線線線面面面角的問題

第一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一ABCDEM解法一:(Ⅰ)證明:取BE的中點N,連接MN，AN，則MN//CB//DA，故M，N，A，D四點共面.…2分N∵DA⊥平面EAB，∴DA⊥EB.…3分又EA=AB，∴AN⊥EB…4分由MN∩AN=N，∴EB⊥平面ANMD…6分∴DM⊥EB.…7分也可以直接用“三垂線定理”【08深一?！?8.(本小題滿分14分)

如圖所示的幾何體ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB//DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中點，(Ⅰ)

求證：DM⊥EB；

(Ⅱ)求二面角M-BD-A的余弦值.2第二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一P設(shè)CB=a，AC與BD的交點為O，∠AOD=θ∠CAB=α，QOABCDENM解:(Ⅱ)取AC的中點P，連MP，則MP//EA，∴MP⊥平面ABCD，過P作PQ⊥BD，連QM，則QM⊥BD，∴∠MQP是二面角M-BD-A的平面角

9分

則有∴sinθ=sin(α+450)

又MP=0.5EA=a，在Rt△MPQ中，即二面角M-BD-A的余弦值為

…14分…12分？3第三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一EDCBAMzyx解法二:分別以直線AE，AB，AD為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，設(shè)CB=a，則A(0，0，0)，E(2a，0，0)，B(0，2a，0)，C(0，2a，a)，D(0，0，2a)，所以M(a，a，)……4分DM⊥EB，即DM⊥EB

……7分(Ⅱ)解:設(shè)平面MBD的法向量為n=(x，y，z)DB=(0，2a，－2a)由n⊥DB，n⊥DM得DM·EB=a(－2a)+a·2a+0=0(Ⅰ)證:DM=(a，a，－1.5a)，

EB=(－2a，2a，0)，

…5分4第四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一取z=2得平面MBD的一非零法向量為n=(1，2，2)，

又平面BDA的法向量為

n1=(1，0，0)，cos<n，n1>即二面角M-BD-A的余弦值為

…14分…11分EDCBAMzyx…10分此題用“坐標法”解簡單易行！5第五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一17.(本小題滿分14分)

如圖，邊長為2的線段AB夾在直二面角α-l-β的兩個半平面內(nèi)，A∈α，B∈β，且AB與平面α、β所成的角都是300，AC⊥l垂足為C，BD⊥l，垂足為D.

(Ⅰ)

直線AB與CD所成的角；(Ⅱ)求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值．lβαDCBA如何合理的選擇正確的方法解“立幾”題？通過解題的過程您將有會什么樣的收獲與啟發(fā)？本節(jié)將以此題為例探索解決立體中有關(guān)角的問題的規(guī)律.由此我們聯(lián)想[2006廣州一模]一道立體幾何題6第六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一②平移法:即根據(jù)定義，以“運動”的觀點，用“平移轉(zhuǎn)化”的方法使之成為相交直線所成的角.選擇“特殊點”作異面直線的平行線，構(gòu)作含異面直線所成(或其補角)的角的三角形，再求之.③補形法:把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體等，其目的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系.①向量法:線線角可轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量所成的角.異面直線所成角的范圍是:(0，900]求異面直線所成的角常用的方法有：一、異面直線所成的角

根據(jù)異面直線所成角的定義，求異面直線所成角,就是要將其變換成相交直線所成有角.7第七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一二、直線和平面所成的角直線與平面平行或在平面內(nèi)直線和平面所成的角0o斜線和平面所成的角是：斜線及斜線在平面上的射影所成的角.關(guān)鍵是找準斜線段在平面內(nèi)的射影；直線與平面垂直，直線和平面所成的角是90o；①直接法:通常是從斜線上找特殊點，作平面的垂線段構(gòu)作含所求線面角的三角形求之.②公式法：求斜線與平面所成的角，還可以利用三面角的余弦公式：注:當余弦值為負值時其對應(yīng)角為鈍角，這不符合定義，故其補角為所求的角.αβγcosα=cosβcosγ8第八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一nAB③向量法線面角等于直線的方向向量與平面的法向量所成角的余角.線面角或等于直線的方向向量與平面的法向量所成角的補角的余角.αβγABCP在Rt△PAC中，cosβ=在Rt△ABC中，cosγ=在Rt△PAB中，cosα=cosα=cosβcosγ9第九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2、二面角的平面角的作法：①定義法：點P在棱上根據(jù)定義作出來.αβlP②作垂面：點P在二面角內(nèi)作與棱垂直的平面與兩半平面的交線得到.AOBαβlP③應(yīng)用三垂線：點A在一個半平面上應(yīng)用三垂線定理或其逆定理作出來.BAOαβl三、平面和平面所成的角:(二面角的平面角)

以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面上分別引垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.二面角范圍為[00，1800].10第十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一一“作”二“證”三“計算”αABC的邊BC在平面α內(nèi)，A在平面α內(nèi)的射影是P，設(shè)ABC的面積為S，它和平面α交成二面角θ(0o<θ<90o)，射影PBC的面積為S1，求證:S1=Scosθ.ABCPDθ④面積射影法:S射=S原cosθ1.頂點在棱上；2.兩邊在兩面內(nèi)；3.兩邊垂直于棱.注意:二面角的平面角必須滿足:S1=SPBC=BC×PD

，S2=SABC=BC×AD，11第十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一用此公式就可以求出二面角的平面角(異面直線上兩點的距離公式)⑥公式法：如圖，CBF=為二面角的平面角在CBF中，由余弦定理可求得，再由Rt△ECF可得EF2=d2+m2+n2－2mncos(0o，180o)EFmndBClmdO面面角等于兩平面的法向量所成的角或等于兩平面的法向量所成角的補角.技巧:先由直覺判斷二面角為銳角還是為鈍角然后取等角或補角與之相等.⑤向量法:借用公式12第十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一求二面角方法:②.應(yīng)用三垂線（逆）定理法：在二面角α-l-β的面α上取一點A，作AB⊥β于B，BC⊥l于C，則∠ACB即為α-l-β的平面角.③.作垂面法:作棱的垂面，則它和二面角的兩個面的交線所成的角就是二面角的平面角.

④.向量法:利用兩平面的法向量的夾角與二面角的平面角的關(guān)系求得.⑤.cosθ=OADCBHS1S①.定義法：以二面角的棱上某一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角即二面角的平面角.⑥.公式法:l2=m2+n2+d2－2mncosθ.13第十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2.學(xué)會求簡單的二面角問題，求二面角問題的關(guān)鍵在于確定二面角的平面角；體會到聯(lián)想、類比及邏輯推理的方法在探索新知識方面的重要作用.1.平幾中“角”聯(lián)想、類比立幾中的“二面角”平面角度量定義法、三垂線法、垂面法、射影法找出（或作）

找出或作出二面角的平面角;證明其符合定義;計算，其格式為:應(yīng)先定其位，后算其值，其特點:“夾議夾敘”.3.求二面角大小的步驟為:歸納小結(jié)14第十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一(Ⅰ)由于α⊥β，且AC⊥l，則AC⊥β，建立如圖所示空間直角坐標系.故直線AB與CD所成的角為450.AC⊥l于C，BD⊥l于D，則AC=1，BD=1，AD=，CD=所以A(0，0，1)，B(1，－，0)，C(0，0，0)，

D(0，－，0)，解法一:向量法lβαDCBAxyz如圖，邊長為2的線段AB夾在直二面角α-l-β的兩個半平面內(nèi)，A∈α，B∈β，且AB與平面α、β所成的角都是300，AC⊥l垂足為C，BD⊥l，垂足為D.

(Ⅰ)

直線AB與CD所成的角；15第十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一

(Ⅰ)在平面β內(nèi)過點B作BE∥DC且BE=DC，連結(jié)CE，EA，則四邊形BECD是矩形，所以∠ABE就是直線AB與CD所成的角.∵AB=2，α⊥β，AC⊥l，ACα，∴AC⊥β.∵CE⊥BE，∴AE⊥BE，∴∠ABC=300,∴AC=1,同理BD=1,∴CE=1,AE=∴∠ABE=450,故直線AB與CD所成的角為450.在Rt△AEB中，sin

∠ABE=解法二：平移法解法三:補形法

把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，其目的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系.lβαDCBAE16第十六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一B例1、長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成的角.解法一（平移法）：如圖，連B1D1與A1C1交于O1，取BB1的中點M，連O1M，則O1MD1B，O1M于是A1O1M就是異面直線A1C1與BD1所成的角（或其補角），連A1M，在A1O1M中DB1A1D1C1AC由余弦定理得A1C1與BD1所成的角為解法二（補形法）：如圖，補一個與原長方體全等的并與原長方體有公共面BC1的方體B1F，連結(jié)A1E，C1E，則A1C1E為A1C1與BD1所成的角(或補角)，17第十七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一在A1C1E中，由余弦定理得A1C1與BD1所成的角為F1EFE1BDB1A1D1C1AC解法三（向量法）：A1D1C1B1ABCDxyz18第十八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一lβαDCGFBA（Ⅱ）∵AC⊥β,AC

平面ABC,∴平面BAC⊥平面BDC,且交線是BC.過D點作DF⊥

BC，垂足為F，則DF

⊥平面BAC.過F點作FG⊥A

B，垂足為G,連結(jié)DG，則DG

⊥AB.所以∠DFG二面角C-AB-D的平面角．故二面角C-AB-D所成平面角的余弦值為解法一：垂線法[廣州一模]17.(本小題滿分14分）

如圖,邊長為2的線段AB夾在直二面角α-l-β的兩個半平面內(nèi),A∈α,B∈β，且AB與平面α、β所成的角都是300,AC⊥l垂足為C，BD⊥l，垂足為D.

（Ⅱ)求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值．19第十九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一

由于D在平面ABC內(nèi)的射影F在BC邊上，ABF為ABD在平面ABC上的射影，設(shè)所求的二面角為,解法二：射影法lβαDCFBA故二面角C-AB-D所成平面角的余弦值為[廣州一模]17.(本小題滿分14分）

如圖,邊長為2的線段AB夾在直二面角α-l-β的兩個半平面內(nèi),A∈α,B∈β，且AB與平面α、β所成的角都是300,AC⊥l垂足為C，BD⊥l，垂足為D.

（Ⅱ)求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值．20第二十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一lβαBADCxyz故二面角C-AB-D所成平面角的余弦值為解法三：向量法設(shè)平面ABD的一個法向量為n2=(x2,y2,z2)，(Ⅱ)設(shè)平面ABC的一個法向量為n1=(x1,y1,z1)，[廣州一模]17.(本小題滿分14分）

如圖,邊長為2的線段AB夾在直二面角α-l-β的兩個半平面內(nèi),A∈α,B∈β,且AB與平面α、β所成的角都是300,AC⊥l垂足為C，BD⊥l，垂足為D.

（Ⅱ)求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值．21第二十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一如圖，作CE、DF都垂直于所求二面角的棱AB，E、F是垂足，設(shè)所求二面角C-AB-D的平面角大小為，則解法四：公式法lβαDCFBAE[廣州一模]

17.(本小題滿分14分)

如圖,邊長為2的線段AB夾在直二面角α-l-β的兩個半平面內(nèi)，A∈α，B∈β,且AB與平面α、β所成的角都是300,AC⊥l垂足為C，BD⊥l，垂足為D.

(Ⅰ)

直線AB與CD所成的角；(Ⅱ)求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值．22第二十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一例題2、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求A1B與平面A1B1CD所成的角ABCDA1B1C1D1Oxyz（解法一）∵DC⊥平面BCC1B1,BC1

平面BCC1B1,∴BC1

⊥DC,且BC1

⊥B1C,BC1

∩DC=C,∴∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角∴BC1

⊥平面B1CDA1

所以∠BA1O=300，故A1B與平面A1B1CD所成的角為300.（解法二）如圖建立空間之間坐標系，設(shè)正方體的邊長為1，則O(,1,),B（1，1，0），A1（1，0，1）.故A1B與平面A1B1CD所成的角為300.23第二十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一例3、如圖，斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面為一等腰直角三角形，直角邊AB=AC=2cm，側(cè)棱與底面成60o角，BC1AC，BC1=cm,求BC1與底面所成的角.分析：欲求BC1與底面ABC所成的角，關(guān)鍵在于準確地找到BC1在底面上的射影.A1B1C1BACOx解：ACAB，ACBC1，AC平面ABC1，于是平面ABC1平面ABC，作C1O平面ABC，則點O在平面ABC1和平面ABC的交線BA上，