高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)-第六章-第八節(jié)不等式的證明課件-理

第八節(jié)不等式的證明(zhèngmíng)第六章不等式、推理(tuīlǐ)與證明第一頁，共50頁?？季V要求1．了解直接證明的兩種方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)．2.掌握綜合證明法中的比較法．3．掌握如下(rúxià)證明不等式的方法：反證法、放縮法；了解如下(rúxià)證明不等式的方法：換元法、判別式法、構(gòu)造法、數(shù)學(xué)歸納法.第二頁，共50頁。課前自修知識(zhīshi)梳理一、比較法比較法又分為作差比較和作商比較，作差比較最常用．1．作差比較：A－B≤0?A≤B.作差比較的步驟：(1)作差：對要比較大小的兩個(gè)數(shù)(或式)作差；(2)變形：對差進(jìn)行因式分解或配方成幾個(gè)數(shù)(或式)的完全平方和；(3)判斷差的符號：結(jié)合(jiéhé)變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號．第三頁，共50頁。注意：若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方(píngfāng)差來比較大??；含方根的式子大小比較時(shí)，常要將它們平方(píngfāng)或立方，再比較，其根據(jù)是：若p>q>0，則>，p2>q2；若m>n，則m3>n3，>.2．作商比較：≤1(B>0)?A≤B.多用于都是正數(shù)、單項(xiàng)情況下，比值與1比較．第四頁，共50頁。二、綜合法利用不等式的性質(zhì)和已證明過的不等式以及函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)出待證不等式的方法叫綜合法，概括為“由因?qū)Ч保?、分析法從待證不等式出發(fā)，分析并尋求使這個(gè)不等式成立的充分條件的方法叫分析法，概括為“執(zhí)果索因”．基本步驟：要證……只需證……，只需證……(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件．(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是(dànshì)書寫不是太方便，所以我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)．第五頁，共50頁。四、反證法從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，從而肯定原結(jié)論的正確．運(yùn)用反證法的策略：正難則反．五、放縮法將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)到證題的目的．即欲證A≥B，可通過適當(dāng)放大或縮小，借助一個(gè)或多個(gè)(duōɡè)中間量使得B≤B1，B1≤B2≤…≤A(或A≥A1，A1≥A2≥…≥B)．第六頁，共50頁。第七頁，共50頁。六、換元法換元法是指結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜、量與量之間關(guān)系不很明了的命題，通過(tōngguò)恰當(dāng)引入新變量，代換原題中的部分式子，簡化原有結(jié)構(gòu)，使其轉(zhuǎn)化為便于研究的形式．換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡．常用的換元有三角換元和代數(shù)換元．如：第八頁，共50頁。七、構(gòu)造法通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式．證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉(shúxī)各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點(diǎn)．八、判別式法含有兩個(gè)字母的不等式，若可化成一邊為零，而另一邊是關(guān)于某字母的二次式時(shí)，可考慮判別式法．九、數(shù)學(xué)歸納法可用于證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式．(見下一節(jié))第九頁，共50頁?；A(chǔ)(jīchǔ)自測1．(2012·黃岡市黃州一中綜合測試)已知a，b，c∈R＋，若，則a，b，c的大小(dàxiǎo)關(guān)系為()

A．c<a<b B．b<c<aC．a(chǎn)<b<c D．c<b<a第十頁，共50頁。解析：∵，a，b,c∈R＋，∴c(b＋c)<a(a＋b)，展開整理(zhěnglǐ)得(c－a)(a＋b＋c)<0，∴c<a，同理a<b.故選A.答案：A第十一頁，共50頁。2．設(shè)a，b∈R＋，A＝，B＝，則A，B的大小(dàxiǎo)關(guān)系為()A．A≥BB．A≤BC．A>BD．A<BC

第十二頁，共50頁。3．(2012·南京師大附中檢測)已知實(shí)數(shù)x，y滿足(mǎnzú)1≤≤4,2≤≤3，則xy的取值范圍是__________．第十三頁，共50頁。4．(2012·長沙市模擬)已知實(shí)數(shù)(shìshù)a，b，x，y滿足a2＋b2＝1，x2＋y2＝3，則ax＋by的最大值為________．第十四頁，共50頁?？键c(diǎn)探究考點(diǎn)(kǎodiǎn)一用比較法證明(zhèngmíng)不等式思路點(diǎn)撥：不等式兩端都是多項(xiàng)式的形式(xíngshì)，故可用作差法證明或作商法證明．第十五頁，共50頁。第十六頁，共50頁。第十七頁，共50頁。點(diǎn)評：用比較法證不等式，一般要經(jīng)歷作差(或商)、變形、判斷三個(gè)步驟．變形的主要(zhǔyào)手段是通分、因式分解，利用各因式的符號進(jìn)行判斷，或進(jìn)行配方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷，有時(shí)在變形過程中，還可利用基本不等式進(jìn)行放縮．第十八頁，共50頁。變式探究(tànjiū)1．已知a,b,m都是正數(shù)(zhèngshù)，并且a<b，求證：>.第十九頁，共50頁。考點(diǎn)(kǎodiǎn)二用綜合(zōnghé)分析法證明不等式【例2】已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求證(qiúzhèng)：(1＋a)(1＋b)·(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c)．思路點(diǎn)撥：在條件“a＋b＋c＝1”的作用下，將不等式的“真面目”給隱含了，這給證明不等式帶來困難，若用“a＋b＋c”替換“1”，則還原出原不等式的“真面目”，從而抓住實(shí)質(zhì)，解決問題．第二十頁，共50頁。第二十一頁，共50頁。變式探究(tànjiū)2．(2012·蘇州四校聯(lián)考)設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)(shìshù)．(1)若a＋b＋c＝1，求a2＋b2＋c2的最小值；(2)求證：.第二十二頁，共50頁。第二十三頁，共50頁。第二十四頁，共50頁?？键c(diǎn)(kǎodiǎn)三用放縮法證明(zhèngmíng)不等式第二十五頁，共50頁。第二十六頁，共50頁。點(diǎn)評：恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用(yùnyòng)放縮法可以使不等式很快得證，但放縮時(shí)要看準(zhǔn)目標(biāo)，做到有的放矢，注意放縮要適度．第二十七頁，共50頁。變式探究(tànjiū)3．當(dāng)n>2時(shí)，求證(qiúzhèng)：logn(n－1)logn(n＋1)<1.第二十八頁，共50頁?？键c(diǎn)(kǎodiǎn)四用反證法證明(zhèngmíng)不等式【例4】已知f(x)＝x2＋px＋q，求證(qiúzhèng)：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于.思路點(diǎn)撥：由于題目的結(jié)論是：三個(gè)函數(shù)值中“至少有一個(gè)不小于”，情況較復(fù)雜，會(huì)出現(xiàn)多個(gè)異向不等式組成的不等式組，一一證明十分繁冗，而結(jié)論的反面構(gòu)成三個(gè)同向不等式，結(jié)構(gòu)簡單，故采用反證法為宜．第二十九頁，共50頁。證明：假設(shè)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，則|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2，而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥|f(1)＋f(3)－2f(2)|＝|(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)|＝2，相互矛盾，假設(shè)不成立(chénglì)．故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于.第三十頁，共50頁。點(diǎn)評：用反證法證明(zhèngmíng)命題時(shí)，推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣．有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與事實(shí)相違背等等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的．第三十一頁，共50頁。變式探究(tànjiū)4．設(shè)a，b，c∈R，a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求證(qiúzhèng)：a，b，c均為正數(shù)．證明：(反證法)假設(shè)(jiǎshè)a，b，c不均為正數(shù)．又∵abc>0，則a，b，c兩負(fù)一正，不妨設(shè)a<0，b<0，c>0，又∵a＋b＋c>0，∴c>－(a＋b)>0，同乘以(a＋b)，得c(a＋b)<－(a＋b)2，即ac＋bc＋ab<－(a2＋ab＋b2)<0，與已知ab＋bc＋ca>0矛盾．∴假設(shè)(jiǎshè)不成立，∴a，b，c均為正數(shù)．第三十二頁，共50頁?？键c(diǎn)(kǎodiǎn)五用構(gòu)造函數(shù)法證明(zhèngmíng)不等式第三十三頁，共50頁。第三十四頁，共50頁。變式探究(tànjiū)第三十五頁，共50頁。課時(shí)升華1．綜合法就是“由因?qū)Ч?，從已知不等式出發(fā)，不斷用必要條件(bìyàotiáojiàn)替換前面的不等式，直至推出要證的結(jié)論．2．分析法就是“執(zhí)果索因”，從所證不等式出發(fā)，不斷用充分條件替換前面的不等式，直至找到成立的不等式．第三十六頁，共50頁。3．探求不等式的證法一般用分析法，敘述證明過程用綜合法較簡單，兩法結(jié)合(jiéhé)在證明不等式中經(jīng)常遇到．在證明不等式的過程中，分析法和綜合法是不能分離的，如果使用綜合法證明不等式難以入手時(shí)，常用分析法探索證題途徑，之后用綜合法的形式寫出它的證明過程，以適應(yīng)學(xué)生習(xí)慣的思維規(guī)律．有時(shí)問題證明難度較大，常使用分析綜合法，實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠，以達(dá)到證題目的．第三十七頁，共50頁。4．有些(yǒuxiē)不等式若恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用放縮法可以很快得證，放縮時(shí)要看準(zhǔn)目標(biāo)，做到有的放矢，注意放縮適度．5．構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證不等式或構(gòu)造方程，利用“Δ≥0”證不等式，充分體現(xiàn)相關(guān)知識間的聯(lián)系．第三十八頁，共50頁。6．?dāng)?shù)學(xué)解題的兩個(gè)重要策略原則：正難則反原則：若從正面考慮問題比較難入手時(shí)，則可考慮從相反方向去探索解決問題的方法，即我們常說的逆向思維，由結(jié)論向條件追溯．簡單化原則：尋求解題思路與途徑，常把較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題，在證明較復(fù)雜的不等式時(shí)，可以考慮將這個(gè)不等式不斷地進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，得到一個(gè)較易證明的不等式．7．凡是包含“至少”、“唯一(wéiyī)”或含有否定詞的命題適宜用反證法.第三十九頁，共50頁。感悟高考品味(pǐnwèi)高考1．設(shè)a，b是非(shìfēi)負(fù)實(shí)數(shù)，求證：a3＋b3≥(a2＋b2)．第四十頁，共50頁。2．(2012·重慶(zhònɡqìnɡ