空間點、平面、直線的關系課件

2.3空間點、平面、直線的關系

(Relationshipsofpoints、planesandstraightlinesinspace)

2.3.1

點與平面的位置關系

2.3.2

點與直線的位置關系

2.3.3

兩平面的位置關系

2.3.4

空間兩直線的相關位置

2.3.5

直線與平面的相關位置2.3.1點與平面的位置關系

(Mutualpositionofpointsandplanes)1)點與平面的位置關系

點與平面的位置關系,有2種情形,就是點在平面上和點不在平面上.前者的條件是點的坐標滿足平面方程.點不在平面上時,一般要求點到平面的距離,并用離差反映點在曲面的哪一側(cè).2)點到平面的距離

定義1

自點P0向平面

引垂線,垂足為P1.向量在平面的單位法向量n0上的射影稱為P0與平面之間的離差,記作

(2.3-1)

當與n0同向時,離差δ>0；當與n0反向時,離差δ<0.當P0在平面上時,離差δ=0.

顯然,離差的絕對值就是點P0到平面

的距離,由此可以推導點到平面的距離公式.設P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一點,求P0到平面的距離.

任取平面上一點P1(x1,y1,z1),則而，所以因為點P1在平面Ax+By+Cz+D=0上,故Ax1+By1+Cz1+D=0,即(Ax1+By1+Cz1)=-D,所以從而得點到平面的距離為：

(2.3-2)

公式(2.3-2)稱為點到平面的距離公式.顯然,當點P0(x0,y0,z0)在平面上時,公式亦成立.

例1

求點(1,2,-3)到平面2x-y+2z+3=0的距離.

解由點到平面的距離公式(2.3-2),得3)平面劃分空間問題設平面的一般方程為

Ax＋By＋Cz＋D=0,則空間中任一點P(x,y,z)與平面的離差為

式中λ為平面的法化因子，因此有

(2.3-3)

對于平面同側(cè)的點,δ的符號相同；對于在平面的異側(cè)的點,δ有不同的符號,而λ一經(jīng)取定,符號就是固定的.因此,平面

：Ax＋By＋Cz＋D=0把空間劃分為兩部分,對于平面某一側(cè)的點P(x,y,z),有Ax＋By＋Cz＋D>0；而對于平面另一側(cè)的點,則有Ax＋By＋Cz＋D<0,在平面上的點有Ax＋By＋Cz＋D=0.

例2

判別點M(2,-1,1)和N(1,2,-3)在由平面與所構成的同一個二面角內(nèi)，還是分別在相鄰二面角內(nèi)，或是在對頂?shù)亩娼莾?nèi)？

解：記將點M(2,-1,1)代入上式，得＞0，同理，對于點N(1,2,-3)得

＜0.故點M和N在由平面1與2所構成的相鄰二面角內(nèi).2.3.2點與直線的位置關系

(Mutualpositionofpointsandstraightlines)1)點與直線的位置關系任給一條直線L的方程和一點P0,則L和P0的位置關系只有2種：點在直線上和點不在直線上.從代數(shù)上,這兩種情況對應點的坐標滿足直線方程和點的坐標不滿足直線方程.2)點到直線的距離設空間中有一點P0(x0,y0,z0)和一條直線

此處P1(x1,y1,z1)是L上的一點,v=(X,Y,Z)是L的方向向量.以v和

為鄰邊作一平行四邊形,則其面積為,點P0到直線L的距離d就是此平行四邊形的對應于底|v|的高,所以有

(2.3-4)

在實際計算中,記憶上式的第二個等號后面的部分是沒有實際意義的.只需根據(jù)公式的前半部分計算即可.

也可以先求出過點P0且與直線L垂直的平面

,再求出L與

的交點P0,由兩點間距離公式求出點到直線的距離.

例3

求點(5,4,2)到直線的距離d.

解

P0(5,4,2),取P1(-1,3,1),v=(2,3,-1)

則則，所以2.3.3兩平面的位置關系

(Mutualpositionoftwoplanes)1)兩平面的位置關系

空間兩平面的相關位置有3種情形,即相交、平行和重合.

設兩平面

1與

2的方程分別是

1:A1x+B1y+C1z+D1=0,

2:A2x+B2y+C2z+D2=0.

則兩平面

1與

2相交、平行或是重合,就決定于由兩方程構成的方程組是有解還是無解,或無數(shù)個解,它們與兩平面的法向量n1,n2,即方程的系數(shù)有密切關系,從而可得下面的定理.

定理1

空間兩平面相關位置,有下面的充要條件(1)相交:

(2.3-5)(2)平行:

(2.3-6)(3)重合:

(2.3-7)

由于兩平面

1與

2的法向量分別為n1=(A1,B1,C1),

n2=(A2,B2,C2),當且僅當n1不平行于n2時

1與

2相交,當且僅當n1∥n2時

1與

2平行或重合,由此我們同樣能得到上面3個條件.2)兩平面間的夾角

設兩平面的夾角為θ,規(guī)定θ為銳角,那么顯然有(如圖)：θ和兩平面法向量n1與n2的夾角相等即,或者與兩平面法向量n1與n2的夾角互補,即.

根據(jù)兩向量的夾角公式可得

(2.3-8)公式(2.3-8)稱為兩平面的夾角公式.

由(2.3-8)可得：兩平面垂直的充要條件是

A1A2+B1B2+C1C2=0(2.3-9)

例4

求兩平面

1:2x-3y+6z-12=0和

2:x+2y+2z-7=0的夾角.

解：,代入公式(2.3-8)得故所求兩平面之間的夾角為

例5

一平面過兩點P1(1,1,1)和P2(0,1,-1)且垂直于平面x＋y＋z=0,求它的方程.

解:設所求平面的法向量為,由于在所求平面上,有，即.又n垂直于平面x＋y＋z=0的法向量n1=(1,1,1),故有.從而得

代入平面的點法式,得平面方程為：

2(x-1)-(y-1)-(z-1)=0,即 2x－y－z=0.例6

求過點A(1,1,-1)且與x-y+z-7=0,3x+2y-12z+5=0都垂直的平面.

解設所求平面的法向量為n=(A,B,C),n1=(1,-1,1),n2=(3,2,-12),由于,故

，所以可取因為則取n=(2,3,1)，代入平面的點法式方程得所求平面方程為

2(x-1)+3(y-1)+(z+1)=0,即2x+3y+z-4=0.

3)平面束

作為兩平面關系的更廣泛情形，下面討論平面束.

定義2

通過一條定直線的所有平面的全體，稱為一個有軸平面束，定直線稱為平面束的軸。平行于一個定平面的所有平面的全體，稱為一個平行平面束。

定理2

以二相交平面

1:A1x+B1y+C1z+D1=0,

2:A2x+B2y+C2z+D2=0.的交線L為軸的有軸平面束的方程是

(2.3-10)這里λ,μ是不同時為零的任意實數(shù),稱為參數(shù).

證

先證明對于任意一組不同時為零的參數(shù)值λ,μ,方程(2.3-10)表示一個平面.

將方程(2.3-10)改寫為而上式中x,y,z的系數(shù)不同時為零,否則

設,則有

而這與題設

1,

2相交矛盾,所以(2.3-10)確是三元一次方程,表示平面.

再證對于任意一組不同時為零的參數(shù)值λ,μ,方程(2.3-10)表示的平面過

1與

2

的交線L.

因為

1,

2

交線L上任一點的坐標必滿足

1及

2的方程,因而也必滿足(2.3-10),從而L必在方程(2.3-10)所表示的平面上.

最后證明通過交線L的任一平面,都可以通過選取適當?shù)?/p>

λ,μ值,用方程(2.3-10)表示.

設在平面上,但不在交線L上任取一點P(α,β,γ),因為P不在L上,所以與不能同時為零.

如果,可取把滿足這個關系的一組λ,μ值代入方程(2.3-10)得：顯然這個方程既通過了L,又通過了P點,即為平面的方程.

特別地，當

=

1時，可以選??；當

=

2時,可以選取.

注：為了計算方便,有時也把上述平面束的方程寫成

(2.3-11)

它只含有一個參數(shù),所以計算方便.但要注意,不管λ取何值,方程(2.3-11)都不能表示平面即(2.3-11)決定的平面的全體比(2.3-10)決定的平面束少了一個平面

2.

下面討論平行平面束,已給定平面的方程為

由于平行于的平面可看成與具有相同的法向,因而平行平面束的方程可寫成

(2.3-12)其中λ為參數(shù).

例7

求過直線且與xy面垂直的平面.

解過二平面2x-y+2z=0,x+2y-2z-6=0的交線的平面方程可看成有軸平面束,設為即該平面的法向量.由題設該平面與xy面垂直,得

,即.解得

取則由此可得所求平面方程

3x-y-6=0.

例8

求與平面3x+y-z+4=0平行且在z軸上截距等于-2的平面方程.

解可設所求平面方程為因該平面在z軸上的截距為-2,

所以該平面通過點(0,0,-2),由此得所以因此所求平面方程為：

2.3.4空間兩直線的相關位置

(Mutualpositionoftwolinesinspace)

1)空間兩直線的位置關系空間兩直線的相關位置有異面與共面,共面時又有相交、平行和重合3種情形.

設二直線的方程為

i=1,2.

直線L1上定點P1(x1,y1,z1)和方向向量v1=(X1,Y1,Z1),而直線L2上定點P2(x2,y2,z2)和方向向量v2=(X2,Y2,Z2).

由圖容易看出,兩直線的相關位置決定于三向量,v1,

v2的相互關系.當且僅當這三個向量異面時,兩直線異面；當且僅當這三個向量共面時,兩直線共面.

共面時,若v1,v2不平行,則L1和L2相交;若v1∥v2但不與平行,則L1和L2平行;v1∥v2∥,則L1和L2重合.因此有

定理3

空間兩直線L1和L2的相關位置,有下面的充要條件

(1)異面：

(2.3-13)

(2)相交：(2.3-14)(3)平行：(2.3-15)(4)重合：(2.3-16)

例9

判定直線和的位置關系.

解因為直線L1過點P1(0,0,-1),方向向量為v1=(1,-1,0),而直線L2過點P2(1,1,1),方向向量為v2=(1,1,0),從而有

所以L1與L2是兩異面直線.

2)空間兩直線的夾角

平行于空間兩直線L1,L2的兩向量間的夾角，稱為空間兩直線的夾角,規(guī)定θ為銳角.

顯然，若兩直線間的夾角是θ

，則也可認為它們之間的夾角是

-θ.它們與兩直線方向向量v1,v2之間關系是或.根據(jù)兩向量之間的夾角公式可得

(2.3-17)由此得出兩直線L1與L2垂直的充要條件是

v1.v2=X1X2＋Y1Y2＋Z1Z2=0.(2.3-18)

例10

求以下兩條直線的夾角

解直線L1的方向向量為v1=(1,-4,1)，直線L2的方向向量為故

則兩直線的夾角為

3)異面直線間的距離與公垂線的方程空間兩直線的點之間的最短距離稱為這兩條直線之間的距離.

兩相交或兩重合直線間的距離為零；兩平行直線間的距離等于其中一直線上的任意一點到另一直線的距離.

與兩條異面直線都垂直相交的直線稱為兩異面直線的公垂線.

兩異面直線間的距離等于它們的公垂線夾在兩異面直線間的線段的長.

設兩異面直線L1和L2的方程如前，L1和L2與它們的公垂線的交點分別為N1和N2，則L1和L2之間的距離

也就是

(2.3-19)它的幾何意義為：因為為由三向量構成的平行六面體的體積，而為由兩向量構成的平行四邊形的面積，也就是上述平行六面體的一個面的面積，因此，由公式容易知道，兩異面直線間的距離d恰為三向量構成的平行六面體在兩向量構成的平行四邊形底面上的高.

公垂線L0的方向向量可取作v1×v2=(X,Y,Z),而公垂線可看作兩個平面的交線，這兩個平面一個通過點M1,以v1和v1v2為方位向量，另一個平面通過點M2,

以v2和v1v2為方位向量.由平面的點位式方程可得公垂線L0的一般方程為

(2.3-20)其中(X,Y,Z)是向量v1v2的坐標，即L0的方向數(shù).

現(xiàn)在求兩異面直線L1和L2的公垂線的方程.

例11

判定兩直線和是異面直線,并求公垂線方程及其距離.

解直線L1上點P1(3,0，-1),方位向量v1=(2,1,0);直線L2上點P2(-1,-2,0),方位向量v2=(1,0,1)，由故直線L1與L2為異面直線.又因為L1與L2的公垂線L0的方向向量可取為v1×v2=(1,-2,-1)

所以L1與L2之間的距離為根據(jù)(2.3-20)得公垂線L0的方程為即

例12

求過點P0(1,1,1)且與兩直線都相交的直線的方程.

解設所求直線的方向向量v=(X,Y,Z)，那么所求直線L的方程可寫成：因為L與L1，L2都相交,而且L1過點P1(0,0,0),方向向量為v1=(1,2,3),L2過點P2(1,2,3),方向向量為v2=(2,1,4).所以有即即由上兩式得：

v=(1,-2,1)×(1,2,-1)=2(0,1,2).

v不平行于v1,v不平行于v2，符合相交條件，所以所求直線L的方程為2.3.5直線與平面的相關位置

(Mutualpositionoflinesandplanes)1)直線與平面的相關位置直線與平面的相關位置有3種情形：直線與平面相交，直線與平面平行和直線在平面上.

設直線L與平面的方程分別為

：Ax＋By＋Cz＋D=0.將直線方程寫成參數(shù)式

代入平面方程,整理可得

(AX＋BY＋CZ)t=－(Ax0＋By0＋Cz0＋D).

當且僅當AX＋BY＋CZ≠0時,上式有唯一解這時直線L與平面有唯一公共點；當且僅當AX＋BY＋CZ=0,Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0時,上式無解,直線L與平面沒有公共點；當且僅當AX＋BY＋CZ=0,Ax0＋By0＋Cz0＋D=0時,上式有無數(shù)多解,直線L在平面上.于是有

定理4

直線L與平面

的相關位置,有下面的充要條件：(1)相交：AX＋BY＋CZ≠0;(2.3-21)(2)平行：AX＋BY＋CZ=0,Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0；(2.3-22)(3)直線在平面上：AX＋BY＋CZ=0,Ax0＋By0＋Cz0＋D=0.(2.3-23)以上條件的幾何解釋：就是直線L的方向向量v與平面的法向量n之間關系.(1)表示v與n不垂直；(2)表示v與n垂直,且直線L上的點(x0,y0,z0)不在平面上；(3)表示v與n垂直,且直線L上的點(x0,y0,z0)在平面上.2)直線與平面的夾角當直線L與平面相交時,可求它們的夾角.

當直線不與平面垂直時,直線與平面的交角是指直線和它在平面上的射影所構成的銳角；垂直時規(guī)定是直角.

設v=(X,Y,Z)是直線L的方向向量,n=(A,B,C)是平面的法向量,則令∠(L,)=,∠(v,n)=,就有

,

或

(

為鈍角),

因而

sin=∣cos∣=(2.3-24)

從這個公式也可直接得到定理4中的條件.

顯然,直線L垂直于平面

的充要條件是v∥n,即

(2.3-25)

附注1

直線與平面的位置關系，是點、直線和平面關系的紐帶,是求直線、平面方程的基礎.

附注2

當直線和平面平行時，直線和平面間的距離d等于P0到平面的距離.

附注3

當直線和平面垂直時，可取直線方向向量v作為平面法向量n,反之亦然.

附注4

直線與平面的夾角公式,與平面間、直線間的夾角公式不同,尤應引為注意.

例13

設直線平面求直線與平面的夾角.

解所以為所求夾角.