻譜有什么關(guān)系？（2)連續(xù)信號(hào)被取樣后，是否保留了原信號(hào)的所有信息？即在什么條件下，可以從取樣的信號(hào)還原成原始信號(hào)？問題:連續(xù)信號(hào)離散信號(hào)抽樣還原(有條件)

當(dāng)前第138頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)抽樣時(shí)域抽樣頻域抽樣自然抽樣(矩形抽樣)理想抽樣(沖激抽樣)平頂抽樣低通(掌握)帶通（了解)當(dāng)前第139頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)此時(shí)的抽樣脈沖p(t)是矩形。由于fs(t)=f(t)p(t)抽樣信號(hào)在抽樣期間脈沖頂部隨f(t)變化，故這種抽樣稱為“自然抽樣”。時(shí)域抽樣簡圖抽樣過程可以看成由原信號(hào)f(t)和一個(gè)開關(guān)函數(shù)p(t)的乘積來描述。抽樣信號(hào)為1．矩形脈沖抽樣（自然抽樣）3.8.1時(shí)域抽樣連續(xù)信號(hào)f(t)抽樣脈沖p(t)量化編碼數(shù)字信號(hào)抽樣信號(hào)當(dāng)前第140頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)由于p(t)是周期信號(hào)，可知p(t)的傅氏變換為:令模擬帶限信號(hào)傅氏變換為，即取樣脈沖序列的傅氏變換為設(shè)取樣為均勻抽樣，周期為Ts，則取樣角頻率為（1）抽樣信號(hào)頻譜推導(dǎo)式中：當(dāng)前第141頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)由頻域卷積定理得，時(shí)域相乘的傅氏變換等于它們的頻譜在頻域里相卷積。代入上面計(jì)算出的p(t)信號(hào)在時(shí)域被抽樣后，它的頻譜是連續(xù)信號(hào)的頻譜以取樣角頻率為間隔周期地重復(fù)而得到的。在重復(fù)過程中，幅度被取樣脈沖p(t)的傅里葉系數(shù)所加權(quán)，加權(quán)系數(shù)取決于取樣脈沖序列的形狀。

！當(dāng)前第142頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)當(dāng)抽樣脈沖為矩形抽樣脈沖時(shí)，幅度以Sa函數(shù)的規(guī)律變化。從的頻譜圖可見，抽樣后的信號(hào)頻譜包括有原信號(hào)的頻譜以及無限個(gè)經(jīng)過平移的原信號(hào)的頻譜，平移的頻率為抽樣頻率及其各次諧波頻率。且平移后的頻譜幅值隨頻率而呈Sa函數(shù)分布。因矩形脈沖占空系數(shù)很小，故其頻譜所占的頻帶幾乎無限寬。！抽樣后頻譜o1o抽樣前頻譜當(dāng)前第143頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)(1)如果取樣脈沖寬度與系統(tǒng)中各時(shí)間常數(shù)相比十分小的時(shí)候，這個(gè)沖激函數(shù)的假定將是一個(gè)很好的近似，它將使分析簡化。(2)通過沖激取樣的方法來表明數(shù)字信號(hào)，在數(shù)字信號(hào)處理中有著廣泛的應(yīng)用。(點(diǎn)抽樣；均勻抽樣)取樣率必須選得大于信號(hào)頻譜最高頻率的兩倍。（2）抽樣頻率的選擇！當(dāng)前第144頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)（3）矩形脈沖抽樣of(t)oooo點(diǎn)乘卷積oP(t)當(dāng)前第145頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)2.沖激抽樣（理想抽樣）若取樣脈沖是沖激序列，此時(shí)稱為“沖激取樣”或“理想抽樣”。設(shè)Ts為取樣間隔，則取樣脈沖為因T(t)的傅氏系數(shù)為:故沖激取樣信號(hào)的頻譜為：當(dāng)前第146頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)周期單位沖激序列的FT：當(dāng)前第147頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)ooooo當(dāng)前第148頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)抽樣前信號(hào)頻譜抽樣后信號(hào)頻譜由于沖激序列的傅里葉系數(shù)Pn為常數(shù)，所以是以為周期等幅地重復(fù)，如下圖所示：當(dāng)前第149頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)（1）時(shí)域理想抽樣的傅里葉變換下面對(duì)矩形脈沖抽樣和沖激抽樣進(jìn)行比較和小結(jié)：FT相乘

相卷積FT當(dāng)前第150頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)（2）關(guān)于非理想抽樣非理想抽樣理想抽樣比較當(dāng)前第151頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)理想抽樣和非理想抽樣的對(duì)比當(dāng)前第152頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)結(jié)論矩形脈沖抽樣和沖激抽樣的重要差別就在于頻譜分量的性質(zhì)不同。矩形脈沖抽樣所導(dǎo)出的頻譜分量的幅度是按包絡(luò)的變化規(guī)律隨頻率而下降的，而理想抽樣所導(dǎo)出的頻譜卻有著相同的幅度，不隨頻率而減少；是信號(hào)本身固有的；是人為的；稱為奈奎斯特抽樣頻率；稱為奈奎斯特抽樣間隔；抽樣頻率為奈奎斯特抽樣頻率的兩倍或兩倍以上時(shí)，抽樣信號(hào)的頻譜才不會(huì)發(fā)生混疊。只有這樣才能無失真地恢復(fù)出原信號(hào)。

當(dāng)前第153頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)3．抽樣定理定理3.1設(shè)有一連續(xù)信號(hào)f(t)，它的頻譜則只要取樣間隔滿足，連續(xù)信號(hào)f(t)就可表示為：當(dāng)前第154頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)

由于f(t)的頻帶有限,而時(shí)域取樣必導(dǎo)致頻域周期。在周期重復(fù)時(shí)，為保證內(nèi)為，則重復(fù)周期應(yīng)滿足,將取樣信號(hào)通過截止頻率為的理想低通濾波器，便能從中恢復(fù),也就是說，能從取樣信號(hào)fs(t)中恢復(fù)出原始信號(hào)

f(t)。證明OO當(dāng)前第155頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)由時(shí)域卷積定理知：復(fù)原始信號(hào)f(t)。設(shè)、,則當(dāng)通過截止頻率為的理想低通濾波器時(shí)，濾波器的響應(yīng)頻譜為，顯然濾波器的作用等效于一個(gè)開關(guān)函數(shù)同的相乘。即當(dāng)前第156頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)當(dāng)前第157頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)則(內(nèi)插公式)證畢而由傅里葉變換的對(duì)稱性可知：當(dāng)前第158頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)由于定理二是討論由離散信號(hào)恢復(fù)成連續(xù)信號(hào)，所以又稱重建定理。

設(shè)f(t)是一帶限連續(xù)信號(hào)，最高頻率為,根據(jù)定理一對(duì)f(t)進(jìn)行抽樣，得f(nT)，則f(nT)經(jīng)過一個(gè)頻率響應(yīng)為如圖的理想低通濾波器后便得到f(t).

(自證)定理3.210當(dāng)前第159頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)頻域抽樣定理若信號(hào)為時(shí)限信號(hào)，它集中在的時(shí)間范圍內(nèi)，若在頻域中，以不大于的頻率間隔對(duì)的頻譜進(jìn)行抽樣，則抽樣后的頻譜可以唯一地表示原信號(hào)。3.8.2頻域抽樣

頻域有限時(shí)域有限時(shí)域無限頻域無限但反之不一定成立如：白噪聲時(shí)域取樣與頻域取樣的對(duì)稱性f(t)以為周期重復(fù)f(t)以T為周期重復(fù)當(dāng)前第160頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)根據(jù)時(shí)域和頻域?qū)ΨQ性，可推出頻域抽樣定理偶函數(shù)變量置換當(dāng)前第161頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)頻域取樣后的時(shí)間函數(shù)相乘卷積當(dāng)前第162頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)當(dāng)前第163頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)抽樣定理小結(jié)時(shí)域?qū)θ拥刃в陬l域?qū)χ貜?fù)時(shí)域取樣間隔不大于。頻域?qū)Τ闃拥刃в跁r(shí)域?qū)χ貜?fù)頻域取樣間隔不大于。滿足取樣定理，則不會(huì)產(chǎn)生混疊。當(dāng)前第164頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)3.9功率頻譜與能量頻譜3.9.1周期信號(hào)的功率譜

周期性信號(hào)的能量無窮大，功率有限，因此可從功率方面進(jìn)行研究。(1)正交分解與信號(hào)功率對(duì)周期信號(hào)f(t)做正交分解，有：則總功率為當(dāng)前第165頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)式中，為正交信號(hào)分量的功率如果信號(hào)在非正交函數(shù)集中分解后，信號(hào)的功率并不滿足疊加性（如泰勒級(jí)數(shù)展開）。注意利用信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)分解后的信號(hào)分量，計(jì)算原信號(hào)的功率

例因?yàn)楦道锶~級(jí)數(shù)分解是正交分解

解當(dāng)前第166頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)時(shí)域求得的信號(hào)功率頻域求得的信號(hào)功率（1）周期信號(hào)的表示形式對(duì)于周期信號(hào)，在時(shí)域中求得的信號(hào)功率＝頻域中的信號(hào)各諧波分量功率之和。這就是Parseval定理在周期信號(hào)時(shí)的表示形式帕塞瓦爾定理：當(dāng)前第167頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)(1)對(duì)于單邊功率譜，在每個(gè)不等于零（非直流）的頻率上，子信號(hào)功率，直流信號(hào)的功率為

將周期性信號(hào)在各個(gè)頻率上分量的功率大小，用圖的方法表示出。其橫坐標(biāo)為頻率，縱坐標(biāo)為信號(hào)分量的功率，該圖形稱為功率譜圖。功率譜與頻譜非常相似，但有稍許不同：(2)對(duì)于雙邊功率譜，在每個(gè)頻率點(diǎn)上，子信號(hào)功率為：(3)功率譜只有大?。ǚ龋瑳]有相位。（3）周期性信號(hào)的功率譜當(dāng)前第168頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)3.9.2能量頻譜對(duì)于非周期信號(hào)而言，其周期為無窮，但能量有限，所以它的功率為零，故我們只可以從能量角度研究對(duì)其進(jìn)行研究。非周期信號(hào)在各個(gè)頻率上的實(shí)際分量大小為無窮小，只能用能量密度譜描述單位頻帶內(nèi)的信號(hào)能量。：（1）能量譜信號(hào)總能量：當(dāng)前第169頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)在時(shí)域中,卷積積分的方法可求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。它是以沖激信號(hào)作為基本信號(hào)，將任意連續(xù)信號(hào)分解為無窮多個(gè)沖激函數(shù)的加權(quán)和，每個(gè)沖激函數(shù)對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)疊加起來，就得到的零狀態(tài)響應(yīng)。本節(jié)中,正弦信號(hào)或諧波信號(hào)作為基本信號(hào)，將信號(hào)分解為無窮多個(gè)正弦信號(hào)或虛指數(shù)的加權(quán)和。這些信號(hào)作用于系統(tǒng)時(shí)所得到的響應(yīng)之疊加即為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。

3.10系統(tǒng)頻域分析法當(dāng)前第170頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)在時(shí)域中其中：H(j)=FT[h(t)]稱頻域系統(tǒng)函數(shù)。則h(t)=IFT[H(j)]

也稱系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。稱為幅頻特性，稱相頻特性。輸入的頻譜響應(yīng)的頻譜3.10.1周期性信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)在頻域中當(dāng)前第171頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)式中為h(t)的傅里葉變換，頻域系統(tǒng)函數(shù)可見，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)是等于激勵(lì)ejt

乘以加權(quán)函數(shù)H(j)，此加權(quán)函數(shù)H(j)即為頻域系統(tǒng)函數(shù)，亦即為h(t)的傅里葉變換。設(shè)激勵(lì)f(t)=ejt,則系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)為即有

h(t)H(j)！當(dāng)前第172頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)周期信號(hào)激勵(lì)下的系統(tǒng)響應(yīng)正弦信號(hào)激勵(lì)時(shí)的響應(yīng)設(shè)輸入信號(hào)為正弦信號(hào)，即所以當(dāng)前第173頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)頻域分析的方法的求解步驟為：先求出輸入信號(hào)的頻譜F(j)和頻域系統(tǒng)函數(shù)H(j)由于y(t)=h(t)f(t)，利用連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的傅里葉變換的時(shí)域卷積性質(zhì)，有

Y(j)=H(j)F(j)，求出輸出信號(hào)的頻譜將Y(j)進(jìn)行傅里葉反變換就得到y(tǒng)(t)3.10.2非周期信號(hào)通過線性系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)補(bǔ)充RC電路，若輸入信號(hào)為矩形脈沖波如圖所示。求系統(tǒng)響應(yīng)。矩形脈沖波當(dāng)前第174頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)輸入信號(hào)的頻譜為解RC電路的系統(tǒng)函數(shù)為因此，輸出頻譜為因?yàn)楫?dāng)前第175頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)令1/RC=a，可得當(dāng)前第176頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)用Matlab畫出的輸出信號(hào)的頻譜如圖所示。圖中畫出了帶寬和的兩種情況

RC電路輸出的幅度頻譜當(dāng)前第177頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)RC電路輸出的時(shí)域波形

當(dāng)前第178頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)由于RC電路的低通特性，高頻分量有較大的衰減，故輸出波形不能迅速變化。輸出波形不再是矩形脈沖信號(hào)，而是以指數(shù)規(guī)律逐漸上升和下降。當(dāng)帶寬增加時(shí)，允許更多的高頻分量通過，輸出波形的上升與下降時(shí)間縮短，和輸入信號(hào)波形相比，失真減小。結(jié)論當(dāng)前第179頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)為起始頻率，，1．h=freqs(b,a,w)式中對(duì)應(yīng)于式(3-159)中的向量，對(duì)應(yīng)于式（3-159）中的向量使用形式如為終止頻率，為頻率取樣間隔。向量返回在頻率向量上的系統(tǒng)函數(shù)樣值。，w為頻率取值范圍，2．[h,w]=freqs(b,a)該調(diào)用格式將計(jì)算默認(rèn)頻率范圍內(nèi)200個(gè)頻率點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)樣值，并賦值給返回變量，200個(gè)頻率點(diǎn)記錄在w中。3.10.3MATLAB仿真實(shí)現(xiàn)當(dāng)前第180頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)右圖是常見的用RLC元件構(gòu)成的某系統(tǒng)電路。設(shè)4．freqs(b,a)

該調(diào)用格式并不返回系統(tǒng)函數(shù)樣值，而是以對(duì)數(shù)坐標(biāo)的方式繪出系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)。3．[h,w]=freqs(b,a,n)

該調(diào)用格式將計(jì)算默認(rèn)頻率范圍內(nèi)200個(gè)頻率點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)樣值，并賦值給返回變量，個(gè)頻率點(diǎn)記錄在w中。，試用MATLAB的freqs()函數(shù)求解該系統(tǒng)頻率響應(yīng)并繪圖。例

，，RLC二階低通濾波器電路圖當(dāng)前第181頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)根據(jù)原理圖，容易寫出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：式中，將R、L、C的值代入的表達(dá)式，得：解當(dāng)前第182頁\共有201頁\編于星期四\10點(diǎn)b=[001];a=[0.080.41];%生成向量b，a[h,w]=freqs(b,a,100);%求系統(tǒng)頻響特性h1=abs(h);%求幅頻響應(yīng)h2=angle(h);%求相頻響應(yīng)subplot(211);plot(w,h1);gridxlabel('角頻率(W)');ylabel('幅度');title('H(jw)的幅頻特性');subplot(212);plot(w,h2*180/pi);gridxlabel('角頻率(w)');ylabel