自動控制原理第九章

自動控制原理第九章第一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二第一節(jié)概論

一一般情況非線性系統(tǒng)一般由三部分組成:

被控對象，執(zhí)行機(jī)構(gòu)，測量裝置執(zhí)行機(jī)構(gòu)測量裝置被控對象第二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二數(shù)學(xué)描述定常、時變；連續(xù)、離散第三頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二放大元件由于受電源電壓或輸出功率的限制，在輸入電壓超過放大器的線性工作范圍時，呈現(xiàn)飽和現(xiàn)象(a).（a）第四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二執(zhí)行元件的電動機(jī)，由于軸上存在著摩擦力矩和負(fù)載力矩，只有在電樞電壓達(dá)到一定數(shù)值后，電樞才會轉(zhuǎn)動。存在著死區(qū)而當(dāng)電樞電壓達(dá)到定數(shù)值時，電機(jī)轉(zhuǎn)速將不再增加呈現(xiàn)飽和現(xiàn)象，如（b）.(b)第五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二傳動機(jī)構(gòu)受加工和裝備精度限制，換向時存在著間歇特性。（C）(c)第六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二二模型線性化嚴(yán)格的講，幾乎所有的控制系統(tǒng)都是非線性的，即使采用了一個線性模型并較好地描述了系統(tǒng)，也只是對這個系統(tǒng)的一個近似描述罷了。第七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二

非線性系統(tǒng)：

轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)：第八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二(d)第九頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二為了繼續(xù)使用較為成熟的線性系統(tǒng)分析設(shè)計(jì)方法，通常是把非線性系統(tǒng)近似線性化。這種線性化只適用于非線性程度不嚴(yán)重的情況，例如不靈敏區(qū)較小，（b）中死區(qū)較小，輸入信號幅值較小，傳動機(jī)構(gòu)空隙不大時，都可以忽略非線性特征的影響，將非線性環(huán)節(jié)視為線性環(huán)節(jié)，另外系統(tǒng)工作在某個數(shù)值附近的較小范圍內(nèi)，也可以將非線性系統(tǒng)近似看作線性的。最常見的線性化方法就是泰勒展開：第十頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二忽略高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，就可以把非線性函數(shù)線性近似化。應(yīng)該注意的是泰勒展開X的某個小鄰域內(nèi)有效。超出該范圍，所做的近似就失去了意義。這個范圍是嚴(yán)格控制的。第十一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二第十二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二第十三頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二三非線性特性實(shí)際控制系統(tǒng)中的非線性特性是多種多樣的，一般以解析函數(shù)的形式出現(xiàn)，如ux第十四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二1連續(xù)非線性特性特點(diǎn)：非靈敏區(qū)；飽和區(qū)xf(x)xf(x)第十五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二2不連續(xù)特性又稱繼電型非線性元件xf(x)xf(x)第十六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二xf(x)xf(x)第十七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二3非單值區(qū)特性分類：滯后；間隙xf(x)xf(x)第十八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二xf(x)xf(x)滯后指輸入值增加或減小時對應(yīng)的輸出值是不同的。第十九頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二間隙特性：xf(x)第二十頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二以理想繼電器和帶有空間滯后的繼電器特性為例，說明分段線性化后的數(shù)學(xué)表達(dá)式xf(x)k-k第二十一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二xf(x)k-ka-a第二十二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二死區(qū)飽和開方常見非線性特性：第二十三頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二冪函數(shù)滯環(huán)繼電第二十四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二死區(qū)雙位滯環(huán)繼電死區(qū)滯環(huán)繼電第二十五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二四非線性系統(tǒng)的研究方法及特點(diǎn)相平面方法描述函數(shù)法李亞普諾夫穩(wěn)定性理論第二十六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二相平面方法：研究對象是二階系統(tǒng)，利用系統(tǒng)微分方程在相平面上建立系統(tǒng)解的幾何形象，從而獲得二階系統(tǒng)的運(yùn)動性質(zhì)。特點(diǎn)：無需求解非線性微分方程，直接給出能夠顯示系統(tǒng)運(yùn)動特征的相圖，從而獲得系統(tǒng)全部運(yùn)動性質(zhì)的定性知識。獨(dú)特優(yōu)越性：系統(tǒng)存在無限多的軌線運(yùn)動，只需畫出其中幾條就可以獲得系統(tǒng)全部軌線的概貌。第二十七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二例：二階系統(tǒng)（諧振子）相軌跡方程為相軌跡是一組橢圓族，系統(tǒng)只發(fā)生一種類型的運(yùn)動——相軌跡所表示的周期解，且與初始狀態(tài)有關(guān)。xx’第二十八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二描述函數(shù)法（諧波線性化法）：非線性處理的近似方法，控制工程中較為普及的一種實(shí)用方法。優(yōu)點(diǎn)：比較簡單，解決問題全面，且適用于高階系統(tǒng)和各種非線性特性。缺點(diǎn)：數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)不完善，得到的結(jié)果既不是充分的，也不是必要的，而且在近似過程中會喪失部分非線性信息，從而無法從諧波線性化方程中取得關(guān)于非線性系統(tǒng)的某些更復(fù)雜現(xiàn)象的本質(zhì)與特性第二十九頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)近似于一個復(fù)數(shù)增益的比例環(huán)節(jié)，從而可以利用線性系統(tǒng)的頻域分析方法來討論穩(wěn)定性。第三十頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二非線性元件的描述函數(shù)就等價(jià)于線性系統(tǒng)的頻率特性，所以線性系統(tǒng)理論中的頻域結(jié)果，如奈氏判據(jù)，波特圖，霍爾維茨判據(jù)及根軌跡方法等，幾乎可以推廣到非線性系統(tǒng)中來研究非線性元件的穩(wěn)定性、周期解等。第三十一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二Lypunov穩(wěn)定性理論：在非線性系統(tǒng)控制中，它是研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的主要方法Lypunov第一方法：用級數(shù)形式的解來研究系統(tǒng)穩(wěn)定性，即將系統(tǒng)在原點(diǎn)展開成泰勒級數(shù)的形式，得到一階線性近似方程，它的穩(wěn)定性就決定了非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，為一般線性化方法奠定了基礎(chǔ)，同時也給出了線性化方法成立的條件第三十二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二Lypunov第二方法：無需求解方程而直接判斷解的穩(wěn)定性。此方法關(guān)鍵是找到一個正定且有界的V(x,t)函數(shù)，且保證V函數(shù)沿時間t的導(dǎo)數(shù)為負(fù)定的，那么系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。其中V(x,t)函數(shù)可以看作是能量系統(tǒng)的能量函數(shù)，從物理學(xué)角度來講，如果一個系統(tǒng)的能量是有限的，且能量隨時間的變化率為負(fù)時，那么這個系統(tǒng)的所有運(yùn)動都是有界的，而且最終在能量為零時，所有運(yùn)動都會返回到平衡位置，即系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。第三十三頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二

研究方法的特點(diǎn)目前通常用到的（不是全部）非線性方法有一個基本特點(diǎn)，就是總以某種方式通過線性化而建立起來的。換句話說就是以線性方法為基礎(chǔ)加以修補(bǔ)使之能夠適應(yīng)解決非線性問題的需要。第三十四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二相平面方法：將非線性特性分段線性化之后，將相平面分成幾個區(qū)域，使得在每個區(qū)域上系統(tǒng)都是線性的，然后分別在各個區(qū)域上做出相圖，從而建立整個非線性系統(tǒng)的相圖，實(shí)質(zhì)是分區(qū)線性化方法第三十五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二描述函數(shù)方法：一種近似線性化方法，實(shí)質(zhì)是把非線性函數(shù)u=f(x)用某個線性關(guān)系u’=k(A)x’來代替，從而實(shí)現(xiàn)線性化，其中線性化系統(tǒng)k并不是常數(shù)，而是關(guān)于表征系統(tǒng)運(yùn)動特性的常數(shù)A的某個函數(shù)（即描述函數(shù)），上式體現(xiàn)了變量為諧波時的線性化關(guān)系，所以又稱為“諧波線性化”方法。第三十六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二注意：諧波線性化只是形式上將非線性特性進(jìn)行了線性化，其實(shí)仍然保留了非線性的特性，體現(xiàn)在線性化系數(shù)k(A)與運(yùn)動參數(shù)A有關(guān)。第三十七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二Lyapunov第一穩(wěn)定方法：真正的線性化方法，基于泰勒級數(shù)展開并忽略高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，從而實(shí)現(xiàn)一階線性化。第三十八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二Lyapunov第二穩(wěn)定方法：本質(zhì)上是真正的非線性方法，但是卻不存在一般的構(gòu)造V函數(shù)方法，目前成功構(gòu)造V函數(shù)的方法是魯里葉與波斯特尼考夫于1944年提出的，對線性系統(tǒng)構(gòu)造V函數(shù)，然后附加一個修正項(xiàng)，作為相應(yīng)非線性函數(shù)的V函數(shù)，從這一點(diǎn)上來看，真正的非線性方法也是在線性為基礎(chǔ)的情況下才得以實(shí)現(xiàn)的。第三十九頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二第二節(jié)描述函數(shù)方法描述函數(shù)的定義描述函數(shù)的類型描述函數(shù)的計(jì)算描述函數(shù)分析方法極限環(huán)總結(jié)第四十頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二系統(tǒng)結(jié)構(gòu)：注：線性和非線性部分可以分開；絕大多數(shù)的線性系統(tǒng)都是低通濾波器，則非線性元件的輸出y主要是由低頻成分組成，非線性元件NL就等價(jià)于一個線性比例環(huán)節(jié)；非線性環(huán)節(jié)應(yīng)具有奇對稱靜態(tài)關(guān)系。第四十一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二非線性環(huán)節(jié)：輸入為如果輸出在時間段T內(nèi)是有界可積的（存在最大最小值），則可以展開為Fourier級數(shù)：一描述函數(shù)定義：第四十二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二當(dāng)非線性環(huán)節(jié)具有奇對稱特性時，直流分量A0為零第四十三頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二描述函數(shù)為在正弦諧波作用下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中一次諧波分量和輸入信號的復(fù)數(shù)比輸出一次諧波的幅值輸出一次諧波的相位第四十四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二Fourier級數(shù)特性：

1y(t)為奇函數(shù):y(t)=-y(-t)，則第四十五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二2y(t)為偶函數(shù)y(t)=y(-t)，則第四十六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二3y(t)為半波對稱，則第四十七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二二描述函數(shù)的類型滯環(huán)非線性第四十八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二輸出為半波對稱函數(shù)，所以第四十九頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二單值非線性奇函數(shù)輸出為奇函數(shù)第五十頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二三描述函數(shù)的計(jì)算例1死區(qū)＋飽和第五十一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二兩個重要的角度：當(dāng)y=0當(dāng)當(dāng)?shù)谖迨摚惨话偃豁?，編輯?023年，星期二

第五十三頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二

第五十四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二純死區(qū)第五十五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二純飽和第五十六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二例2理想繼電非線性第五十七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二第五十八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二例3具有滯環(huán)的繼電特性第五十九頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二

第六十頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二例4繼電＋死區(qū)＋滯環(huán)第六十一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二,第六十二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二例5第六十三頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二

第六十四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二四描述函數(shù)分析方法等效方塊圖N是非線性環(huán)節(jié)，Gp（S）是線性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)由多個線性和非線性環(huán)節(jié)組合而成時，在一些情況下，可以通過等效變換，使系統(tǒng)簡化成這種典型結(jié)構(gòu)。第六十五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二

在非線性系統(tǒng)經(jīng)過簡化后，具有典型結(jié)構(gòu)。當(dāng)系統(tǒng)的線性部分具有較好的低通濾波特性。在非線性環(huán)節(jié)的輸入為正弦信號時，實(shí)際輸出中必定含有高次諧波分量，經(jīng)過線性部分傳遞之后，由于低通濾波作用，高次濾波分量將被大大削弱，因此保證閉環(huán)通道內(nèi)近似地只有一次斜波分量流通，從而保證對非線性環(huán)節(jié)可以用描述函數(shù)來表示。描述函數(shù)就可以作為一個具有復(fù)變增益的比例環(huán)節(jié)。這樣非線性系統(tǒng)經(jīng)過諧波線性化后就等效為線性系統(tǒng)。應(yīng)用線性系統(tǒng)的頻率穩(wěn)定判據(jù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第六十六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二等效變換的原則是在參考輸入r(t)=0的條件下，根據(jù)非線性特性的串、并聯(lián)把非線性部分簡化成一個等效非線性環(huán)節(jié)，然后在保持等效非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出關(guān)系不變的基礎(chǔ)上來化簡線性部分。

1。非線性并聯(lián)2。 串聯(lián)根據(jù)各線性環(huán)節(jié)輸入輸出關(guān)系圖再求N（A）第六十七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二yxMkxf(x)ab問題：下述兩個環(huán)節(jié)串聯(lián)，其靜態(tài)關(guān)系如何？第六十八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二等效線性環(huán)節(jié)：第六十九頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二等效線性環(huán)節(jié)：第七十頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二閉環(huán)非線性系統(tǒng)的等效傳函特征方程第七十一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二穩(wěn)定判據(jù)：由和判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性：當(dāng)包圍

系統(tǒng)不穩(wěn)定;

當(dāng)不包圍

系統(tǒng)穩(wěn)定;

當(dāng)穿過

系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，周期振蕩第七十二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二不穩(wěn)定極限環(huán)穩(wěn)定第七十三頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二五極限環(huán)定義：當(dāng)穿過時對應(yīng)的周期振蕩即為極限環(huán)交點(diǎn)的位置確定了極限環(huán)的幅值和頻率第七十四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二極限環(huán)的穩(wěn)定性第七十五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二

A&B:極限環(huán)

C,D,E,F:具有各自振幅X的振蕩

D:不包圍

--穩(wěn)定振蕩，振幅衰減，系統(tǒng)向穩(wěn)定方向發(fā)展

C:

包圍

--不穩(wěn)定，振幅增加，C點(diǎn)向著B點(diǎn)移動

F:包圍

--不穩(wěn)定，振幅增加，F(xiàn)點(diǎn)也向著B點(diǎn)移動

E:不包圍

--穩(wěn)定，振幅衰減，E點(diǎn)也向著B點(diǎn)移動第七十六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二結(jié)論：

A點(diǎn)極限環(huán)是不穩(wěn)定的

B點(diǎn)極限環(huán)是穩(wěn)定的第七十七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二極限環(huán)的計(jì)算：圖解法，解析法Step1閉環(huán)特征方程：Step2當(dāng)是實(shí)函數(shù)

第七十八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二Step3當(dāng)為復(fù)函數(shù)時

第七十九頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二例1分析極限環(huán)：給定線性系統(tǒng)和死區(qū)非線性元件第八十頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二當(dāng)K>=3時，系統(tǒng)不穩(wěn)定，存在極限環(huán)，且極限環(huán)是不穩(wěn)定的。第八十一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二

例2：試用描述函數(shù)方法分析：（1）K=15時，非線性系統(tǒng)的運(yùn)動。（2）欲使系統(tǒng)不出現(xiàn)自振蕩，確定K的臨界值。aC第八十二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二12-0.5-1第八十三頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二第八十四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二例3分析極限環(huán)，給定非線性環(huán)節(jié)Step1畫出閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖forfor

第八十五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二Step2計(jì)算系統(tǒng)的傳函與描述函數(shù)：第八十六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二Step3穩(wěn)定性分析閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，極限環(huán)穩(wěn)定第八十七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二Step4計(jì)算極限環(huán)周期振蕩的頻率和幅值

rad/s

第八十八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二Step5求解x微分方程可以得出幅值X第八十九頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二六總結(jié)描述函數(shù)方法給出了系統(tǒng)穩(wěn)定性的有關(guān)信息，但是無法給出系統(tǒng)的瞬時響應(yīng)信息。描述函數(shù)方法是一種近似方法：線性部分是一個低通濾波器；與越垂直，結(jié)果就越準(zhǔn)確。MoreaccurateLessaccurate

第九十頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二采用正弦波作為輸入得到的描述函數(shù)方法要比以其他函數(shù)為輸入得到的描述函數(shù)方法準(zhǔn)確。采用描述函數(shù)方法遇到的困難程度和獲得結(jié)果的準(zhǔn)確程度與非線性環(huán)節(jié)的復(fù)雜程度有關(guān)。對于多個非線性環(huán)節(jié)的組合，如下圖，第九十一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二第三章相平面方法相軌跡的特點(diǎn)相軌跡的繪制方法奇點(diǎn)與極限環(huán)線性系統(tǒng)相平面分析非線性系統(tǒng)相平面分析總結(jié)第九十二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二適應(yīng)于二階非線性系統(tǒng)：幾個概念：相變量：相平面相軌跡簇奇點(diǎn)（平衡點(diǎn)）第九十三頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二1上半平面：，x增加方向從左到右

2下半平面：，x減少方向從右到左一相軌跡的特點(diǎn)第九十四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二3所有的軌跡如果穿過x軸，則方向必定是垂直的。

4奇點(diǎn)是平衡點(diǎn)，對所有二階系統(tǒng)均在x軸上第九十五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二二相軌跡的繪制方法解析法：例1：給定二階系統(tǒng)解：利用積分得：第九十六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二例2給定系統(tǒng)解：由方程可得：由初始條件可知：第九十七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二

第九十八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二圖解法——等傾線法：等傾線：穿過曲線上任意一點(diǎn)的所有相軌跡均具有相同的斜率，也就是具有相同的運(yùn)動方向。

一組不同的斜率值，就定義了一組不同的等傾線。所有這些等傾線給出了相軌跡切線的方向場。取不同的切線斜率α

，在相平面上繪制出若干條等傾斜線，在等傾斜線上做斜率為α的短線，并用箭頭表示方向，最后按切線場方向勾畫出相軌跡。第九十九頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二例3采用等傾線法畫出給定系統(tǒng)的相軌跡：解：系統(tǒng)可以寫作令，則有第一百頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二假定：第一百零一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二圖解法——

法A相軌跡可以看作是一系列的中心在x軸上的小圓弧連接而成B動力學(xué)方程可以寫成：其中是一個連續(xù)的單值函數(shù)。C將動力學(xué)方程左右兩邊同時加入一函數(shù)，得第一百零二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二令D為便于繪圖，可適當(dāng)選取和E在鄰域內(nèi)，取F新的運(yùn)動方程為第一百零三頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二G對上述方程求解H相軌跡為圓心：半徑：第一百零四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二例用法繪出給定系統(tǒng)的相軌跡（1）系統(tǒng)運(yùn)動方程為令則第一百零五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二（2）對于給定點(diǎn)第一百零六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二第一百零七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二線性二階系統(tǒng)的相軌跡給定線性二階系統(tǒng)的微分方程其平衡狀態(tài)只有一個，即原點(diǎn)。對應(yīng)的特征根為下面對線性二階系統(tǒng)在不同參數(shù)情況下的相平面圖進(jìn)行分析，并由此劃分奇點(diǎn)（平衡狀態(tài)）的類型，

第一百零八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二b＝0，系統(tǒng)特征根為

b＝0時線性二階系統(tǒng)的相平面圖第一百零九頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二b<0，系統(tǒng)特征根為

b<0時線性二階系統(tǒng)的相平面圖奇點(diǎn)（平衡狀態(tài)）為鞍點(diǎn)第一百一十頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二b>0,系統(tǒng)方程可寫為：

1）當(dāng)，特征根為一對具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)根，奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)，相軌跡如右圖2）當(dāng)，特征根為一對具有正實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)根，奇點(diǎn)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)，相軌跡如右圖第一百一十一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二3）當(dāng)，系統(tǒng)特征根為負(fù)實(shí)數(shù)根，奇點(diǎn)為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)1斜率為和的直線是相軌跡，也是漸近線2如果，則當(dāng)時，所有的相軌跡均趨向于漸近線說明第一百一十二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二4）當(dāng)，特征根為正實(shí)數(shù)根，奇點(diǎn)為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn):第一百一十三頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二5）當(dāng)，特征根為一對純虛數(shù)根，奇點(diǎn)為中點(diǎn)第一百一十四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二極限環(huán)：孤立的閉環(huán)相軌跡

StablelimitcycleUntablelimitcycle

第一百一十五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二Semistablelimitcycle

第一百一十六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二四線性系統(tǒng)相平面分析例繪出給定二階系統(tǒng)的相軌跡解：列出基本方程,

第一百一十七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期二輸入為階躍函數(shù)：誤差方程為：第一百