自動控制原理課件非線性系統(tǒng)講義相平面

自動控制原理課件非線性系統(tǒng)講義相平面第一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一§8.3.1相平面的基本概念(1)相平面和相軌跡(2)相軌跡的性質(zhì)（運動方向，漸進線，開關(guān)線，奇點）

(3)線性二階系統(tǒng)的相軌跡（分析一類非線性系統(tǒng)的自由響應(yīng)）§8.3.2繪制相平面的等傾斜線法§8.3.3非線性系統(tǒng)的相平面分析

§8.3相平面法

第二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一§8.3

相平面法（1）

§8.3.1相平面的基本概念

相平面：相軌跡：系統(tǒng)變量及其導(dǎo)數(shù)隨時間變化在相平面上描繪出來的軌跡。由系統(tǒng)變量及其導(dǎo)數(shù)（如）構(gòu)成的用以描述系統(tǒng)狀態(tài)的平面。例1單位反饋系統(tǒng)(1)相平面和相軌跡第三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一§8.3

相平面法（1）

(2)相軌跡的性質(zhì)運動方向上半平面—

向右移動下半平面—

向左移動順時針運動通過橫軸時，以90°穿越

x軸設(shè)系統(tǒng)方程為：一個初始條件對應(yīng)一條相軌跡第四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一相軌跡上每一點切線的斜率為若在某點處和同時為零，即有的不定形式，則稱該點為相平面的奇點奇點的位置？過奇點時系統(tǒng)運動的速度和加速度？過奇點的相軌跡個數(shù)？相軌跡從奇點處過x軸？(3)奇點

(平衡點)

：過普通點只有一條相軌跡，過奇點有多個相軌跡上斜率不確定的點第五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一（4）相軌跡的繪制1、解析法當(dāng)系統(tǒng)相軌跡方程比較簡單或易于分段線性化時,可使用解析法求出相軌跡方程的解,再繪制相軌跡。方法：降階，兩邊積分，或者線性化§8.3相平面法（1）第六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一§8.3

相平面法（1）

例1第七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一§8.3

相平面法（1）

極點分布二階系統(tǒng)的相軌跡奇點相跡圖中心點穩(wěn)定的焦點穩(wěn)定的節(jié)點鞍點不穩(wěn)定的焦點不穩(wěn)定的節(jié)點極點分布奇點相跡圖(5)奇點的類型：特征根第八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一

此外，若線性二階系統(tǒng)的特征根一個為零根，另一個為負(fù)實根時，相軌跡為直線（常數(shù)項為0），線性收斂；若線性二階系統(tǒng)一個根為零根，另一個根為正實根時，則相軌跡線性發(fā)散。對于非線性系統(tǒng)的各個平衡點，若描述非線性過程的非線性函數(shù)解析時，可以通過平衡點處的線性化方程，基于線性系統(tǒng)特征根的分布，確定奇點的類型，進而確定平衡點附近相軌跡的運動形式。當(dāng)非線性方程在某個區(qū)域可以表示為線性微分方程時，奇點類型決定該區(qū)域系統(tǒng)運動的形式。若對應(yīng)的奇點位于本區(qū)域內(nèi)，則稱為實奇點；若對應(yīng)的奇點位于其它區(qū)域，則稱為虛奇點。第九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一§8.3

相平面法（1）

例2設(shè)系統(tǒng)方程為，求系統(tǒng)的平衡點xe，并判定平衡點附近相軌跡的性質(zhì)。解令不穩(wěn)定焦點線化特征方程鞍點第十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一§8.3

相平面法（1）

例3系統(tǒng)方程為，分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)。解特征方程穩(wěn)定焦點鞍點利用二階線性系統(tǒng)的相軌跡分析一類非線性系統(tǒng)

奇點極點開關(guān)線第十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一§8.3

相平面法（1）

例4系統(tǒng)方程為，分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)。解特征方程中心點奇點極點中心點開關(guān)線

——

劃分不同線性區(qū)域的邊界線平衡線（奇線）

——

不同區(qū)域的相軌跡相互影響而產(chǎn)生第十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一§8.3

相平面法（1）

例5系統(tǒng)如右，已知，確定開關(guān)線方程，奇點位置和類型，繪制相平面圖。解開關(guān)線方程線性部分非線性部分綜合點第十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一§8.3

相平面法（1）

中心點中心點區(qū)域運動方程奇點特征方程極點奇點性質(zhì)奇點類型相軌跡以為中心的圓以

為中心的圓水平線響應(yīng)第十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一§8.3

相平面法（1）

開關(guān)線方程線性部分非線性部分比較點例6系統(tǒng)如右，，，分別討論系統(tǒng)運動。整理在

I區(qū)：拋物線方程同理在

II區(qū)：當(dāng)時，開關(guān)線為：解第十五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一§8.3

相平面法（1）

開關(guān)線(I)相軌跡圖(II)系統(tǒng)方程第十六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一§8.3

相平面法（2）

解例7系統(tǒng)方程，用等傾斜線法繪制系統(tǒng)相軌跡圖?！?.3.2繪制相平面的等傾斜線法系統(tǒng)方程等傾斜線方程等傾斜線

——

相軌跡斜率為常數(shù)的曲線等傾斜線斜率？等傾斜線對應(yīng)的斜率？第十七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一第十八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一相軌跡的漸進線在直線等傾線上，相軌跡的斜率為：等傾線的斜率為：若等傾線漸近線漸近線：特殊的等傾斜線，也是相軌跡線（只有線性系統(tǒng)才可能有漸進線)。第十九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一§8.3

相平面法（2）

非線性部分比較點例8系統(tǒng)如右，在平面上分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)運動。整理線性部分解第二十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一§8.3

相平面法（16）

第二十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一§8.3

相平面法（3）

各類極限環(huán)極限環(huán)

——對應(yīng)二階非線性系統(tǒng)的周期運動穩(wěn)定的極限環(huán)不穩(wěn)定的極限環(huán)半穩(wěn)定的極限環(huán)第二十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一相軌跡的繪制1、解析法當(dāng)系統(tǒng)相軌跡方程比較簡單或易于分段線性化時,可使用解析法求出相軌跡方程的解,再繪制相軌跡。方法§8.3相平面法（3）第二十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一2、等傾線法（作圖法）設(shè)二階系統(tǒng)的微分方程為：