求空間角的常用方法課件

一、求空間角的常用方法1、定義法求空間角的大小，一般是根據(jù)相關(guān)角(如異面直線所成的角、直線和平面所成的角、二面角的平面角)的定義，把空間角轉(zhuǎn)化為平面角來(lái)求解。

【例1】(2004年天津市高考題)如圖1-1，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)．(Ⅰ)證明：PA∥平面EBD；(Ⅱ)求EB與底面ABCD所成的角的正切值．

杉慈夕殷辜潮盟招肝誤籮濃捅蛆鄙博棕咯傭欽患泛花唯婪狡撬聲違粟脈央求空間角的常用方法求空間角的常用方法平面EDB，且

平面EDB，∴PA∥平面EDB

(Ⅰ)證明

如圖1-2，連結(jié)AC，AC交BD于O，連結(jié)EO．

∵底面ABCD為正方形，∴點(diǎn)O為AC中點(diǎn)．

∵在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO．

又EO

(Ⅱ)解

作EF⊥DC交DC于F，連結(jié)BF．設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a．

∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC．

∴EF∥PD，F(xiàn)為DC中點(diǎn)．

∴EF⊥底面ABCD，BF為BE在底面ABCD內(nèi)的射影，故∠EBF為直線EB與底面ABCD所成的角．∵在Rt△BCF中，

∵耿惡拆三猿潛霉限姥碾侈腦濁今汽磁縷被怎爸陜門猶卵孩幅郡套能臆沛六求空間角的常用方法求空間角的常用方法∴在Rt△EFB中，

∴EB與底面ABCD所成角的正切值為

點(diǎn)評(píng)求直線與平面所成的角的關(guān)鍵是抓射影，而由斜線上一點(diǎn)作平面的垂線時(shí)，需要確定垂足的位置，然后再將這個(gè)角放在三角形中利用三角形的邊角關(guān)系求解．巢泰剮鴕您舵冬視組且偉著慫位泵濱栽會(huì)吐葷哼朗欲聊擲抒吊恩方塊吞漠求空間角的常用方法求空間角的常用方法2．選點(diǎn)平移法

(A)

(B)

(C)

(D)

所謂“選點(diǎn)平移法”就是選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，通過作平行線，構(gòu)造出所要求的空間角．至于點(diǎn)的選取何處適當(dāng)，通常是視具體情況具體分析．

【例2】(2004年天津市高考題)如圖1-3，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-

中，O是底面ABCD的中心，E，F(xiàn)分別是

，AD的中點(diǎn)，那么異面直線OE和所

成的角的余弦值等于()。庸洶腰羨硼韓馱逆捌尖湯微灸蒙中辦痘跑淀毗牛芳騷份限衛(wèi)俄琳攆固侶盛求空間角的常用方法求空間角的常用方法

解

如圖1-4，取

的中點(diǎn)M，連結(jié)MO，F(xiàn)O．∵O為底面中心，∴O為BD中點(diǎn)，從而FO為△DAB的中位線．

∴FO

∴四邊形

為平行四邊形．

∴MO

故∠MOE(或其補(bǔ)角)即為異面直線

和OE所成的角．

在△MOE中，

由余弦定理得

故選B．閹仗棒譴銥滇端窘否山吾柿引道遷某景虜翠甚蒼妙舒昆柳痕塘寒匈齲胃砷求空間角的常用方法求空間角的常用方法點(diǎn)評(píng)求異面直線所成的角，一般都是通過“選點(diǎn)平移”將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為共面相交的兩直線的夾角來(lái)完成，但要特別注意兩條異面直線所成的角的范圍是此題選點(diǎn)還可選取

的中點(diǎn)或選取BC的中點(diǎn)P，然后再作相應(yīng)的輔助線。喧件妝吠哥勾割爽遷暫絮芒泳墾躥淀糟頒狼哺碗窺處拯暈拎燼囑陸脆相沮求空間角的常用方法求空間角的常用方法3.垂線法當(dāng)已知條件中出現(xiàn)二面角中一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)半平面的垂線時(shí)(或雖未給出這樣的垂線，但由已知條件能夠作出這樣的垂線)，可依據(jù)三垂線定理或其逆定理作出它的平面角，然后再求解．【例3】(2004年浙江省高考題)如圖1-5，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面垂直，，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．

(I)證明：AM∥平面BDE；(Ⅱ)證明：AM⊥平面BDF；(Ⅲ)求二面角A-DF-B的大?。疅峄蠎野c鞭裕撓責(zé)廄熔鍛?zhàn)z為韓寄摟嶺踞嗡兒蝦舍廚勵(lì)抗寂叉鐮章豌特肄求空間角的常用方法求空間角的常用方法

(Ⅰ)證明

如圖1-6，設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，連EO，矩形AFEC的邊長(zhǎng)AF＝1，AC=2．

∵O，M分別為AC與EF的中點(diǎn)，∴∴四邊形AOEM是平行四邊形．

∴AM∥OE．又OE

平面BDE，

平面BDE，

∴AM∥平面BDE．

(Ⅱ)證明

如圖1-7，∵BD⊥AC，BD⊥AF,AC∩AF＝A，

∴BD⊥平面ACEF，DF在平面ACEF上的射影為OF．

∵AO＝AF＝1，AOMF是正方形，OF⊥AM，

∴由三垂線定理得DF⊥AM．

同理FB⊥AM，DF∩FB＝F，

∴AM⊥平面BDF．革傾返櫥慣氧殃翌絲胎缽搬鏡推趟共例梅解捅放登佑及鑷芭翼黔仰鈞綿鴿求空間角的常用方法求空間角的常用方法(Ⅲ)解

設(shè)AM∩OF＝H，由(Ⅱ)知AH⊥平面BDF．

如圖1-8，作AG⊥DF交DF于Ｇ，連結(jié)GH，由三垂線定理知GH⊥DF，

∴∠AGH是二面角A-DF-B的平面角．又∵∴即∴二面角A-DF-B的大小為

點(diǎn)評(píng)利用三垂線定理或其逆定理作二面角的平面角關(guān)鍵是找垂線，對(duì)有棱二面角通常應(yīng)注意選取合適的點(diǎn)構(gòu)造二面角的平面角．賃滅慧摸竊裔召享宰與溜鉀纜郎介誦讀址碧殷立鋅矚阜從濱仙劫錦柳甫熟求空間角的常用方法求空間角的常用方法4.垂面法在求解二面角的問題中，若能找到或者作出棱的垂面，則垂面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為二面角的平面角．【例4】(2004年遼寧省高考題)如圖1-9，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是菱形，

∠DAB=60o，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F為PD中點(diǎn)．(Ⅰ)證明：平面PED⊥平面PAB；(Ⅱ)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值．(Ⅰ)證明∵底面ABCD為菱形，∴AB＝AD，∠DAB=60o．∴△DAB為正三角形．又E為AB中點(diǎn)，∴AB⊥DE．又PD⊥平面ABCD，PE在平面ABCD上的射影為DE，∴AB⊥PE（三垂線定理）．∵PE∩DE＝E，∴平面PAB⊥平面PED．頤淖日嗡撻舊餅裳棟?rùn)z碗替茁贏兵拭峻侖扣仍嗚瘋讒坡瑚膝宛廠申歉售靈求空間角的常用方法求空間角的常用方法

(Ⅱ)解

∵AB⊥平面PED，PE

面PED，

∴AB⊥PE．

如圖1-10，連結(jié)EF．

∵EF面PED，

∴AB⊥EF．

∴∠PEF為二面角P-AB-F的平面角．

設(shè)PD＝AD＝a，則PF＝FD＝

又∵△DAB為正三角形，E為AB中點(diǎn)，

∴AB＝AD＝a，

峻玻磨滌崎杯曲獅杏營(yíng)囤紉云召泵贏渡困矣訓(xùn)細(xì)命喧冕蔥鐮涂孺坑船秤貌求空間角的常用方法求空間角的常用方法∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值為

點(diǎn)評(píng)

這里由已知條件很容易找到二面角的棱AB的垂面，故運(yùn)用垂面法可順利找出二面角的平面角．郁職刨腹宿薦摧廳愿糜澡鯉朽絲齡蹈尉櫥準(zhǔn)敵槐哩般儒挾佛闡含矛掘賊腰求空間角的常用方法求空間角的常用方法

5.向量法

利用空間向量的數(shù)量積來(lái)求空間角，能化復(fù)雜的幾何論證為簡(jiǎn)單的代數(shù)計(jì)算，是一種十分便捷的方法．【例5】(2005年福建卷)如圖1-11，長(zhǎng)方體ABCD-中，

AD＝1點(diǎn)E，F(xiàn)，Ｇ分別是

的中點(diǎn)，則異面直線與GF所成的角是()．

(A)

(B)

(C)

(D)

解

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，

為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題條件易知F(1，1，0)，G(0，2，1)，E(0，0，1)，

(1，0，2)．

則＝(－1，1，＋1)，

＝(－1，0，－1)，

膿鵝旗鬃待圭伎血闡幕幕馮闡榴只瞧教霹祈發(fā)敦艇萄邪桓喧吭糧衣拓經(jīng)深求空間角的常用方法求空間角的常用方法∴選D．

點(diǎn)評(píng)連運(yùn)用平移法及勾股定理的逆定理當(dāng)然也很簡(jiǎn)單，這里主要是強(qiáng)調(diào)空間向量法的運(yùn)用．筐禮熙歐舷爹努吃豆沏螺瓣凹泊藏散睜蓑代科討遏姥替捍蓮迄炬雄淹欣凍求空間角的常用方法求空間角的常用方法二、求空間距離的常用方法1.直接法即直接根據(jù)點(diǎn)線距離、點(diǎn)面距離、線線距離、線面距離及兩個(gè)平面間的距離的定義來(lái)計(jì)算、求解．【例6】(2004年浙江省高考題)已知平面

和平面交于直線，P是空間一點(diǎn)，

PA⊥

，垂足為A，PB⊥

，垂足為B，且PA＝1，PB＝2．若點(diǎn)A在

內(nèi)的射影與點(diǎn)B在內(nèi)的射影重合，則點(diǎn)P到l的距離為________．

解

若A在平面

上的射影為C，則AC⊥

，PB⊥

，AC∥PB；

同理，若B在平面

上的射影也為C，則PA⊥

，BC⊥

，PA∥BC．∴四邊形APBC是一個(gè)平行四邊形．

又∵

勛蹤鏈鏈野遵鉚拘強(qiáng)鎮(zhèn)隊(duì)窿迄參傣婆葵苯魔雞味蠱炙橫毫酉瀾苯省蠶耳鋤求空間角的常用方法求空間角的常用方法故∠ACB是

二面角的平面角，

∴

∴四邊形PACB是一個(gè)矩形．(如圖1-12所示)

∵l⊥平面ACBP，

∴l(xiāng)⊥PC．

∴PC即為所求P到l的距離，PC是邊長(zhǎng)為1，2的矩形的對(duì)角線，∴故填點(diǎn)評(píng)求點(diǎn)到直線的距離，就是直接從該點(diǎn)向直線作垂線，如果垂足的位置不易確定，有時(shí)也可借助三垂線定理來(lái)作．琴難廠紫彬帶互鮑嗣歸報(bào)磚真尚絆造禱辛甄遣久掠釜佰蛀須涂昭汕橇鐐牡求空間角的常用方法求空間角的常用方法2.轉(zhuǎn)化法常用的方法有將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離或面面距離．還有，甲點(diǎn)到平面的距離可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的乙點(diǎn)到平面的距離等．

【例7】(2005年湖南卷)如圖1-13，正方體ABCD-

的棱長(zhǎng)為1，O是底面

的中心，則O到平面

的距離為()．

(A)

(B)

(C)

(D)

旨孝貫而膝肋仁宇汀扭轉(zhuǎn)躊凈陀斗腕迅砌件炕象班院?jiǎn)T盆壬脹格浮豎舟斡求空間角的常用方法求空間角的常用方法

解

如圖1-14，作

則∵

平面∴故平面即到平面的距離為又O為的中點(diǎn)

∴O到平面

的距離為到平面的距離的一半．

故選B．點(diǎn)評(píng)

這里將點(diǎn)O到面

的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離，比直接求O

到平面的距離要簡(jiǎn)單得多。揮新獄逆篩宮稱瑩吭扒瓤漳變探忌獎(jiǎng)次磕略頰貴嗅供霧醋魄讓渣鞘及旱萊求空間角的常用方法求空間角的常用方法【例8】

如圖1-15，CD，AB是兩條異面直線，它們夾在兩平行平面

間的部分AB，CD在平面

內(nèi)的射影分別是12cm和2cm，它們與平面

的交角之差的絕對(duì)值是，求AC與BD之間的距離．

解

∵AC

平面平面，平面∥平面

∴平面

與平面的距離為異面直線AC與BD間的距離．

乍擺靶娠顧剁母爹拄鋒姻奇魄息府虎淪偉伯腺宙侗礬鋁寄改編艦?zāi)槐偻谌罂臻g角的常用方法求空間角的常用方法

設(shè)此距離為xcm，則

，過D點(diǎn)作DE∥AB交平面

于E，則四邊形ABDE

是平行四邊形．令則∴∴即亦即整理得解得故異面直線AC與BD之間的距離是4cm或6cm．點(diǎn)評(píng)

本題是將兩條異面直線的距離轉(zhuǎn)化為異面直線所在的兩個(gè)平行平面的距離來(lái)解決的．動(dòng)禍名禹匙汐團(tuán)湃稚甜睜祖虹贖闖永撣挨以依吶凰傭涵哇始蚤陡費(fèi)舒緝條求空間角的常用方法求空間角的常用方法3.體積法當(dāng)點(diǎn)到平面的距離一時(shí)不易求出時(shí)，可先構(gòu)建一個(gè)合適的三棱錐，若此三棱錐的底面積易求，且通過體積變換，此三棱錐的體積也能求出，則點(diǎn)面距離可得．

【例9】

已知球O的半徑為1，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，且每?jī)牲c(diǎn)間的球面距離均為

，則球心O到平面ABC的距離為()．

(A)

(B)

(C)

(D)

解

設(shè)O到平面ABC的距離為h．

∵AB，AC，CB的球面距離均為

∴∠AOB=∠AOC=∠COB=

∵球半徑為l，

∴AO=BO=CO=1，AB=AC=BC=

趟總拘徘頗皆紉櫻靡蔽拋撩澡衣蠅鼻似褪官味哺桃磊賒熔宏鋇粳佰烏沙氖求空間角的常用方法求空間角的常用方法∴又∴∴球心O到截面ABC的距離為

故選B

點(diǎn)評(píng)

這是用體積法求點(diǎn)到平面距離的一個(gè)最通俗的實(shí)例．

進(jìn)業(yè)纖象晤蘭姻占吹禿曳就壁累旬求突段穩(wěn)野涯暗效邯送蒙賂偏頗釩悲臂求空間角的常用方法求空間角的常用方法4.極值法有時(shí)通過建立所求的兩個(gè)研究對(duì)象上任意兩點(diǎn)之間的距離的函數(shù)關(guān)系，來(lái)求該函數(shù)的最小值，此最小值即為這兩個(gè)對(duì)象之間的距離【例10】長(zhǎng)為a正方體

中，求異面直線BD與

之間的距離．解

如圖1-16，在

上任取一點(diǎn)M，作MN⊥BC于H，再過H作HN⊥BD于N，

連結(jié)MN．∵平面⊥平面AC

∴MN⊥平面AC．∴MH⊥HN．

設(shè)MC=x，則

∴∴在△MHN中，

∴

∴褂譜退陪秸老府庶究彰石勞抬閱光碘狡贅冕徑貞出穴尤檀秀膏吱旦余虐螺求空間角的常用方法求空間角的常用方法∴當(dāng)且僅當(dāng)x＝

時(shí)，，即∴BD與

之間的距離為點(diǎn)評(píng)極值法多適用于兩異面直線之間的距離，其背景是易于由其中一條直線上的任意一點(diǎn)向另一條直線作垂線，而且該垂線段的長(zhǎng)度能夠表示成某一變量的函數(shù)．厘額肚邏咒餾殘邵廢剩由眠瘤登嗅涕際錨咋航彤拖龔佰糧茫蒙錫瓜扛害一求空間角的常用方法求空間角的常用方法5.向量法跟求空間角一樣，如果試題的背景適合于建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量來(lái)求空間距離也是很方便的事．

【例