經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)

經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第一頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.1一元線性回歸模型（1）一般地，一元線性回歸模型（統(tǒng)計(jì)模型）有如下形式：

yt=0+1

xt

+ut

上式表示變量yt

和xt之間的真實(shí)關(guān)系。其中yt

稱被解釋變量（因變量），xt稱解釋變量（自變量），ut稱隨機(jī)誤差項(xiàng)，0稱常數(shù)項(xiàng)，1稱回歸系數(shù)（通常未知）。上模型可以分為兩部分。（1）回歸函數(shù)部分，E(yt)=0+1

xt,（2）隨機(jī)部分，ut

。第二頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.1一元線性回歸模型（2）以收入與支出的關(guān)系為例。假設(shè)固定對(duì)一個(gè)家庭進(jìn)行觀察，隨著收入水平的不同，與支出呈線性函數(shù)關(guān)系。但實(shí)際上數(shù)據(jù)來自各個(gè)家庭，來自各個(gè)不同收入水平，使其他條件不變成為不可能，所以由數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖不在一條直線上（不呈函數(shù)關(guān)系），而是散在直線周圍，服從統(tǒng)計(jì)關(guān)系。隨機(jī)誤差項(xiàng)ut中可能包括家庭人口數(shù)不同，消費(fèi)習(xí)慣不同，不同地域的消費(fèi)指數(shù)不同，不同家庭的外來收入不同等因素。所以在經(jīng)濟(jì)問題上“控制其他因素不變”是不可能的。第三頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.1一元線性回歸模型（3）第四頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.1一元線性回歸模型（4）回歸模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)中一般包括如下幾項(xiàng)內(nèi)容，（1）非重要解釋變量的省略，（2）人的隨機(jī)行為，（3）數(shù)學(xué)模型形式欠妥，（4）歸并誤差（糧食的歸并）（5）測(cè)量誤差等?；貧w模型存在兩個(gè)特點(diǎn)。（1）建立在某些假定條件不變前提下抽象出來的回歸函數(shù)不能百分之百地再現(xiàn)所研究的經(jīng)濟(jì)過程。（2）也正是由于這些假定與抽象，才使我們能夠透過復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，深刻認(rèn)識(shí)到該經(jīng)濟(jì)過程的本質(zhì)。第五頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.1一元線性回歸模型（5）通常線性回歸函數(shù)E(yt)=0+1

xt

是觀察不到的，利用樣本得到的只是對(duì)E(yt)=0+1

xt

的估計(jì)，即對(duì)0和1的估計(jì)。在對(duì)回歸函數(shù)進(jìn)行估計(jì)之前應(yīng)該對(duì)隨機(jī)誤差項(xiàng)ut做出如下假定。

(1)ut是一個(gè)隨機(jī)變量，ut

的取值服從概率分布（再初等階段我們一般假設(shè)服從正態(tài)分布）。(2)E(ut)=0。(3)D(ut)=E[ut-E(ut)]2=E(ut)2=

2。稱ui具有同方差性。第六頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一(4)ut為正態(tài)分布（根據(jù)中心極限定理）。以上四個(gè)假定可作如下表達(dá)。ut

N(0,

)。(5)Cov(ui,uj)=E[(ui

-E(ui))(uj-E(uj))]=E(ui,uj)=0,(i

j)。含義是不同觀測(cè)值所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)項(xiàng)相互獨(dú)立。稱為ui

的非自相關(guān)性。(6)xi是非隨機(jī)的（初等階段）。(7)Cov(ui,xi)=E[(ui

-E(ui))(xi-E(xi))]=E[ui

(xi

-E(xi)]=E[ui

xi-ui

E(xi)]=E(ui

xi)=0.ui

與xi

相互獨(dú)立。否則，分不清是誰(shuí)對(duì)yt的貢獻(xiàn)。(8)對(duì)于多元線性回歸模型，解釋變量之間不能完全相關(guān)或高度相關(guān)（非多重共線性）。在假定（1），（2）成立條件下有E(yt)=E(0+1

xt

+ut)=0+1

xt

。第七頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.2．最小二乘估計(jì)（OLS）對(duì)于所研究的經(jīng)濟(jì)問題，通常真實(shí)的回歸直線是觀測(cè)不到的。收集樣本的目的就是要對(duì)這條真實(shí)的回歸直線做出估計(jì)。第八頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.2．最小二乘估計(jì)（2）怎樣估計(jì)這條直線呢？顯然綜合起來看，這條直線處于樣本數(shù)據(jù)的中心位置最合理。怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述“處于樣本數(shù)據(jù)的中心位置”？設(shè)估計(jì)的直線用表示。其中稱yt的擬合值，和分別是0

和1的估計(jì)量。觀測(cè)值到這條直線的縱向距離用表示，稱為殘差。稱為估計(jì)的模型。假定樣本容量為T。（1）用“殘差和最小”確定直線位置是一個(gè)途徑。但很快發(fā)現(xiàn)計(jì)算“殘差和”存在相互抵消的問題。（2）用“殘差絕對(duì)值和最小”確定直線位置也是一個(gè)途徑。但絕對(duì)值的計(jì)算比較麻煩。（3）最小二乘法的原則是以“殘差平方和最小”確定直線位置。用最小二乘法除了計(jì)算比較方便外，得到的估計(jì)量還具有優(yōu)良特性。（這種方法對(duì)異常值非常敏感）第九頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.2．最小二乘估計(jì)（3）設(shè)殘差平方和用Q表示，則通過Q最小確定這條直線，即確定和的估計(jì)值。以和為變量，把Q看作是和的函數(shù)，這是一個(gè)求極值的問題。求Q對(duì)和的偏導(dǎo)數(shù)并令其為零，得正規(guī)方程，計(jì)算結(jié)果的推導(dǎo)過程參見（附錄2－1）第十頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.3最小二乘估計(jì)量和的特性1.線性特性:這里指和分別是yt的線性函數(shù)。令代入上式，得可見是yt的線性函數(shù)，是1的線性估計(jì)量。同理0也具有線性特性（證明留作課后習(xí)題）。第十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.3最小二乘估計(jì)量和的特性2.無(wú)偏性：估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望即總體參數(shù)本身利用上式E()=E(ktyt)=E[kt(0+1

xt+ut)]=E(0

kt

+1

ktxt+ktut)=E[1

kt

(xt-)

+ktut]=1+E(ktut)=13.有效性：OLS估計(jì)量在線性無(wú)偏估計(jì)量中方差最小。0,1的OLS估計(jì)量的方差比其他估計(jì)量的方差小。

Gauss-Marcov定理：若ut滿足E(ut)=0，D(ut)=

2，那么用OLS法得到的估計(jì)量就具有最佳線性無(wú)偏性。估計(jì)量稱最佳線性無(wú)偏估計(jì)量。最佳線性無(wú)偏估計(jì)特性保證估計(jì)值最大限度的集中在真值周圍，估計(jì)值的置信區(qū)間最小。OLS估計(jì)量都能滿足上述漸近特性，但滿足漸近特性的估計(jì)量不見得是最佳線性無(wú)偏估計(jì)量。(見附錄二）第十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一OLS

小結(jié)注意：分清4個(gè)式子的關(guān)系。(1)真實(shí)的統(tǒng)計(jì)模型，yt=0+1

xt

+ut(2)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)模型，yt=+xt

+(3)真實(shí)的回歸直線，E(yt)=0+1

xt(4)估計(jì)的回歸直線，=+xt第十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.4OLS回歸直線的性質(zhì)(1)殘差和等于零，=0

由正規(guī)方程2

(yt

--xt)(-1)=0得

(yt--xt)=

(yt-)=

()=0(2)估計(jì)的回歸直線=+xt過（,）點(diǎn)。正規(guī)方程

(yt--xt)=0兩側(cè)同除樣本容量T，得

=+。得證。(3)yt的擬合值的平均數(shù)等于其樣本觀測(cè)值的平均數(shù)，=。

==(+xt)=+=。得證。

(4)Cov(,xt)=0

只需證明

(xt-)=xt-=xt=0。上式為正規(guī)方程之一。(5)Cov(,)=0（證明留作課后作業(yè)）第十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.5yt的分布和的分布根據(jù)假定條件ut

N(0,

)，E(yt)=E(0+1

xt

+ut)=0+1

xt+E(ut)=0+1

xt。

Var(yt)=Var(0+1

xt+ut)=Var(0+1

xt)

+Var(ut)=

yt是ut的線性函數(shù)，所以ytN(0+1

xt,

)?？梢宰C明E()=1;Var()=

，

是yt的線性函數(shù)（=kt

yt），所以N(1,

)。證明留作課后練習(xí)

第十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.6

的估計(jì)定義,其中2表示待估參數(shù)的個(gè)數(shù)?？梢宰C明.是

的無(wú)偏估計(jì)量。因?yàn)槭菤埐?，所以又稱作誤差均方?？捎脕砜疾煊^測(cè)值對(duì)回歸直線的離散程度。和的估計(jì)的方差是

第十六頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.7擬合優(yōu)度的測(cè)量可以證明

(yt-)2=

(-)2+

(yt-)2=

(-)2+

()2。SST（總平方和）=SSR（回歸平方和）+SSE（殘差平方和）注：SSR：舊指回歸平方和（regressionsumofsquares），現(xiàn)指殘差平方和（sumofsquaredresiduals）

SSE：舊指殘差平方和（errorsumofsquares(sumofsquarederrors)），現(xiàn)指回歸平方和（explainedsumofsquares）擬合優(yōu)度是指回歸直線對(duì)觀測(cè)值的擬合程度。顯然若觀測(cè)值離回歸直線近，則擬合程度好；反之則擬合程度差。第十七頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.7擬合優(yōu)度的測(cè)量（2）證:

(yt-)2=[

(yt-)+

(-)]2=

(yt-)2+

(-)2+2

(yt-)

(-)

其中

(yt-)

(-)=

(yt

-)(xt

-)=

(yt-)xt-

(yt

-)=xt=0（正則方程）度量擬合優(yōu)度的統(tǒng)計(jì)量是可決系數(shù)（確定系數(shù)）。

R2==（回歸平方和）/（總平方和）=

SSR/SST

所以R2的取值范圍是[0，1]。對(duì)于一組數(shù)據(jù)，SST是不變的，所以SSR↑（↓），SSE↓（↑）。第十八頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.8回歸參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)及其置信區(qū)間主要是檢驗(yàn)1是否為零。而用樣本計(jì)算的是否等于零則應(yīng)通過檢驗(yàn)來判斷是否有統(tǒng)計(jì)上的顯著性。

原假設(shè)H0:1=0;備擇假設(shè)H1:1

0在H0成立條件下，統(tǒng)計(jì)量若

t

>t

(T-2)，則1

0；若

t

<t(T-2)，則1=0第十九頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.8參數(shù)顯著性檢驗(yàn)及其置信區(qū)間（2）還可以利用估計(jì)1的置信區(qū)間。由于由大括號(hào)內(nèi)不等式得1的置信區(qū)間

-t

(T-2)

1

+t

(T-2)

其中是的算術(shù)根，而其中的是的算術(shù)根。第二十頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.9yF

的點(diǎn)預(yù)測(cè)及其區(qū)間預(yù)測(cè)以下以時(shí)間序列數(shù)據(jù)為例介紹預(yù)測(cè)問題。預(yù)測(cè)可分為事前預(yù)測(cè)和事后預(yù)測(cè)。兩種預(yù)測(cè)都是在樣本區(qū)間之外進(jìn)行。對(duì)于事后預(yù)測(cè)，被解釋變量和解釋變量的值在預(yù)測(cè)區(qū)間都是已知的。可以直接用實(shí)際發(fā)生值評(píng)價(jià)模型的預(yù)測(cè)能力。對(duì)于事前預(yù)測(cè)，解釋變量是未發(fā)生的。（當(dāng)模型中含有滯后變量時(shí)，解釋變量則有可能是已知的。）當(dāng)預(yù)測(cè)被解釋變量時(shí)，則首先應(yīng)該預(yù)測(cè)解釋變量的值。對(duì)于解釋變量的預(yù)測(cè)，通常采用時(shí)間序列模型。第二十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一預(yù)測(cè)還分為有條件預(yù)測(cè)和無(wú)條件預(yù)測(cè)。對(duì)于無(wú)條件預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)式中所有解釋變量的值都是已知的。所以事后預(yù)測(cè)應(yīng)該屬于無(wú)條件預(yù)測(cè)。當(dāng)一個(gè)模型的解釋變量完全由滯后變量組成時(shí)，事前預(yù)測(cè)也有可能是無(wú)條件預(yù)測(cè)。例如：

當(dāng)預(yù)測(cè)T+1期的yt值時(shí)，xt用的是T期值，是已知值。預(yù)測(cè)還分為靜態(tài)預(yù)測(cè)和動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)。第二十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.9yF

的點(diǎn)預(yù)測(cè)及其區(qū)間預(yù)測(cè)（2）yF的點(diǎn)預(yù)測(cè)。根據(jù)估計(jì)的回歸函數(shù)，得:單個(gè)yF

的區(qū)間預(yù)測(cè)的分布是

所以，yF

的區(qū)間預(yù)測(cè)是E(yF)

的區(qū)間預(yù)測(cè)

E(

)的分布是則E(yF)

的區(qū)間預(yù)測(cè)是第二十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一OLS及其預(yù)測(cè)的Eviews操作案例2－1：用回歸模型預(yù)測(cè)木材剩余物：（見附錄2－4）（附錄ch2－1為作業(yè)數(shù)據(jù)）第二十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一OLS及其預(yù)測(cè)的Eviews操作（2）根據(jù)EViews輸出結(jié)果（上圖），寫出OLS估計(jì)式如下：

=-0.7629+0.4043xt

(-0.6)(12.1)

R2=0.91,s.e.=2.04其中括號(hào)內(nèi)數(shù)字是相應(yīng)t統(tǒng)計(jì)量的值。s.e.是回歸函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，即。R2是可決系數(shù)。R

2=0.91說明上式的擬合情況較好。yt變差的91%由變量xt解釋。檢驗(yàn)回歸系數(shù)顯著性的原假設(shè)和備擇假設(shè)是（給定

=0.05）：H0：1=0；H1：1

0第二十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一因?yàn)閠=12.1>t0.05

(14)=2.15，檢驗(yàn)結(jié)果是拒絕1=0，即認(rèn)為年木材剩余物和年木材采伐量之間存在回歸關(guān)系。（殘差圖見操作）估計(jì)1的置信區(qū)間。由

得1的置信區(qū)間是

[-t0.05

(14),+t0.05

(14)][0.4043-2.150.0334,0.4043+2.15