《高等數(shù)學》數(shù)列的極限-課件

教學目的和要求：深刻理解數(shù)列極限的定義，掌握數(shù)列極限的性質(zhì)，深刻理解x無限增大時函數(shù)極限的定義。知識點：數(shù)列極限的定義，數(shù)列極限的性質(zhì)，x無限增大時函數(shù)極限的定義。重點：兩個定義及數(shù)列極限的性質(zhì)難點：x無限增大時函數(shù)極限的定義教學方式：多媒體，講授教學思路：通過數(shù)列的實例的變化趨勢引入數(shù)列極限的定義，著重解釋如何用精確的數(shù)學語言來表達對“無限增大”，“無限接近”這些直觀的描述，再由數(shù)列極限的定義推廣到x無限增大時函數(shù)的極限.一、概念的引入二、數(shù)列的定義三、數(shù)列極限的性質(zhì)

1.3數(shù)列的極限“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：播放——劉徽一、概念的引入正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”二、數(shù)列的定義稱為一個數(shù)列,記為{xn}.1.定義

數(shù)列中的每一個數(shù)稱為數(shù)列的一項

xn=f(n)稱為數(shù)列的通項或一般項

數(shù)列也稱為序列介紹幾個數(shù)列xn0242nx1x2……x???????????????……例1…xnx2x1x0x3…??????????01–1x所有的奇數(shù)項所有的偶數(shù)項x1M3x1xx4x2??????????0所有奇數(shù)項1xnx3x2x1x0………??????????…注意：1.數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標函數(shù)001二、數(shù)列的極限播放問題:當無限增大時,是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學語言刻劃它.通過上面演示實驗的觀察:預先任意給定一個正數(shù)>0,不論它的值多么小,當n無限增大時,數(shù)列{xn}總會從某一項開始,

以后的所有項都落在U(1,)中.（在U(1,)外面只有有限項）其中,是描述點xn

與點0無限接近的度量標準,它是預先任意給定的,與{xn}的極限存在與否無關.不存在.

1n)1(e<--N-11+由

N存在與否判斷數(shù)列的極限是否存在.

n>N描述

n.通過目標不等式來尋找N

>0,N=N().不等式稱為目標不等式.一般地,

如果數(shù)列{xn}當

n時,

列{xn}當

n時以

a為極限,記為xn

可以無限地趨近某個常數(shù)

a,則稱數(shù)此時,也稱數(shù)列是收斂的.若{xn}當

n時沒有極限,則稱{xn}發(fā)散.若時,使當記為或此時,

也稱數(shù)列{xn}是收斂的.

極限描述的是變量的變化趨勢

數(shù)列的項不一定取到它的極限值.數(shù)列極限的定義：注意：幾何解釋:其中因此：數(shù)列的收斂性及其極限與它前面的有限項無關，改變數(shù)列的前有限項，不改變其收斂性和極限數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.證所以,注意：例2證所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結:用定義證數(shù)列極限存在時,關鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.例3證作為公式用例4(P36-6)證例51.-N語言證明(關鍵:技巧是適當?shù)胤糯蟛坏仁?說明:-N語言的應用有以下兩個方面:練習P36-3及作業(yè)的填空題（練Ｎ的選?。?.用“-N”語言,由一個已知極限存在的數(shù)列,證明另一個數(shù)列的極限.方法:

對已知極限存在的數(shù)列應用“-N”語言,再從中變形成所要證明的數(shù)列極限的“-N”語言形式.(如例4)練習P36-5，6，7，8三、數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性例如,有界無界定理1

收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件,但不是充分條件.推論

無界數(shù)列必定發(fā)散.

該定理的逆命題不真,即有界數(shù)列不一定收斂.

例如,{

(－1)n}.2.唯一性定理2想想,如何證明它？若數(shù)列{xn}收斂,則其極限值必唯一.設數(shù)列{xn}收斂,但其極限不唯一,不妨設有：證運用反證法任意性常數(shù)由的任意性,上式矛盾,故a=b.3.唯一性定理的推論的任何一個子數(shù)列都收斂,且均以a為極限.

充分必要條件何謂子數(shù)列？

子數(shù)列的概念

在數(shù)列{xn}:x1,x2,,xn

,中,保持各項原來的先后次序不變,自左往右任意選取無窮多項所構成的新的數(shù)列,稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列,記為

唯一性定理的推論往往用來證明或判斷數(shù)列極限不存在．例6解取子數(shù)列：例7解利用函數(shù)的周期性,在{xn}中取兩個子數(shù)列:四.小結數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性、唯一性.重點：-N語言應用思考題證明要使只要使從而由得取當時，必有成立思考題解答~（等價）證明中所采用的實際上就是不等式即證明中沒有采用“適當放大”的值從而時，僅有成立，但不是的充分條件．反而縮小為由均值不等式

或用后面講的夾逼準則證明練習題1、割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽一、概念的引入1、割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽一、概念的引入“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽一、概念的引入“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽一、概念的引入“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽一、概念的引入“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽一、概念的引入“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽一、概念的引入“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——