線性代數(shù)-04-第四章

2023/6/51第四章

向量組的線性相關(guān)性2023/6/52§1

向量組及其線性組合定義1：n

個(gè)數(shù)所組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)n

維向量，這n

個(gè)數(shù)稱為該向量的n

個(gè)分量，第i

個(gè)數(shù)稱為第i

個(gè)分量。這里定義的

n

維向量就是指行(或列)矩陣。2023/6/53稱為行向量。稱為列向量。2023/6/54例.

3維向量的全體所組成的集合通常稱為3維Euclid幾何空間。稱為R3

中的一個(gè)平面。集合2023/6/55稱為n維Euclid空間Rn中的n-1維超平面。集合稱為n維Euclid空間。例.n維向量的全體所組成的集合2023/6/56例.非齊次線性方程組的解集合齊次線性方程組的解集合2023/6/57m×n陣A的列向量組:行向量組:

同一維數(shù)的列向量(或行向量)所組成的集合稱為向量組。2023/6/58定義2：設(shè)向量組及一組實(shí)數(shù)稱為向量組A的一個(gè)線性組合，稱為線性組合的系數(shù)。表達(dá)式2023/6/59定義2：設(shè)向量組和向量b若存在一組實(shí)數(shù)使得則稱向量b

是向量組A的一個(gè)線性組合，或稱向量b

能由向量組A線性表示。2023/6/510例如：則b能由線性表示.解方程組即解方程組2023/6/511所以，得2023/6/512記2023/6/513則方程組的向量表示為2023/6/514定理1:

向量b可由向量組線性表示有解，其中2023/6/515則稱向量組B能由向量組A線性表示。若向量組A與向量組B能相互線性表示，若B組中的每一個(gè)向量都能由向量組A

線性表示，定義3:設(shè)向量組及則稱向量組A與向量組B等價(jià)。2023/6/516B能由A線性表示2023/6/517定理2:向量組能由線性表示有解，其中2023/6/518定理3:向量組能由線性表示，則R(B)≤

R(A)。其中證：根據(jù)定理2有R(A)=

R(A,B)而R(B)≤

R(A,B)，因此R(B)≤

R(A)。

2023/6/519定義4：§2

向量組的線性相關(guān)性2023/6/520n維向量組線性相關(guān)定理4:n維向量組線性無關(guān)2023/6/521例2:試討論向量組及向量組的線性相關(guān)性.2023/6/522解：設(shè)即系數(shù)行列式齊次線性方程組有非零解，所以向量線性相關(guān)向量對應(yīng)分量不成比例，所以線性無關(guān)。2023/6/523例3:n維向量討論它們的線性相關(guān)性.結(jié)論:線性無關(guān)解:上述向量組又稱基本向量組或單位坐標(biāo)向量組.2023/6/524一些結(jié)論：

一個(gè)零向量線性相關(guān),

一個(gè)非零向量線性無關(guān)；(2)兩個(gè)向量線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們的對應(yīng)分量成比例;

(3)一個(gè)向量組線性無關(guān)，則增加其中每個(gè)向量的分量所得新向量組仍線性無關(guān)。(4)向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)向量組中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示。2023/6/525則向量組也線性相關(guān)。則向量組也線性無關(guān)。若向量組線性相關(guān)，定理5-1：定理5-2：m個(gè)n維向量(m>n)構(gòu)成的向量組一定線性相關(guān).

特別地,n+1個(gè)n維向量線性相關(guān).若向量組線性無關(guān)，推論：定理5-3：向量組線性無關(guān),向量組線性相關(guān),

則b

能由向量組A線性表示，且表示式唯一.2023/6/526例4：已知向量線性無關(guān)，向量可以由向量線性表示，并且證明：線性無關(guān)的充要條件是R(K)=3證：線性無關(guān)。設(shè)Kx

=0，其中則故x

=0

，即Kx

=0只有零解，于是R(K)=3=02023/6/527=0故Kx

=0，而R(K)=3，于是x

=0，2023/6/528例5：已知向量線性無關(guān)，證明：向量線性無關(guān)。證：線性無關(guān)。2023/6/529§3

向量組的秩定義1:簡稱最大無關(guān)組,r稱為向量組A的秩，記作RA（ii）A中任意r+1個(gè)向量都線性相關(guān).線性無關(guān),（i）那么稱部分組為向量組A的一個(gè)最大線性無關(guān)組，設(shè)A為一個(gè)向量組，A的部分組

滿足：2023/6/530例如：在向量組中，首先線性無關(guān)，又線性相關(guān)，所以是一個(gè)極大無關(guān)組。還可以驗(yàn)證也是一個(gè)極大無關(guān)組。2023/6/531注:（1）只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，規(guī)定秩為0。（2）一個(gè)線性無關(guān)向量組的最大無關(guān)組就是其本身。（4）向量組A能由A0線性表示。（3）向量組的最大無關(guān)組一般不是唯一的。（5）任意一個(gè)最大線性無關(guān)組都與向量組本身等價(jià)。2023/6/532例：設(shè)矩陣矩陣A

的行向量組是可以驗(yàn)證，是一個(gè)最大無關(guān)組，所以矩陣A的行向量組秩為3。

2023/6/533矩陣A的列向量組是可以驗(yàn)證是一個(gè)最大無關(guān)組所以矩陣A的列秩是3。2023/6/534定理：矩陣的秩=矩陣的行向量組的秩

=矩陣的列向量組的秩注：初等行變換不改變矩陣的列向量組的線性關(guān)系向量組

的秩也記作2023/6/535例：向量組求向量組的秩和一個(gè)最大無關(guān)組。2023/6/536解：2023/6/537是一個(gè)最大無關(guān)組。2023/6/538例如：向量組的秩為2。注意：兩個(gè)有相同的秩的向量組不一定等價(jià)。兩個(gè)向量組有相同的秩，并且其中一個(gè)可以被另一個(gè)線性表示，則這兩個(gè)向量組等價(jià)。向量組的秩為2。2023/6/539例2：求矩陣的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并把其余的向量用這個(gè)最大無關(guān)組線性表示。2023/6/540解:2023/6/5412023/6/542是一個(gè)最大無關(guān)組.2023/6/543最大無關(guān)組的等價(jià)定義:線性無關(guān)；（i）那么稱部分組為向量組A的一個(gè)設(shè)A為一個(gè)向量組，A的部分組

滿足：（ii）A的任意向量都能由線性表示。最大無關(guān)組。2023/6/544證：只需證明A中的任意r+1個(gè)向量都線性相關(guān)。設(shè)為A中的r+1個(gè)向量，由(ii)知，這r+1個(gè)向量能由A0線性表示，故因此，這r+1個(gè)向量線性相關(guān)。2023/6/545線性表示的充要條件是定理2’：向量組能由向量組定理3’：若向量組B能由向量組A線性表示，則

2023/6/546§5向量空間定義：設(shè)

V為

n維向量的非空集合，若

V對于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，則稱集合

V為向量空間．說明:集合對于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉指注意.0必是向量空間V的元素，即2023/6/547例：3維向量的全體是一個(gè)向量空間。n維向量的全體也是一個(gè)向量空間。例：齊次線性方程組的解集合是一個(gè)向量空間。不是一個(gè)向量空間。但非齊次線性方程組Ax=b的解集合2023/6/548例：判別下列集合是否為向量空間.2023/6/549不是向量空間。解：所以，是向量空間。2023/6/550是否為向量空間.V稱為由向量a,b生成的向量空間。例：設(shè)a，b為兩個(gè)已知的n維向量，判斷集合解：V是一個(gè)向量空間。2023/6/551由向量組所生成的向量空間為一般地2023/6/552定義：設(shè)V為向量空間,W是V的非空子集，若

W對于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，則稱

W是

V的子空間。零子空間V={0}2023/6/553例.及都是的子空間。是的子空間，稱為齊次線性方程組Ax=0的解空間，或A的零空間。2023/6/554定義7：設(shè)V是向量空間，如果向量滿足線性無關(guān)。（1）（2）V中任一向量都可由線性表示，那么，就稱向量組是向量空間V的一個(gè)基，r稱為向量空間V的維數(shù)，記作dimV＝r并稱V是r維向量空間。2023/6/555注：(1)只含有零向量的向量空間{0}-稱為零子空間-沒有基，規(guī)定其維數(shù)為0。(2)如果把向量空間V看作向量組V，則V的基就是向量組V的極大無關(guān)組，V的維數(shù)就是向量組V的秩。(3)向量空間的基一般不唯一。例.都是向量空間的基。

設(shè)矩陣?yán)?023/6/563設(shè)是的一個(gè)基，x

是中的向量，則稱有序數(shù)組為向量x

在基下的坐標(biāo)。設(shè)是的另一個(gè)基，并且則稱此式為基變換公式，矩陣P

稱為從基到基的過渡矩陣。

2023/6/564§4

線性方程組解的結(jié)構(gòu)(1)齊次線性方程組或2023/6/5651.解的性質(zhì)則仍然是的解。性質(zhì)1：若是的解，則仍是的解。性質(zhì)2：若是的解，2023/6/5662.基礎(chǔ)解系設(shè)是的解，滿足線性無關(guān)；的任一解都可以由線性表示。則稱是的一個(gè)基礎(chǔ)解系。2023/6/567定理7：設(shè)是矩陣，如果則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系存在，且每個(gè)基礎(chǔ)解系中含有個(gè)解向量。證明分三步:1.以某種方法找個(gè)解。2.證明這個(gè)解線性無關(guān)。3.證明任一解都可由這個(gè)解線性表示。2023/6/568證明:化為行最簡形2023/6/569與B對應(yīng)的方程組2023/6/570（1）令依次為得方程組的通解2023/6/571（2）向量組線性無關(guān)。綜合(1)(2)得,向量組(C)是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.(C)2023/6/572的通解是記則是令為所得。例求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系．

解：

對方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換化階梯陣令得令得原方程組的解為

原方程的基礎(chǔ)解系為2023/6/575解：例:求下列齊次方程組的通解。2023/6/576初等行變換令得通解2023/6/577(