平面向量中三點共線及平面向量中的最值問題淺析

平面向量中三點共線定理的應用知識梳理(一）、對平面內(nèi)任意的兩個向量的充要條件是：存在唯一的實數(shù)，使由該定理可以得到平面內(nèi)三點共線定理：(二）、三點共線定理：在平面中A、B、P三點共線的充要條件是：對于該平面內(nèi)任意一點的O，存在唯一的一對實數(shù)x,y使得：且。特別地有：當點P在線段AB上時，當點P在線段AB之外時，典例剖析已知是的邊上的任一點，且滿足，則的最小值是分析：點P落在的邊BC上B，P,C三點共線由基本不等式可知：，取等號時，符合所以的最小值為9點評：本題把平面三點共線問題與二元函數(shù)求最值、基本不等式巧妙地結(jié)合在一起，較綜合考查了學生基本功.例2、在△ABC中，，點P是BC上的一點，若，則實數(shù)m的值為（）A．B.C.D.分析：三點共線，又，故選C例3、在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若＝m，＝n，則m＋n的值為．：因為O是BC的中點，故連接AO，如圖4，由向量加法的平行四邊形法則可知：，圖4又三點共線，圖4由平面內(nèi)三點共線定理可得：變式、直線l過ABCD的兩條對角線AC與BD的交點O，與AD邊交于點N,與AB的延長線交于點M。又知＝m，＝n，則m＋n=分析：因為點O兩條對角線AC與BD的交點，所以點O為AC的中點＝m，＝n又三點共線，由平面內(nèi)三點共線的向量式定理可得：例4、點是△的重心，、分別是邊、上的動點，且、、三點共線．設(shè)，，證明：是定值；證明：因為G是的重心，分析：又三點共線，為定值3例5、如圖所示,在平行四邊形ABCD中，,,CE與BF相交于G點，記，，則_______分析：本題是以平面幾何為背景，為載體，求向量的問題，所以我們很容易聯(lián)想到點F、G、B以及E,G,C三點在一條直線上，可用平面內(nèi)三點共線定理求解。解：三點共線，由平面內(nèi)三點共線定理可得：存在唯一的一對實數(shù)x使得,,…①又三點共線，由平面內(nèi)三點共線定理可得：存在唯一的一對實數(shù)使得，，……………②由①②兩式可得：PABPABCMN變式2、在三角形ABC中,AM﹕AB=1﹕3,AN﹕AC=1﹕4,BN與CM相交于點P，且，，試用、表示解：三點共線，由平面內(nèi)三點共線定理可得：存在唯一的一對實數(shù)x,y使得,AN﹕AC=1﹕4,……①又三點共線，由平面內(nèi)三點共線定理可得：存在唯一的一對實數(shù),使得∵AM﹕AB=1﹕3∴，，……………②由①②兩式可得：練習：1.，點在邊上，，設(shè)，則（）2、平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A(3,1),B(-1,3),若點C(x,y)滿足=α+β，其中α,β∈R且α+β=1，則x,y所滿足的關(guān)系式為（）A．3x+2y-11=0B．(x-1)2+(y-2)2=5C．2x-y=0D．x+2y-5=03.已知是的邊上的任一點，且滿足，則的最小值是4、在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC與BD的交點，E是BC邊的中點，連接DE交AC于點F。已知,則（）A．B．C．D．5、(2014屆東江中學高三年級理科第三次段考）在平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，DE交AF于H，記、分別為a、b，則＝()A．eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)bB．eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)bC．－eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b D．－eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)b6、（2008年廣東卷）在平行四邊形中，與交于點是線段的中點，的延長線與交于點．若，，則（）A．B．C． D．7、在平行四邊形ABCD中，,CE與BF相交于點G,記，，則＝()A．B．C． D．8、在△ABO中，已知，且AD與BC相交于點M，設(shè)則（結(jié)果用表示）平面向量中的最值問題淺析平面向量中的最值問題多以考查向量的基本概念、基本運算和性質(zhì)為主，解決此類問題要注意正確運用相關(guān)知識，合理轉(zhuǎn)化。一、利用函數(shù)思想方法求解例1、給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動.若其中,則的最大值是________.圖11圖11分析：尋求刻畫點變化的變量，建立目標與此變量的函數(shù)關(guān)系是解決最值問題的常用途徑。解：設(shè)，以點為原點，為軸建立直角坐標系，則，，。即 。因此，當時，取最大值2。例2、已知點Q為射線OP上的一個動點，當取最小值時，求分析：因為點Q在射線OP上，向量與同向，故可以得到關(guān)于坐標的一個關(guān)系式，再根據(jù)取最小值求解：設(shè)，則當時，取最小值-8，此時二、利用向量的數(shù)量積求最值例3、三邊長為，以A為圓心,r為半徑作圓,PQ為直徑，試判斷P、Q在什么位置時，有最大值。分析：用已知向量表示未知向量，然后用數(shù)量積的性質(zhì)求解。解：圖21當且僅當與同向時，有最大值。圖21三、利用向量模的性質(zhì)求解例4：已知求的最大值與最小值。分析：注意到，考慮用向量模的性質(zhì)求解。解：由條件知。設(shè)，則=，，。所以當與同向時，取最大值3；當與反向時，取最小值1。四、利用幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解例5、如圖，已知正六邊形，下列向量的數(shù)量積中最大的是（A）（B）圖3（C）（D）圖3分析：平面向量數(shù)量積的幾何意義為等于的長度與在方向上的投影的