被控過程的數(shù)學(xué)模型

被控過程的數(shù)學(xué)模型第一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一給定值被控量干擾f

控制器變送器執(zhí)行器被控對象+e實測值－前幾章的討論中，我們已知變送器和執(zhí)行器的特性是比例關(guān)系、控制器的特性由控制規(guī)律決定。本章討論被控對象的特性。被控對象Xri(s)Xci(s)第二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一

5.1被控過程數(shù)學(xué)模型的作用與要求被控對象大都是生產(chǎn)中的工藝設(shè)備，它是控制系統(tǒng)的重要環(huán)節(jié)。無論是設(shè)計、還是操作控制系統(tǒng)，都需要了解被控對象的特性。在經(jīng)典控制理論中，被控對象的特性一般用單輸入、輸出的數(shù)學(xué)模型描述。最常用的是傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)是指用拉氏變換式表示的對象特性。被控對象xr(t)xc(t)Xc(s)Xr(s)W

(s)=第三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一5.2建立被控過程數(shù)學(xué)模型的基本方法求對象的數(shù)學(xué)模型有兩條途徑：機(jī)理法：根據(jù)生產(chǎn)過程的內(nèi)部機(jī)理，列寫出有關(guān)的平衡方程，從而獲取對象的數(shù)學(xué)模型。測試法：通過實驗測試，來識別對象的數(shù)學(xué)模型。由于影響生產(chǎn)過程的因素較多，單純用機(jī)理法建模較困難，一般用機(jī)理法的分析結(jié)論，指導(dǎo)測試結(jié)果的辨識。第四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一5.3機(jī)理法建模5.3.1機(jī)理法建模的基本原理通過分析生產(chǎn)過程的內(nèi)部機(jī)理，找出變量之間的關(guān)系。如物料平衡方程、能量平衡方程、化學(xué)反應(yīng)定律、電路基本定律等，從而導(dǎo)出對象的數(shù)學(xué)模型。5.3.2單容過程建模當(dāng)對象的輸入輸出可以用一階微分方程式來描述時，稱為單容過程或一階特性對象。大部分工業(yè)對象可以用一階特性描述。典型代表是水槽的水位特性。第五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一

5.3.2.1單容貯液箱液位過程I如圖是一個水槽，水經(jīng)過閥門l不斷地流入水槽，水槽內(nèi)的水又通過閥門2不斷流出。工藝上要求水槽的液位h保持一定數(shù)值。在這里，水槽就是被控對象，液位h就是被控變量。如果想通過調(diào)節(jié)閥門1來控制液位，就應(yīng)了解進(jìn)水流量Q1變化時，液位h是如何變化的。第六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一此時，對象的輸入量是流入水槽的流量Q1，對象的輸出量是液位h。W(S)Q1h機(jī)理建模步驟：從水槽的物料平衡關(guān)系考慮，找出表征h與Q1關(guān)系的方程式。設(shè)水槽的截面積為A

Ql0=Q20時，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，即靜態(tài)。這時液位穩(wěn)定在h0h0閥門1閥門2Q10Q20第七頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一假定某一時刻，閥門1突然開大?μ1，則Q1突然增大，不再等于Q2，于是h也就開始變化。

Q1與Q2之差被囤積在水槽中，造成液位上升。（

?Ql-

?Q2）/A=d?h/dtRS——閥門2阻力系數(shù)；Kμ——閥門1比例系數(shù)；μ1——閥門1的開度；式中：h0閥門1閥門2Q10Q20?h?Q1=Kμ?μ1第八頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一即解得寫成標(biāo)準(zhǔn)形式令：T=ARs——時間常數(shù)；K=KμRs——放大倍數(shù)。

進(jìn)行拉氏變換TSH(S)+H(S)=Kμ1(S)傳遞函數(shù)為：第九頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一

階躍響應(yīng)（飛升）曲線輸入量μ1作一階躍變化（Δμ1）時，其輸出（Δh）隨時間變化的曲線。1Δμ1ttΔhKT因則時域表達(dá)式又稱一階慣性特性或單容特性第十頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一因為工藝過程就是能量或物質(zhì)的交換過程，在此過程中，肯定存在能量的儲存和阻力。（1）容量系數(shù)——反映對象存儲能量的能力。

如水槽面積A，它影響時間常數(shù)T的大小。（2）阻力系數(shù)——反映對象對物料或能量傳遞的阻力。如閥門阻力系數(shù)RS，它影響放大系數(shù)K的大小。

T=ARSK=Kμ

RS對象的特性參數(shù)K、T反映了對象的物理本質(zhì)。第十一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一5.3.2.2被控過程的自衡特性與單容貯液箱液位過程II從一階慣性特性曲線可以看出，對象在擾動作用下，其平衡狀態(tài)被破壞后，在沒有人工干預(yù)或調(diào)節(jié)器干預(yù)下，能自動達(dá)到新的平衡狀態(tài)，這種特性稱為“自衡特性”。

用自衡率ρ表征對象自衡能力的大小1Δμ1ttΔhKT第十二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一并不是所有被控過程都具有自衡特性。同樣的單容水槽如果出水用泵抽出，則成為無自衡特性。與放大系數(shù)K互為倒數(shù)如果ρ大，說明對象的自衡能力大。即對象能以較小的自我調(diào)整量Δh（∞），來抵消較大的擾動量Δμ1。1Δμ1ttΔhKT第十三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一ΔQ2

=0

令h0閥門1Q10Q20h單容無自衡特性若閥門1突然開大?μ1，則Q1增大，Q2不變化。

?Q1=Kμ?μ1—稱飛升速度則：傳函：第十四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一即：

Δh（t）=∫εΔμ1dt—又稱積分特性h0閥門1Q10Q20h若閥門1階躍增大?μ1，則Δh（t）持續(xù)增長。

tΔμ1h0tΔh圖5.5非自衡單容液位控制過程階躍響應(yīng)曲線μ0第十五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一5.3.3多容過程建模有一個以上貯蓄容量的過程稱為多容過程。5.3.3.1多容液位過程如圖所示為雙容對象。由兩個一階慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)起來，操縱變量是Δμ1，被控變量是第二個水槽的水位h2。Δμ1C223第十六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一可以求出傳遞函數(shù)：由兩個一階慣性特性乘積而成。又稱二階慣性。式中：T1＝A1R2T2＝A2R3K＝KμR3Δμ1C2A1A2R2R3Kμ23第十七頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一當(dāng)輸入量是階躍增量Δμ1

時，被控變量Δh2的反應(yīng)（飛升）曲線呈S型。

所謂滯后是指被控變量的變化落后于擾動變化的時間。0tΔh2（∞）Δh2為簡化數(shù)學(xué)模型，可以用帶滯后的單容過程來近似。0tΔh2（∞）Δh2τ0第十八頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一

0tτcT0Δh2（∞）在S形曲線的拐點上作一切線，若將它與時間軸的交點近似為反應(yīng)曲線的起點，則曲線可表達(dá)為帶滯后的一階特性：?h2(t)=K0?μ1

(1－e)t≥τc

-(t－τc)T00t<τc第十九頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一被控過程的容量系數(shù)A越大，τc越大；容量個數(shù)越多（階數(shù)n越多），階躍響應(yīng)曲線上升越慢。Δh(∞)OtΔhn=1n=2n=3n=4n=5切線在時間軸上截出的時間段τc為容量滯后。5.3.3.2容量滯后與純滯后1.容量滯后0tτcT0Δh2（∞）第二十頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一2.純滯后由信號或能量的傳輸時間造成的滯后現(xiàn)象，是純粹的滯后。如圖是一個用蒸汽來控制水溫的系統(tǒng)。蒸汽作用點與被調(diào)量測量點相隔l距離，蒸汽量階躍增大引起的水溫升高，要經(jīng)過路程l后才反應(yīng)出來。0tτ0℃第二十一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一v——水的流速；

0tτ0℃純滯后時間有些對象容量滯后與純滯后同時存在，很難嚴(yán)格區(qū)分。常把兩者合起來，統(tǒng)稱為滯后時間τ

τ=τo+τc0tτcT0Δh2（∞）τ0第二十二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一5.4測試法建模根據(jù)工業(yè)過程中某因果變量的實測數(shù)據(jù)，進(jìn)行數(shù)學(xué)處理后得到的數(shù)學(xué)模型。測定對象特性的實驗方法主要有三種：（1）時域法——輸入階躍或方波信號，測對象的飛升曲線或方波響應(yīng)曲線。（2）頻域法——輸入正弦波或近似正弦波，測對象的頻率特性。（3）統(tǒng)計相關(guān)法——輸入隨機(jī)噪音信號，測對象參數(shù)的變化。第二十三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一5.4.1階躍響應(yīng)曲線法建模給對象輸入一階躍信號或方波信號測其輸出響應(yīng)。1．階躍響應(yīng)曲線的直接測定1Δμ1ttΔhKT在被控過程處于開環(huán)、穩(wěn)態(tài)時，將選定的輸入量做一階躍變化（如將閥門開大），測試記錄輸出量的變化數(shù)據(jù)，所得到的記錄曲線就是被控過程的階躍響應(yīng)曲線。第二十四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一有些工藝對象不允許長時間施加較大幅度的擾動，那么施加脈寬為△t的方波脈沖，得到的響應(yīng)曲線稱為“方波響應(yīng)”。２．矩形脈沖法測定被控過程的階躍響應(yīng)曲線第二十五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一

一個是在t=0時加入的正階躍信號x1（t）另一個是在t=Δt

時加入的負(fù)階躍信號x2（t）

x（t）=x1（t）+x2（t）其中，x2（t）=-x1（t-Δt）方波響應(yīng)可以轉(zhuǎn)換成飛升曲線。原理：方波信號是兩個階躍信號的代數(shù)和。＋ΔtΔttttxxxx0x0x0第二十六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一根據(jù)此式，方波響應(yīng)可逐點拆分為飛升曲線y1（t）和y2（t）。對應(yīng)的響應(yīng)也為兩個階躍響應(yīng)之和：

y（t）=y1（t）+y2（t）

=y1（t）-y1（t-Δt）ty2(t)OtxOO

tΔtΔtx1(t)x2(t)=—x1(t-Δt)Δtxy1(t)y(t)y(t)第二十七頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一5.4.1.2由階躍響應(yīng)曲線確定被控過程傳遞函數(shù)大多數(shù)工業(yè)對象的特性可以用具有純滯后的一階或二階慣性環(huán)節(jié)來近似描述：1xtty0tyττ00第二十八頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一對于少數(shù)無自衡特性的對象，可用帶滯后的積分特性近似描述：

xtty0tyττ00由對象的階躍響應(yīng)曲線基本可以辨識對象的特性模型結(jié)構(gòu)和特性參數(shù)。第二十九頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一一階對象的特性參數(shù)都具有明顯的物理意義：由階躍響應(yīng)曲線確定一階慣性加滯后環(huán)節(jié)模型ttx0y(∞)yx放大倍數(shù)K的物理意義K表明了穩(wěn)態(tài)時，輸出對輸入的放大倍數(shù)。求法：

K=y(∞)/

x0K越大，表示對象的輸入對輸出的影響越大。第三十頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一時間常數(shù)的物理意義對象受到階躍輸入后，輸出達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值的63.2％所需的時間，就是時間常數(shù)T?；?qū)ο笫艿诫A躍輸入后，輸出若保持初始速度變化到新的穩(wěn)態(tài)值所需時間就是時間常數(shù)。tT0.632y∞)求法：第三十一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一在相同的階躍輸入作用下，對象的時間常數(shù)不同時，被控變量的響應(yīng)曲線如圖所示。

T反映了對象輸出對輸入的響應(yīng)速度T越大，響應(yīng)越慢。如水槽對象中T=ARS

，說明水槽面積越大，水位變化越慢。第三十二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一T也反映了過渡過程時間被控變量變化到新的穩(wěn)態(tài)值所需要的時間理論上需要無限長。當(dāng)t→∞時，才有y＝Kx0，但是當(dāng)t=3T時，便有：

即：經(jīng)過3T時間，輸出已經(jīng)變化了滿幅值的95％。這時，可以近似地認(rèn)為動態(tài)過程基本結(jié)束。tTY(∞)3T第三十三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一例：被控過程的單位階躍響應(yīng)是一條S形單調(diào)曲線，用有純滯后的一階環(huán)節(jié)近似描述該過程的特性。作圖法：0tTy（∞）τ

1）在響應(yīng)曲線的拐點處作一條切線，該切線與時間軸的交點切出τ；2）以τ為起點，與y(∞)的交點切出的時間段為T；3）K=y(∞)/1第三十四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一由于階躍響應(yīng)曲線的拐點不易找準(zhǔn)，切線的方向也有較大的隨意性，因而作圖法求得的T、τ值誤差較大?？梢杂糜嬎惴▉砬筇匦詤?shù)。計算法的原理是根據(jù)曲線上的已知兩點解方程。兩點法：先將y（t）轉(zhuǎn)換成無量綱的形式y(tǒng)*（t）。0t1y*(t)第三十五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一有滯后的一階慣性環(huán)節(jié)，單位階躍響應(yīng)為：

0t<τ

t≥τy*(t)=y*(t2)y*(t1)

t1

t20t1y*(t)在無量綱飛升曲線上，選取t1、t2兩時刻的響應(yīng)y*（t）的坐標(biāo)值：

解方程組

第三十六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一得

y*（t1）=0.39y*（t2）=0.63τ=2t1–t2T=2（t1-t2）y*(t2)y*(t1)

t1

t20t1y*(t)為計算方便，取特殊兩點：則第三十七頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一5.4.2測定動態(tài)特性的頻域法被控過程的動態(tài)特性也可用頻率特性來表示：方法：在對象的輸入端加特定頻率的正弦信號，同時記錄輸入和輸出的穩(wěn)定波形（幅度與相位）。在選定范圍的各個頻率點上重復(fù)上述測試，便可測得該對象的頻率特性。Y(t)X(t)第三十八頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一5.4.3測定動態(tài)特性的統(tǒng)計相關(guān)分析法相關(guān)分析法是在生產(chǎn)正常進(jìn)行中，向被控過程輸入一種對正常生產(chǎn)過程影響不大的特殊信號——偽隨機(jī)測試信號，通過對被控過程的輸入、輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)分析得