2023年等差數(shù)列的認(rèn)識與公式運(yùn)用

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學(xué)問點(diǎn)撥、等差數(shù)列的定義

⑴先介紹一下一些定義和表示辦法

定義：從其次項(xiàng)起，每一項(xiàng)都比前一項(xiàng)大（或小）一個常數(shù)（固定不變的數(shù)），這樣的數(shù)列我們稱它為等差

數(shù)列.

譬如：2、5、8、11、14、17、20、L從其次項(xiàng)起，每一項(xiàng)比前一項(xiàng)大3，遞增數(shù)列

100、95、90、85、80、L從其次項(xiàng)起，每一項(xiàng)比前一項(xiàng)小5，遞減數(shù)列

⑵首項(xiàng)：一個數(shù)列的第一項(xiàng)，通常用ai表示

末項(xiàng)：一個數(shù)列的最后一項(xiàng)，通常用an表示，它也可表示數(shù)列的第n項(xiàng)。

項(xiàng)數(shù)：一個數(shù)列所有項(xiàng)的個數(shù)，通常用n來表示；

公差：等差數(shù)列每兩項(xiàng)之間固定不變的差，通常用d來表示；

和：一個數(shù)列的前n項(xiàng)的和，常用Sn來表示.

二、等差數(shù)列的相關(guān)公式

（1）三個重要的公式

①通項(xiàng)公式：遞增數(shù)列：末項(xiàng)首項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)1）公差，ana1（n1）d

遞減數(shù)列：末項(xiàng)首項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)1）公差，ana1（n1）d回憶講解這個公式的時候可以結(jié)合詳細(xì)數(shù)列或者本來學(xué)的植樹問題的思想，讓同學(xué)明了末項(xiàng)其實(shí)就是首項(xiàng)加上（末項(xiàng)與首項(xiàng)的）間隔個公差個數(shù)，或者從找邏輯的狀況入手.同時還可延長出來這樣一個

實(shí)用的公式：anam（nm）d,（nm）

②項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)（末項(xiàng)首項(xiàng)）公差+1

由通項(xiàng)公式可以得到：n（ana1）d1（若ana1）；n（a1an）d1（若a1an）.

找項(xiàng)數(shù)還有一種配組的辦法，其中運(yùn)用的思想我們是經(jīng)常用到的.

譬如：找找下面數(shù)列的項(xiàng)數(shù)：4、7、10、13、L、40、43、46,

分析：配組：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、L、（46、47、48），注重等差是3,那么每組有3個數(shù)，我們數(shù)列中的數(shù)都在每組的第1位，所以46應(yīng)在最后一組第1位，4到48有484145項(xiàng)，每組3個數(shù)，所以共45315組，原數(shù)列有15組.固然還可以有其他的配組辦法.

③求和公式：和=（首項(xiàng)末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)吃

對于這個公式的得到可以從兩個方面入手：

偲路1)123L9899100

141004(

24^42

3

498)444504爭)仙505050

等差數(shù)列的熟悉與公式運(yùn)用

(思路2)這道題目，還可以這樣理解:

和=1234L9899100

+和100999897L321即2倍和101101101101L101101101

(1001)1002101505050

(2)中項(xiàng)定理：對于隨意一個項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，中間一項(xiàng)的值等于全部項(xiàng)的平均數(shù)，也等于首項(xiàng)與末項(xiàng)和的一半；或者換句話說，各項(xiàng)和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù).

譬如：①4812L3236(436)922091800,

題中的等差數(shù)列有9項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第5項(xiàng)的值是20,而和恰等于209;

②656361L531(165)33233331089,

題中的等差數(shù)列有33項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第17項(xiàng)的值是33,而和恰等于3333.

例題精講

模塊一、等差數(shù)列基本概念及公式的容易應(yīng)用

等差數(shù)列的基本熟悉

【例1】下面的數(shù)列中，哪些是等差數(shù)列？若是，請指明公差，若不是，則說明理由。

①6,10,14,18,22,(98)

②1,2,1,2,3,4,5,6；

③1,2,4,8,16,32,64;

④9,8,76,5,4,3,2;

⑤3,3,3,3,3,3,3,3;

⑥1,0,1,0,I,0,1,0;

【例2】小伴侶們，你知道每一行數(shù)列各有多少個數(shù)字嗎?

(1)3、4、5、6、?…??、76、77、78

(2)2、4、6、8、?…??、96、98、100

(3)1、3、5、7、?…??、87、89、91

(4)4、7、10

、

13、……、40、43、46

【例3】把比100大的奇數(shù)從小到大排成一列，其中第21個是多少?

【鞏固】2,5,8,11,14……是根據(jù)邏輯羅列的一串?dāng)?shù)，第21項(xiàng)是多少?

【鞏固】一個數(shù)列共有13項(xiàng)，每一項(xiàng)都比它的前一項(xiàng)多7,并且末項(xiàng)為125，求首項(xiàng)是多

少?

【鞏固】在下面12個方框中各填入一個數(shù)，使這

12個數(shù)從左到右構(gòu)成等差數(shù)列，其中

這12個數(shù)的和為。

[2?磐幽佔(zhàn)1?趣10國幽

【例4】已知一個等差數(shù)列第

少？

9項(xiàng)等于131,第10項(xiàng)等于137,這個數(shù)列的第1項(xiàng)是多少？第19項(xiàng)是多

【例5】從1開頭的奇數(shù)：1,3,5,乙其中第100個奇數(shù)是

【例6】觀看右面的五個數(shù):19、37、55、a、91羅列的邏輯，推知a=__________

等差數(shù)列公式的容易運(yùn)用【例

7】2、4、6、&10、12、L是個延續(xù)偶數(shù)列，假如其中五個延續(xù)偶數(shù)的和是的一個.320，求它們中最小【鞏固】1、3、5、7、9、11、L是個奇數(shù)列，假如其中8個延續(xù)奇數(shù)的和是256，那么這8個奇數(shù)中最大的數(shù)是多少？【鞏固】1、4、7、10、13、…這個數(shù)列中，有6個延續(xù)數(shù)字的和是159，那么這6個數(shù)中最小的是幾?

10、16已經(jīng)填好,

【例8】在等差數(shù)列6,13,20,27,…中，從左向右數(shù)，第______________個數(shù)是1994.

【鞏固】5、8、11、14、17、20、L，這個數(shù)列有多少項(xiàng)？它的第201項(xiàng)是多少？65是其中的第幾項(xiàng)?

【鞏固】對于數(shù)列4、7、10、13、16、19……，第10項(xiàng)是多少？49是這個數(shù)列的第幾項(xiàng)？第100項(xiàng)與第50項(xiàng)

的差是多少？

【鞏固】已知數(shù)列0、4、8、12、16、20、……，它的第43項(xiàng)是多少?

鞏固】聰慧的小伴侶們,PK一下吧.

⑴3、5、7、9、11、13、15、……，這個數(shù)列有多少項(xiàng)？它的第102項(xiàng)是多少?

⑵0、4、8、12、16、20、……，它的第43項(xiàng)是多少？⑶已知等差數(shù)列2、5、&11、14……，問47是其中第幾項(xiàng)？⑷已知等差數(shù)列9、13、17、21、25、……，問93是其中第幾項(xiàng)？

4項(xiàng)為21,第6項(xiàng)為33,求它的第8項(xiàng).

3項(xiàng)為16,第11項(xiàng)為72,求它的第6項(xiàng).

鞏固】已知一個等差數(shù)列第8項(xiàng)等于50,第15項(xiàng)等于71.請問這個數(shù)列的第1項(xiàng)是多少？

鞏固】假如一等差數(shù)列的第4項(xiàng)為21,第10項(xiàng)為57,求它的第16項(xiàng).

等差數(shù)列的求和

【例10】一個等差數(shù)列2,4,6,8,10,12,14,這個數(shù)列各項(xiàng)的和是多少？【鞏固】有20個數(shù)，第1個數(shù)是9,以后每個數(shù)都比前一個數(shù)大3?這20個數(shù)相加，和是多少?

【例9】⑴假如一個等差數(shù)列的第⑵假如一個等差數(shù)列的第

【鞏固】求首項(xiàng)是13,公差是5的等差數(shù)列的前30項(xiàng)的和.

【例11】15個延續(xù)奇數(shù)的和是1995，其中最大的奇數(shù)是多少?

【鞏固】把210拆成7個自然數(shù)的和，使這7個數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個數(shù)的差都是5，那么,第1個數(shù)與第6個數(shù)分離是多少？

【例12】小粗心計算1到2022這2022個延續(xù)整數(shù)的平均數(shù)。在求這2022個數(shù)的和時，他少算了其中的一個數(shù)，但他仍按2022個數(shù)計算平均數(shù)，結(jié)果求出的數(shù)比應(yīng)求得的數(shù)小1。小粗心求和時漏掉

的數(shù)是。

等差數(shù)列找邏輯

找邏輯計算

【例13】1只青蛙1張嘴，