第三章指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)復(fù)習(xí)課導(dǎo)學(xué)案高中數(shù)學(xué)新北師大版必修第一冊

第三章指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)復(fù)習(xí)課(1分鐘)1.構(gòu)建知識(shí)體系，明確知識(shí)與方法的聯(lián)系，將知識(shí)轉(zhuǎn)化為技能，提高綜合應(yīng)用能力.2.掌握本章主要題型及解法，熟悉各類題型的解題步驟和思想方法.3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等素養(yǎng).(2分鐘)教師引導(dǎo)學(xué)生先自行構(gòu)建思維導(dǎo)圖，可選幾個(gè)學(xué)生進(jìn)行展示，充分肯定學(xué)生的優(yōu)點(diǎn)，在主體結(jié)構(gòu)基本合理的前提下，允許有漏洞，鼓勵(lì)形式多樣化，然后公布下面的知識(shí)框圖：(2分鐘)1.進(jìn)行分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化時(shí)，主要依據(jù)公式amn=nam(a>0，m、n(1)在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中，若冪指數(shù)為負(fù)數(shù)，可先將其化為正數(shù)，再利用公式化為根式.(2)若表達(dá)式中根式較多，含有多重根號(hào)時(shí)，要理清被開方數(shù)，由里向外逐次用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示，最后再運(yùn)用相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)化簡.2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及根式化簡結(jié)果的具體要求利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式計(jì)算時(shí)，結(jié)果可化為根式形式或保留分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式，但結(jié)果不能既有根式又有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能同時(shí)含有分母和負(fù)指數(shù).3.指數(shù)冪的一般運(yùn)算步驟有括號(hào)先算括號(hào)里的；無括號(hào)先做指數(shù)運(yùn)算.負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù).底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).4.解決條件求值問題的一般方法——整體代入法對于條件求值問題，一般先化簡代數(shù)式，再將字母取值代入求值.但有時(shí)字母的取值不知道或不易求出，這時(shí)可將所求代數(shù)式恰當(dāng)?shù)刈冃?，?gòu)造出與已知條件相同或相似的結(jié)構(gòu)，從而通過“整體代入法”巧妙地求出代數(shù)式的值.利用“整體代入法”求值常用的變形公式如下(其中a>0，b>0)：(1)a±2a12(2)a(3)a5.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及圖象特點(diǎn)是這部分知識(shí)的重點(diǎn)，而底數(shù)a的不同取值對函數(shù)的圖象及性質(zhì)的影響則是重中之重，要熟知a在(0，1)和(1，+∞)兩個(gè)區(qū)間取值時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性及圖象特點(diǎn).6.比較幾個(gè)數(shù)的大小是指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，在具體比較時(shí)，可以首先將它們與零比較，分出正數(shù)、負(fù)數(shù)，再將正數(shù)與1比較，分出大于1還是小于1，然后在各類中兩兩相比較.7.求含有指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的最值或單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要考慮指數(shù)函數(shù)的定義域，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性來確定其單調(diào)區(qū)間，要注意單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集.其次要結(jié)合函數(shù)的圖象，觀察確定其最值或單調(diào)區(qū)間.8.解簡單的指數(shù)方程或不等式：可先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解.(1分鐘)題型一：指數(shù)冪的運(yùn)算題型二：比較大小題型三：指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用題型四：指數(shù)型函數(shù)題型五：等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)題型六：解簡單的指數(shù)方程或不等式……(自主歸納)(根據(jù)學(xué)情，選講部分探究，約31分鐘)探究1：指數(shù)冪的運(yùn)算【例1】化簡下列各式：(1)2350+2-2·214-12-((2)(a【方法指導(dǎo)】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算.【解析】(1)原式=1+1=1+14×23-(2)原式=a=a-13【方法小結(jié)】有關(guān)指數(shù)冪的運(yùn)算，首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再利用法則計(jì)算，但應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；②運(yùn)算的先后順序.③運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).探究2：比較大小【例2】a=40.9，b=80.48，c=12-1.A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b【方法指導(dǎo)】先將a，b，c均化為同底數(shù)冪，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小關(guān)系.【解析】∵a=40.9=(22)0.9=21.8，b=(23)0.48=21.44，c=12-1.5=(2-1)-1.5=21.5，且指數(shù)函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù)，∴21.8>21.5>21.44，因此，a>c>【答案】D【方法小結(jié)】比較指數(shù)式大小的策略：①能化成同底數(shù)冪的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大小；②不能化成同底數(shù)冪的，一般引入“1”等中間量比較大小.探究3：指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例3】已知函數(shù)f(x)是定義在[-4，0)∪(0，4]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(0，4]時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，那么滿足不等式f(x)≥3x-1的x的取值范圍是().A.[-1，0)∪(0，1]B.[-4，-2]∪(0，1]C.[-4，-2]∪[2，4]D.[-1，0)∪[2，4]【方法指導(dǎo)】根據(jù)題意作出f(x)與g(x)的圖象，可知其交于兩點(diǎn)A(1，2)，B-2，-【解析】設(shè)g(x)=3x-1，如圖所示，畫出函數(shù)g(x)與f(x)在[-4，0)∪(0，4]上的圖象，可知f(x)與g(x)圖象交于兩點(diǎn)A(1，2)，B-2f(x)≥3x-1，即f(x)的圖象要在g(x)的圖象上方，所以滿足條件的x的取值范圍為[-4，-2]∪(0，1]，故選B.【答案】B【方法小結(jié)】一些指數(shù)方程或不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解.探究4：指數(shù)型函數(shù)【例4】已知函數(shù)f(x)=a2x-ax+3-1的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-2，0)，其中a(1)求a的值；(2)求f(x)在區(qū)間[1，2]上的值域.【方法指導(dǎo)】(1)建立方程求解參數(shù)；(2)根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，構(gòu)造內(nèi)層函數(shù)g(x)，求解g(x)的取值范圍，再求值域.【解析】(1)依題意得f(-2)=aa2-1-1=0，則aa2-1=1=a0，所以a2-(2)因?yàn)閍=2，所以f(x)=22x-2x+3-1，設(shè)函數(shù)g(x)=2x-2x易知函數(shù)g(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增.又因?yàn)間(1)=3，g(2)=6，所以3≤g(x)≤6.因?yàn)閥=2x為增函數(shù)，所以7≤f(x)≤63，即f(x)在區(qū)間[1，2]上的值域?yàn)閇7，63].【方法小結(jié)】探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，要結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減.其他與研究一般函數(shù)的定義域、單調(diào)區(qū)間、奇偶性、最值、值域等性質(zhì)的方法一致.探究5：等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)【例5】已知函數(shù)f(x)=13x，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，求函數(shù)y=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值g(a【解析】∵x∈[-1，1]，∴13x∈y=[f(x)]2-2af(x)+3=132x-2a=13x-a2+令t=13x，則t∈若a<13，則當(dāng)t=13，即x=1時(shí)，ymin=19-2若13≤a≤3，則當(dāng)t=a，即13x=a時(shí)，ymin=3-若a>3，則當(dāng)t=3，即x=-1時(shí)，ymin=9-6a+3=12-6a.綜上可知，g(a)=28【方法小結(jié)】一般來說，小題對指數(shù)函數(shù)的考查，僅限于指數(shù)函數(shù)本身的概念、圖象與性質(zhì)，而解答題往往注重考查與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì).這類題目的解題思想：通過換元轉(zhuǎn)化成其他函數(shù)，或是將其他函數(shù)通過轉(zhuǎn)化與化歸，變成指數(shù)函數(shù)來處理.探究6：解簡單的指數(shù)方程或不等式【例6】已知函數(shù)f(x)=x2+2|x|-8，則不等式f(3x-1-5)≤16的解集是()A.[1，3] B.[1，9]C.[1，+∞) D.(-∞，3]【方法指導(dǎo)】分析出函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞)上單調(diào)遞增，由此建立指數(shù)不等式求解.【解析】函數(shù)f(x)=x2+2|x|-8的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f(-x)=(-x)2+2|-x|-8=x2+2|x|-8=f(x)，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2+2x-8=(x+1)2-9，該函數(shù)在區(qū)間[0，+∞)上單調(diào)遞增，由f(3x-1-5)≤16，得f(|3x-1-5|)≤f(4)，∴|3x-1-5|≤4，即-4≤3x-1-5≤4，得1≤3x-1≤9，則0≤x-1≤2，解得1≤x≤3.∴1≤x≤3.因此，不等式f(3x-1-5)≤16的解集是[1，3].故選A.【答案】A【方法小結(jié)】解簡單的指數(shù)方程或不等式：可先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解.(1分鐘)素養(yǎng)圖譜(5分鐘)1.【2020年高考北京】已知函數(shù)f(x)=2A.(-1，1C.(0，1【解析】因?yàn)閒x=2x-x-1在同一直角坐標(biāo)系中作出y=2x和兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0不等式2x>x+1的解為x所以不等式fx>0的解集為：-∞，0【答案】D2.(2019年全國Ⅲ卷)函數(shù)y=2x32x+2-x在[【解析】設(shè)y=f(x)=2x32x+2-x，則f(-x)=2(-x)32-x+2x=-2x32x+2-x=-f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，排除選項(xiàng)C；【答案】B3.(2018年全國Ⅱ卷)函數(shù)f(x)