【全程復(fù)習(xí)方略】高中數(shù)學(xué)-24二次函數(shù)配套課件-蘇教版

第四節(jié)二次函數(shù)內(nèi)容要求AB

C

二次函數(shù)的概念

√

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)√

…………三年1考高考指數(shù):★★1.二次函數(shù)的定義(1)二次函數(shù)的一般式：f(x)=_________________.(2)其他形式：①_______：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),其中頂點(diǎn)坐標(biāo)為______;②兩根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中x1,x2為相應(yīng)一元二次方程的兩根.

ax2+bx+c(a≠0)頂點(diǎn)式(h,k)【即時(shí)應(yīng)用】(1)判斷下列函數(shù)是否為二次函數(shù)(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫“是”或“否”).①y=x4-x2;()②()③y=1+3x-x2;()④y=2(x+1)2-3;()⑤y=-3(x+2)(x-3);()⑥y=2sin2x+sinx+3;()⑦y=log22x-2log2x+3.()(2)若二次函數(shù)的圖象的最高點(diǎn)為(-1,-3),且過點(diǎn)(0,-4),則其解析式為__________.(3)已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),并經(jīng)過點(diǎn)M(0,1),則拋物線的解析式為__________.(4)若f(x)為二次函數(shù),且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,則f(x)的解析式為__________.【解析】(1)二次函數(shù)解析式的形式為y=ax2+bx+c(a≠0),故只有③④⑤為二次函數(shù)，其余均不是.(2)設(shè)y=a(x+1)2-3,又過點(diǎn)(0,-4),∴-4＝a(0+1)2-3,解得a=-1,∴y=-(x+1)2-3=-x2-2x-4.(3)∵點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)是拋物線與x軸的交點(diǎn),∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-1)①將M(0,1)代入①,得1=-a,即a=-1,∴y=-(x+1)(x-1)=-x2+1.

(4)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,則f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2,又f(0)=3，∴c=3,∴f(x)=x2-x+3.答案：(1)①否；②否；③是；④是；⑤是；⑥否；⑦否.(2)y=-x2-2x-4(3)y=-x2+1(4)f(x)=x2-x+3

2．二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)圖象定義域

值域單調(diào)性yxoxyo[,+∞)（-∞,]在(-∞,]上遞減,在[,+∞)上遞增.(-∞,]在[,+∞)上遞減.在上遞增.RR函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)奇偶性最值頂點(diǎn)對(duì)稱軸當(dāng)x=時(shí),函數(shù)有最小值(，)函數(shù)的圖象關(guān)于x=成軸對(duì)稱當(dāng)b=0時(shí)為偶函數(shù)當(dāng)x=時(shí),函數(shù)有最大值【即時(shí)應(yīng)用】(1)二次函數(shù)y=-2x2+4x-5的對(duì)稱軸為__________,頂點(diǎn)坐標(biāo)為__________.(2)一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是__________.(填序號(hào))(3)已知函數(shù)f(x)=3x2-12x+5,當(dāng)x∈[0,3]時(shí),f(x)min=_______,f(x)max=______.(4)如果函數(shù)f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的最小值為_________．(5)已知函數(shù)y=x2+bx+c為偶函數(shù),則函數(shù)y=cx+b-1必過定點(diǎn)________.【解析】(1)二次函數(shù)的對(duì)稱軸為頂點(diǎn)為故y=-2x2+4x-5的對(duì)稱軸為頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-3).(2)由已知a≠0,①圖中一次函數(shù)a＞0,b＞0,二次函數(shù)a＜0,故①不正確.同理②④不正確，而③中由直線知a＜0，b＜0，與拋物線中a＜0，相吻合，故③正確.

(3)f(x)=3(x-2)2-7,∴f(x)在［0,2］上遞減,在(2,3］上遞增,∴f(x)min=f(2)=-7,f(x)max=f(0)=5.

(4)∵函數(shù)f(x)=x2+(a+2)x+b的對(duì)稱軸為又∵函數(shù)f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，∴a=-4,b=6，f(x)=x2-2x+6(x∈[-4,6])，因此，該函數(shù)當(dāng)x=1時(shí)取最小值5.(5)由已知得：b=0,函數(shù)y=cx+b-1=cx-1,∴過定點(diǎn)(0,-1).答案：(1)x=1(1,-3)(2)③(3)-75(4)5(5)(0,-1)

求二次函數(shù)的解析式【方法點(diǎn)睛】二次函數(shù)解析式的求法求二次函數(shù)的解析式,一般用待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是根據(jù)已知條件恰當(dāng)選擇二次函數(shù)解析式的形式，一般選擇規(guī)律如下：【提醒】若選用形式不當(dāng)，引入的待定系數(shù)過多，會(huì)加大運(yùn)算量.已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸最大（小）值x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)宜選用一般式宜選用頂點(diǎn)式宜選用兩根式【例1】設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(x-2)=f(-x-2)且圖象在y軸上的截距為1,在x軸上截得的線段長(zhǎng)為,求f(x)的解析式.【解題指南】二次函數(shù)f(x)滿足f(x+t)=f(t-x),則其對(duì)稱軸方程為x=t;圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)度公式為|x1-x2|,本題可設(shè)f(x)的一般式,亦可設(shè)頂點(diǎn)式.【規(guī)范解答】設(shè)f(x)的兩零點(diǎn)分別為x1,x2,方法一：設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則由題知：c=1,且對(duì)稱軸為x=-2.

即b=4a.∴f(x)=ax2+4ax+1.∴b=4a=2∴函數(shù)f(x)的解析式為方法二：∵f(x-2)=f(-x-2),∴二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=-2.設(shè)f(x)=a(x+2)2+b,且f(0)=1,∴4a+b=1.∴f(x)=a(x+2)2+1-4a=ax2+4ax+1,【反思·感悟】求函數(shù)解析式常用的方法和技巧(1)若已知函數(shù)f(x)的類型，常采用待定系數(shù)法；(2)若已知f(g(x))的表達(dá)式，常采用換元法或湊項(xiàng)法；(3)若為抽象函數(shù)，常采用代換后消參法.

【變式訓(xùn)練】如圖,拋物線與直線y=k(x-4)都經(jīng)過坐標(biāo)軸的正半軸上A、B兩點(diǎn)，該拋物線的對(duì)稱軸x=-1與x軸相交于點(diǎn)C,且∠ABC＝90°,求：(1)直線AB的解析式；(2)拋物線的解析式.【解析】(1)由已知得：A(4,0),B(0,-4k),C(-1,0)，又∵∠CBA=∠BOC=90°,∴OB2=CO·AO.∴(-4k)2=1×4,由圖知k＜0,∴所求直線的解析式為(2)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),則解得∴所求拋物線的解析式為【變式備選】已知二次函數(shù)f(x)同時(shí)滿足條件：(1)f(1+x)=f(1-x);(2)f(x)的最大值為15;(3)f(x)=0的兩根立方和等于17.求f(x)的解析式.【解析】依條件，設(shè)f(x)=a(x-1)2+15(a＜0),即f(x)=ax2-2ax+a+15.令f(x)=0,即ax2-2ax+a+15=0,設(shè)兩根為x1,x2,則而x13+x23=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】1.求二次函數(shù)最值的類型及解法(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng),不論哪種類型,解決的關(guān)鍵是考查對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系,當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論；(2)常結(jié)合二次函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性或圖象求解，在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)處取得最值．2.二次函數(shù)的單調(diào)性問題的解法主要根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸進(jìn)行分析討論求解.【提醒】配方法是解決二次函數(shù)最值問題的常用方法,但要注意自變量范圍與對(duì)稱軸之間的關(guān)系.【例2】已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].(1)當(dāng)a=-2時(shí),求f(x)的最值；(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使y=f(x)在區(qū)間[-4,6]上是單調(diào)函數(shù)；(3)當(dāng)a=-1時(shí),求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間.【解題指南】(1)和(2)可根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系,結(jié)合圖象或單調(diào)性直接求解；(3)應(yīng)先將函數(shù)化為分段函數(shù),再求單調(diào)區(qū)間.

【規(guī)范解答】(1)當(dāng)a=-2時(shí),f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,則函數(shù)在［-4,2)上為減函數(shù),在(2,6］上為增函數(shù),∴f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4×(-4)+3=35.(2)函數(shù)f(x)=x2+2ax+3的對(duì)稱軸為∴要使f(x)在[-4,6］上為單調(diào)函數(shù),只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6.

(3)當(dāng)a=-1時(shí),f(|x|)=x2-2|x|+3其圖象如圖所示：又∵x∈［-4,6］,∴f(|x|)在區(qū)間(-4,-1)和(0,1)上為減函數(shù),在區(qū)間(-1,0)和(1,6)上為增函數(shù).【互動(dòng)探究】若將本例(2)中單調(diào)變?yōu)椴粏握{(diào),則結(jié)果如何？【解析】需-4＜-a＜6,解得：-6＜a＜4.【反思·感悟】1.影響二次函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,n]上最值的要素有三個(gè),即拋物線的開口方向、對(duì)稱軸位置、閉區(qū)間；常用數(shù)形結(jié)合思想求解,但當(dāng)三要素中有一要素不明確時(shí)，要分情況討論.2.二次函數(shù)單調(diào)性的確定與應(yīng)用，常與二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合求解.

【變式備選】已知f(x)=x2+3x-5，x∈[t,t+1]，若f(x)的最小值為h(t)，寫出h(t)的解析式并求h(t)的最小值．【解析】∵f(x)=x2+3x-5的對(duì)稱軸為①當(dāng)即時(shí)，h(t)=f(t+1)=(t+1)2+3(t+1)-5②當(dāng)，即時(shí)，③當(dāng)時(shí)，綜上可知：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，即對(duì)于任意的實(shí)數(shù)t恒有即h(t)有最小值二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的綜合問題【方法點(diǎn)睛】1.三個(gè)“二次”之間轉(zhuǎn)化的一般規(guī)律(1)在研究一元二次方程根的分布問題時(shí)，常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來解,一般從：①開口方向；②對(duì)稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)，四個(gè)方面分析.(2)在研究一元二次不等式的有關(guān)問題時(shí)，一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解.2.一元二次不等式恒成立的充要條件(1)不等式ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要條件是(2)不等式ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要條件是【例3】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-2x+2,對(duì)于滿足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解題指南】解答本題可以有兩條途徑：(1)分a＞0,a＜0,a=0三種情況,求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min,再令f(x)min＞0,從而求出a的取值范圍；(2)將參數(shù)a分離得然后求的最大值即可.

【規(guī)范解答】方法一：當(dāng)a＞0時(shí),由f(x)＞0,x∈(1,4)得：或或∴a≥1或或?,即當(dāng)a＜0時(shí),解得a∈?;當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,∴不合題意.綜上可得,實(shí)數(shù)a的取值范圍是方法二：由f(x)＞0,即ax2-2x+2＞0,x∈(1,4),得在(1,4)上恒成立.令所以要使f(x)＞0在(1,4)上恒成立,只要即可.

【反思·感悟】1.一元二次不等式的求解、恒成立問題及一元二次方程根的確定與應(yīng)用問題常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問題求解，但要注意討論及考慮全面.2.關(guān)于不等式的恒成立問題,能用分離參數(shù)法，盡量用.因?yàn)樵摲梢员荛_頻繁地對(duì)參數(shù)的討論.

【變式訓(xùn)練】已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b.(1)若不等式f(x)＞0的解集為{x|1＜x＜2},求a,b的值；(2)若方程f(x)=0有一根小于1,另一根大于1,當(dāng)b＞-6且b為常數(shù)時(shí),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)由題意知方程-3x2+a(6-a)x+b＝0的兩根為1和2,則解得

(2)∵-3＜0,由圖知,只需f(1)＞0便可滿足題意.∴-3+a(6-a)+b＞0，∴a2-6a+3-b＜0，【滿分指導(dǎo)】

與二次函數(shù)相關(guān)的解答題的規(guī)范解答【典例】(14分)(2012·臨沂模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2-|x|+2a-1(a為實(shí)常數(shù))．(1)若a=1，作函數(shù)f(x)的圖象；(2)設(shè)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為g(a)，求g(a)的表達(dá)式．(3)設(shè)若函數(shù)h(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解題指南】(1)將f(x)化為分段函數(shù),從而轉(zhuǎn)化為畫二次函數(shù)圖象的問題,但要注意函數(shù)的定義域；(2)分a=0,a≠0兩種情況討論,而a≠0,又需按對(duì)稱軸與區(qū)間[1,2]的關(guān)系,再次分類討論.(3)可由h′(x)≥0在[1,2］上恒成立求解.

【規(guī)范解答】(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x2-|x|+1=作圖(如圖所示)……2分-3-2-1123o1510xy(2)當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)=ax2-x+2a-1.若a=0，則f(x)=-x-1在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，g(a)=f(2)=-3．若a≠0，則f(x)圖象的對(duì)稱軸是直線當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，g(a)=f(2)=6a-3．…………4分當(dāng)時(shí)，f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，g(a)=f(1)=3a-2．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，g(a)=f(2)=6a-3．…………6分綜上可得……8分(3)當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，又∵h(yuǎn)(x)在[1,2]上為增函數(shù),∴h′(x)≥0在[1,2］上恒成立.令當(dāng)2a-1＜0即時(shí),φ(x)在[1,2]上為減函數(shù),由h′(x)≥0,得：又………………10分當(dāng)2a-1=0,即時(shí),顯然在[1,2]上為增函數(shù)；當(dāng)2a-1＞0,即時(shí),φ(x)在[1,2]上為增函數(shù),∴φ(x)min=φ(1)=-a+1,由已知得：-a+1≥0,解得：a≤1,又故……12分綜上可知：…………………14分【閱卷人點(diǎn)撥】通過對(duì)試題及閱卷分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：失分警示在解答本題時(shí)有以下幾點(diǎn)容易造成失分：(1)在第(2)(3)中忽略了討論.(2)在第(2)題中討論時(shí)忽視了a=0,在第(3)題中忽視了2a-1=0.(3)未能將(2)(3)討論的結(jié)果進(jìn)行整合而失分.

備考建議在解決二次函數(shù)